第六章 线性空间 习题答案

3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于（）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2）设是一个实矩阵，的实系数多项式的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；

3）全体级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；

5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

，

；

      6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

；

7）集合与加法同6），数量乘法定义为：

；

8）全体正实数，加法与数量乘法定义为：

，．

解  1）不能构成实数域上的线性空间．

因为两个次多项式相加不一定是次多项式，所以对加法不封闭．

2）能构成实数域上的线性空间．

事实上，即为题目中的集合，显然，对任意的，及，有

，，

其中．这就说明对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~，故构成实数域上的线性空间．

3）能构成实数域上的线性空间．

由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三角）矩阵，一个数乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．

4）不能构成实数域上的线性空间．

因为，两个不平行与某一向量的两个向量的和可能平行于，例如：以为对角线的任意两个向量的和都平行于，从而不属于题目中的集合．

5）能构成实数域上的线性空间．

事实上，即为题目中的集合．显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的，，；，有

①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立；

②直接验证，可知加法的结合律也成立；

③由于，故是中加法的零元素；

④如果，则有，即为的负元素；

⑤；

⑥

　　　　　　　；

⑦

；

⑧

，

而

，

即．

　　于是，这两种运算满足线性空间定义的1~，所以构成实数域上的一个线性空间．

6）不能构成实数域上的线性空间．

因为，故不满足定义的第5条规律．

7）不能构成实数域上的线性空间．

因为，故不满足定义的第7条规律．

8）能构成实数域上的线性空间．

由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的，，有

①；

②；

③，即是定义的加法的零元素；

④，即是的负元素；

⑤；

⑥；

⑦

⑧．

于是，这两种运算满足线性空间定义的1~，所以构成实数域上的一个线性空间．

　　『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的．

     4．在线性空间中，证明：

1）； 

2）．

    『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．

证明  1）证法１　由于对任意的向量，存在负向量，使得，故

；

证法２　对于任意的向量，有，左右两边再加上的负向量，即可得；

2）利用数量乘法对加法的分配律，得到

，

等式两边再加上的负向量，即可得．

　　5．证明：在实函数空间中，是线性相关的．

『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．

证明  由于在实函数空间中，有，即可由另外两个向量线性表出，故是线性相关的．

   7．在中，求向量在基下的坐标，设

2）．

解法1　设在基下的坐标为，则有

．

2）将向量等式按分量写出，得

解方程组，得，即为在基下的坐标．

解法2　将和作为矩阵的列构成一个矩阵

，

对进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定与的线性关系．

2）对进行初等行变换，得到

，

于是．

『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．

8．求下列线性空间的维数与一组基：

1）数域上的空间；

2）中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域上的空间；

『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数．

解  1）是数域上全体级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的，令表示第行第列的元素为1，其余元素均为0的级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证

， 

是线性无关的，且任意级矩阵均可由它们线性表出，从而为的一组基．于是的维数为．

2）仍然使用1）中的符号，并记

，，．

则，按照矩阵的加法和数量乘法，分别表示中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间．容易验证

  ①，；，，构成线性空间的一组基，其维数为

．

②，，构成线性空间的一组基，其维数为

．

③，；，，构成线性空间的一组基，其维数为

．

『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．

9．在中,求由基到基的过渡矩阵，并求向量在所指基下的坐标．设

      1）   在下的坐标；

      2）在下的坐标；

      『解题提示』由于题目是在4维向量空间中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．

解  1）由于为4维单位向量，故，在基下的坐标向量即为本身，故

即为由基到的过渡矩阵．

又由于在基下的坐标向量即为本身，根据坐标变换公式，可知在下的坐标为

，

即

2）由于这一题目是在4维向量空间中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基到基的过渡矩阵为

．

令，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造矩阵，对矩阵实施初等行变换，当把化成单位矩阵时，矩阵就化成了：

于是，由基到基的过渡矩阵为

．

另外，设为的单位向量组成的自然基，那么

．

于是

，

因此，在下的坐标为

．

类似地，构造矩阵，并对其进行初等行变换，将化成单位矩阵时，矩阵就化成了：

，

所以，在下的坐标为．

『方法技巧』利用维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得．

10．继第9题1），求一非零向量，它在基与下有相同的坐标．

解　根据上一题的讨论可知，由到的过渡矩阵为

．

设所求向量为，由于为4维单位向量，故在基下的坐标向量即为本身，故根据坐标变换公式，可知在下的坐标为．因此，如果在两组基下的坐标相同，那么

．

左右两边乘以，可得，即，也就是说是齐次线性方程组的解．利用消元法求得方程组的解为

，

其中是任意常数．

于是，是非零常数，即为所求向量．

『特别提醒』利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题．

12．设都是线性空间的子空间，且，证明：如果的维数与的维数相等，那么．

证明　设．那么

①如果，则与都是零空间，从而，．

②如果，任取的一组基，由于，且的维数相等，故，根据基的定义，也是的一组基，于是．

『方法技巧』这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用．

14．设

，

求中全体与可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基．

『解题提示』可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得．

解  设是与交换的任意一个矩阵．首先将矩阵分解成

．

由于单位矩阵与任何矩阵都可交换，故与可交换当且仅当与可交换．事实上，由

， 

可知当且仅当．

将按元素写出，即为

，

从而

即

这是一个含有9个未知数的线性方程组，取为自由未知量，依次取值为5维单位向量，得线性方程组的一个基础解系为

，，，，．

于是即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5．

　　『方法技巧』本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵可交换的形式，这能够给计算带来简便．

19．设与分别是齐次方程组与的解空间，证明

．

证法１  由于齐次方程组的一组基础解系为

，

即为其解空间的一组基，从而．

另外，齐次方程组的一组基础解系为，即为其解空间的一组基，从而．

又由于向量组组成的级矩阵的行列式

，

故线性无关，从而，而，所以，根据习题12可知，．

于是，，且

，

故．

证法2　由于齐次方程组的一组基础解系为

，

即为其解空间的一组基，从而．

另外，齐次方程组的一组基础解系为，即为其解空间的一组基，从而．

对于任意的，不妨设，则

，

按分量写开，即为

直接解得，从而．因此．

所以，而显然，根据习题12可知，，结合，有．

证法3　设，即且，那么

直接解得，即．因此．

　　另外，对于任意的，显然有

，

其中，且，．所以．

结合，有．

　　『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便．

20．证明：如果，，那么．

证法1　由题设知，．由于，故．又因为，所以．于是．因此

．

证法2　由题设知，．设，其中，那么，由及，可得．再由可得，于是，零向量的表示法唯一，从而．