2014年高考(福建卷)文科数学

数学试题(文史类)

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2014福建，文1)若集合P＝{x|2≤x＜4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于(　　)．

A．{x|3≤x＜4}        B．{x|3＜x＜4}

C．{x|2≤x＜3}        D．{x|2≤x≤3}

答案：A

解析：结合数轴，得P∩Q＝{x|3≤x＜4}．故选A.

2．(2014福建，文2)复数(3＋2i)i等于(　　)．

A．－2－3i        B．－2＋3i

C．2－3i          D．2＋3i

答案：B

解析：(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.故选B.

3．(2014福建，文3)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　)．

A．2π        B．π        C．2        D．1

答案：A

解析：根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长为2π×1＝2π，宽为1，∴S＝2π×1＝2π.故选A.

4．(2014福建，文4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为(　　)．

A．1       B．2

C．3       D．4

答案：B

解析：第一次循环n＝1，判断21＞12成立，则n＝1＋1＝2；第二次循环，判断22＞22不成立，则输出n＝2.故选B.

5．(2014福建，文5)命题“x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)．

A． x∈(－∞，0)，x3＋x＜0

B． x∈(－∞，0)，x3＋x≥0

C． x0∈[0，＋∞)， 

D． x0∈[0，＋∞)， 

答案：C

解析：全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是x0∈[0，＋∞)，.故选C.

6．(2014福建，文6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)．

A．x＋y－2＝0        B．x－y＋2＝0

C．x＋y－3＝0        D．x－y＋3＝0

答案：D

解析：直线过圆心(0,3)，与直线x＋y＋1＝0垂直，故其斜率k＝1.所以直线的方程为y－3＝1×(x－0)，即x－y＋3＝0.故选D.

7．(2014福建，文7)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)．

A．y＝f(x)是奇函数

B．y＝f(x)的周期为π

C．y＝f(x)的图象关于直线对称

D．y＝f(x)的图象关于点对称

答案：D

解析：y＝sin x的图象向左平移个单位，得的图象，所以f(x)是偶函数，A不正确；f(x)的周期为2π，B不正确；f(x)的图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，C不正确；f(x)的图象关于点(k∈Z)对称，当k＝－1时，点为，故D正确．综上可知选D.

8．(2014福建，文8)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)．

答案：B

解析：由题中图象可知loga3＝1，所以a＝3.A选项，为指数函数，在R上单调递减，故A不正确．B选项，y＝x3为幂函数，图象正确．C选项，y＝(－x)3＝－x3，其图象和B选项中y＝x3的图象关于x轴对称，故C不正确．D选项，y＝log3(－x)，其图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，故D选项不正确．综上可知选B.

9．(2014福建，文9)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)．

A．80元        B．120元        C．160元        D．240元

答案：C

解析：设容器的底长x米，宽y米，则xy＝4.

所以，则总造价为：

f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋＋20x

＝＋80，x∈(0，＋∞)．

所以，

当且仅当，即x＝2时，等号成立，

所以最低总造价是160元．故选C.

10．(2014福建，文10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于(　　)．

A．        B．2        C．        D． 

答案：D

解析：因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得，，所以.故选D.

11．(2014福建，文11)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)．

A．5        B．29        C．37        D．49

答案：C

解析：由题意，画出可行域Ω，圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，所以b＝1.

所以圆心在直线y＝1上，求得与直线x－y＋3＝0，x＋y－7＝0的两交点坐标分别为A(－2,1)，B(6,1)，

所以a∈[－2,6]．

所以a2＋b2＝a2＋1∈[1,37]，所以a2＋b2的最大值为37.故选C.

12．(2014福建，文12)在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为||P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L－距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是(　　)．

答案：A

解析：不妨设F1(－a,0)，F2(a,0)，其中a＞0，点P(x，y)是其轨迹上的点，P到F1，F2的“L－距离”之和等于定值b(大于||F1F2|)，

所以|x＋a|＋|y|＋|x－a|＋|y|＝b，

即|x－a|＋|x＋a|＋2|y|＝b.

当x＜－a，y≥0时，上式可化为；

当－a≤x≤a，y≥0时，上式可化为；

当x＞a，y≥0时，上式可化为；

当x＜－a，y＜0时，上式可化为；

当－a≤x≤a，y＜0时，上式可化为y＝a－；

当x＞a，y＜0时，上式可化为；

可画出其图象．(也可利用前三种情况，再关于x轴对称)故选A.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．(2014福建，文13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__________．

答案：0.18

解析：由几何概型可知，

所以S阴影＝0.18.故答案为0.18.

14．(2014福建，文14)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，，则AB等于__________．

答案：1

解析：由余弦定理可知：，所以c＝1.故答案为1.

15．(2014福建，文15)函数的零点个数是__________．

答案：2

解析：当x≤0时，令f(x)＝x2－2＝0，得，∴.

当x＞0时，f(x)＝2x－6＋ln x，.

所以f(x)单调递增，当x→0时，f(x)＜0；当x→＋∞时，f(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．

综上可知共有两个零点．故答案为2.

16．(2014福建，文16)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于__________．

答案：201

解析：由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：

(1)当①成立时，则a≠2，b≠2，c＝0，此种情况不成立；

(2)当②成立时，则a＝2，b＝2，c＝0，此种情况不成立；

(3)当③成立时，则a＝2，b≠2，c≠0，即a＝2，b＝0，c＝1，

所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.

故答案为201.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)(2014福建，文17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.

(1)求an；

(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.

