武汉理工控制工程第五章习题答案

习题5-1 解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K =10时, 

图5-41  习题5-1解图

由上图可知：

得剪切频率。

相角裕度为： 

当K从10变到100时，20lgK=20lg20＝26dB，如图中虚线所示。

相角裕度为：

求增益裕度，则需先求出。

当K=10时，有

当K=100时，有

习题5-2 解：画出开环系统幅相频率特性，如下图所示：

图5-42  习题5-2解图

从上图中可知，；而由表达式可知。

根据Nyquist判据有：，因此闭环系统不稳定。

习题5-3 解：

闭环传递函数

习题5-4 解：

求系统闭环传递函数

根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下：

（1）

（2）

（3）

习题5-5 解：

系统闭环传递函数为

时系统频率特性为

由已知条件得，则有

习题5-6 解：

时，。

求时的渐近线

时，，曲线顺时针穿过负实轴

求曲线与负实轴的交点

令，得。

该系统幅相频率特性曲线如图所示。

当即时，闭环系统临界稳定。

习题5-7 解：（1）令 

由

（2）令

由

（3）令

习题5-8 解：

（1）

（2）

（3）

习题5-9 解： 

设穿越频率在频段，则，若使扩大a倍，则K扩大a倍，且保持不变，显然T需要缩小a倍。

设穿越频率在频段，则，若使扩大a倍，且同时保持不变，则T 应缩小a倍，只有当K扩大a倍才能满足要求，即变化后的开环截止频率为

两种情况的讨论结论一致，即K扩大a倍，T缩小a倍。

习题5-10 解：

计算相角裕量

方法一，由对数幅频渐近线近似计算穿越频率

相角裕量

方法二，按定义计算穿越频率

相角裕量

计算幅值裕量：

令 

方法一，由对数幅频渐近线近似得

得 

方法二，由定义得

∴ 系统闭环稳定。

习题5-11 解：

① 典型环节的标准形式

②  ，。

③ 转折频率

，一阶惯性环节；，不稳定的一阶微分环节。

④，低频渐近线斜率为，且过（1，34dB）点。

⑤ 系统相频特性按下式计算

，得

图5-43  习题5-11解图

习题5-12 解：

时，。

求时的渐近线

时，，曲线顺时针穿过负实轴。

求曲线与负实轴的交点

令，得。

该系统幅相频率特性曲线如下图所示。

图5-44  习题5-12解图

当即时，闭环系统临界稳定。

习题5-13 解：

二阶系统，有一个右半平面的开环极点，。由开环幅相曲线可知。

因此，系统稳定，复平面左半平面有两个闭环极点，右半平面、虚轴上均无闭环极点数。

习题5-14 解：时域分析法得特征方程为

，因此，该系统不稳定。

习题5-15 解：（1）网络的频率特性

（2）绘制频率特性曲线

其中。

起始段，。

中间段，由于，减小，先减小后增加，即曲线先顺时针变化，再逆时针变化。

终止段，。

网络幅相频率特性曲线如下图所示。

图5-45  习题5-15解图

习题5-16 解：期望传递函数

串联环节的传递函数

串联前： 

，系统不稳定。

串联后： 

，系统稳定。

习题5-17 解：在Matlab编辑窗口，编写绘图程序为

>> a=[-10 -31 -30;1 0 0;0 1 0]; b=[1 0 0]’; c=[0 2 2]; d=[2];

>> sys=ss(a,b,c,d);

>> figure; step(sys);

>> figure; bode(sys);

执行后，即可绘制出Bode图。

习题5-18 解：（1）求闭环系统传递函数对应的实频与虚频特性。

其实现的程序代码如下：

>> syms s g h u v;

>> syms kn omega omegac real;

>> s=j*omega;

>> G=10/(s*(s-10));

>> H=1+kn*s;

>> GH=G*H;

>> U=factor(real(GH))

 U =

 -10*(1+10*kn)/(omega+10*i)/(omega-10*i)

>> v=factor(imag(GH))

 v =

 -10*(-10+omega^2*kn)/(omega+10*i)/(omega-10*i)/omega

（2）当闭环系统处于临界稳定时，开环系统的频率响应，即Nyquist曲线将通过[]平面上的点（-1，j0）,此时。那么有：

其实现的程序代码如下：

>> syms kn omega omegac real;

>>[kn,omegac]=solve('10*(1+10*kn)/(-omegac+10*j)=-1','10*(-10*kn*omegac^2)/(omegac+10*j)/omegac/(omegac+10*j)=0',kn,omegac)

kn =

 -1/10-1/10*j

omegac =

 10+10*j

       0

即闭环系统稳定时反馈参数=1，此时rad/s。

习题5-19 解：用bode()函数绘制系统的波特图，pade()函数可以近似表示。

其实现的程序代码如下：

>> num1=10*[1 2];

>> den1=conv([1 1],[1 4]);

>> sys1=tf(num1,den1);

>> [num,den]=pade(0.8,4);

>> num2=conv(num1,num);

>> den2=conv(den1,den);

>> sys2=tf(num2,den2);

>> bode(sys1,'m-',sys2,'.')

习题5-20 解：用bode()函数绘制系统的波特图，margin()函数求系统的幅值稳定裕度和相角稳定裕度及对应的频率，其实现的程序代码如下：

>> num=3*[5 2];

>> den=conv([1 2 2 0],[1 1]);

>> sys=tf(num,den);

>> bode(sys);

>> grid on;

>> [Gm,Pm,Wcg]=margin(sys)

Warning: The closed-loop system is unstable.

> In lti.margin at

Gm =

    0.47

Pm =

  -23.8341

Wcg =

1.7497

习题5-21 解：实现的程序代码如下：

>> a=[-6 -23 -34 -26; 1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0]; b=[1 0 0 0]’;

>> c=[0 0 2 0]; d=[2];

>> sys=ss(a,b,c,d);

>> impulse(sys);

>> figure;

>> nyquist(sys);