分析：(1)等比数列中已知两项，从而求得公比q，结合通项公式an＝a1qn－1或an＝amqn－m得an的通项公式．

(2)借助(1)的结论，先求得bn，可得bn为等差数列，利用等差数列求和公式，求得Sn.

解：(1)设{an}的公比为q，依题意，得

解得

因此，an＝3n－1.

(2)因为bn＝log3an＝n－1，

所以数列{bn}的前n项和.

18．(本小题满分12分)(2014福建，文18)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．

(1)求的值；

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

分析：对于(1)，可把代入f(x)的解析式，认真运算，便可求得结果，另外也可先化简再求值，化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好，注意化简的最终形式一般为f(x)＝Asin(ωx＋φ)．对于(2)，根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性，准确求出周期与单调区间．

解法一：(1) 

＝

＝2.

(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＋1

＝，

所以.

由，k∈Z，

得，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

解法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＋1＝.

(1).

(2).

由，k∈Z，

得，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

19．(本小题满分12分)(2014福建，文19)如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

(1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．

分析：(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种，结合本题条件，可证明CD垂直于平面ABD内的两条相交直线即可证得CD垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积，但要注意转换顶点和底面，对于本题，可将S△ABM求出，高即为CD＝h，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD求得．

解法一：(1)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

∴AB⊥CD.

又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.

(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，

∵AB＝BD＝1，∴.

∵M是AD的中点，∴.

由(1)知，CD⊥平面ABD，

∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，

因此三棱锥A－MBC的体积

VA－MBC＝VC－ABM＝＝.

解法二：(1)同解法一．

(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，

又平面ABD∩平面BCD＝BD，

如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，

则MN⊥平面BCD，且.

又CD⊥BD，BD＝CD＝1，

∴.

∴三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝VA－BCD－VM－BCD＝AB·S△BCD－MN·S△BCD＝.

20．(本小题满分12分)(2014福建，文20)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：

(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．

分析：(1)该城市人均GDP即为求平均值，利用公式代入认真运算，可得人均GDP，判断其所在范围，可知是否达到中等偏上收入国家标准．(2)从5个行政区中随机抽取2个，列出所有基本事件，再找出抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的基本事件．利用古典概型概率公式可求得其概率．

解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为

＝6 400.

因为6 400∈[4 085,12 616)，

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．

(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．

设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，

则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，

所以所求概率为.

21．(本小题满分12分)(2014福建，文21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.

(1)求曲线Γ的方程；

(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．

分析：(1)根据题意，可知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离，结合抛物线的定义可得曲线Γ的方程；或利用求方程的一般做法，设点坐标，建立几何关系，转化为代数关系，整理便可得到其方程．对于(2)，先求导，得斜率，利用点斜式可得直线l的方程，与y＝0联立，得A点坐标，与y＝3联立，得M点坐标，直线y＝3与y轴的交点N易知，进而得出圆心和半径，结合勾股定理可得|AB|为定值，问题得证．

解法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，

所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，

所以曲线Γ的方程为x2＝4y.

(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：

由(1)知抛物线Γ的方程为，

设P(x0，y0)(x0≠0)，则，

由，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝，

所以切线l的方程为y－y0＝(x－x0)，即.

由得.

由得.

又N(0,3)，所以圆心，

半径，

.

所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．

解法二：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，

则|，

依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，

所以y＞－3，

所以，

化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y.

(2)同解法一．

22．(本小题满分14分)(2014福建，文22)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.

分析：(1)由题意可知点A的横坐标为0，先求出f(x)的导函数f′(x)，则曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为f′(0)，由f′(0)＝－1可求得a的值．再利用求极值的步骤求解即可．对于(2)，常对此类问题构造新函数g(x)＝ex－x2，只需g(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立即可，利用导数得到g(x)的单调性，从而得证．(3)中存在性问题处理，可结合(2)的结论，合理利用ex＞x2，只是将ex＞x2的x2中一个x赋值即可，所以可令，当x＞x0时，，利用不等式的传递性来解决问题．或根据c的值与1的大小关系分类进行证明．当c≥1时，可直接根据(2)中的结论得证；当0＜c＜1时，证明的关键是找出x0.可构造函数，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x0满足条件即可得证．

解法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.

又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.

令f′(x)＝0，得x＝ln 2.

当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；

当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

所以当x＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．

(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.

由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，

即g′(x)＞0.

所以g(x)在R上单调递增，

又g(0)＝1＞0，

所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex.

(3)对任意给定的正数c，取，

由(2)知，当x＞0时，x2＜ex.

所以当x＞x0时，，即x＜cex.

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.

解法二：(1)同解法一．

(2)同解法一．

(3)令(k＞0)，要使不等式x＜cex成立，只要ex＞kx成立．

而要使ex＞kx成立，则只需要x＞ln(kx)，即x＞ln x＋ln k成立．

①若0＜k≤1，则ln k≤0，易知当x＞0时，x＞ln x≥ln x＋ln k成立．

即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.

②若k＞1，令h(x)＝x－ln x－ln k，则，

所以当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)内单调递增．

取x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)，

易知k＞ln k，k＞ln 2，所以h(x0)＞0.

因此对任意c∈(0,1)，取，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.

综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.

解法三：(1)同解法一．

(2)同解法一．

(3)①若c≥1，取x0＝0，

由(2)的证明过程知，ex＞2x，

所以当x∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex＞2x＞x，即x＜cex.

②若0＜c＜1，

令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝cex－1.

令h′(x)＝0，得.

当时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．

取，，

易知，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，

所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，即x＜cex.

综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.