广州市荔湾区2015届高三11月调研测试(二)数学(文)试卷

数学(文)试卷

2014.11

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

          2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

          3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

          4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：锥体体积公式,其中S为锥体的底面积，为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，那么集合为(    )

   A．          B．            C．          D． 

2．若复数满足,则在复平面内对应的点位于(    )

    A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限 

3．函数（）的反函数为(    )

A．（）                  B．（）

C．（）                  D．（）

4．已知向量的夹角为，，且，则(    )

   A．6                B.7              C．8               D.9

5．函数的一条对称轴为（    ）

   A.            B.        C.        D. 

6．根据如下样本数据：

A.,     B.,     C.,      D.,

7．函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　）

8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（　　）

A．0                 B．     

C．             D． 

9．已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为(    )

A．           B．        C．       D． 

10．若实数满足，则的最小值为(    )

   A. 8              B．            C．2            D. 

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11. 已知是等差数列，，，则该数列前10项和________．

12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________.

13．给出下列四个命题：

      ①函数有最小值；

    ②“”的一个必要不充分条件是“”；

    ③命题；命题．则命题“”是假命题； 

    ④函数在点处的切线方程为.

    其中正确命题的序号是             ． 

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆与直线相交所得的弦长为          .

15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙是的外接圆，，延长到点，使得，连结交⊙于点，连结，若,则的大小为        .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

    在中，内角所对的边长分别是,已知，.

（1）求的值；

（2）若，为的中点，求的长.

17. （本小题满分12分）

（1）若会员甲选择的是款商品，求甲的评价被选中的概率；

（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位中至少有一位购买的是款商品的概率.

18．（本小题满分14分）

如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且.

（1）求证：⊥；

（2）求点到平面的距离．

19．（本小题满分14分）

已知是首项为2，公差不为零的等差数列，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式； 

（2）设，求数列的前项和．

20. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，动点满足直线与直线的斜率之积为，直线、与直线分别交于点、．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）求线段的最小值；

（3）以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数， ()．

（1）当时，求函数的值域；

（2）试讨论函数的单调性．

文科数学参与评分标准

说明：1．参与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

      2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

      3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．

11.   　12.    　13. ③④    　14.     　15. 

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 解：（1）且，∴．………………1分

    ∴                      ………………2分

                                 ………………4分

                                        ………………5分

．                                                  ………………6分

    （2）由（1）可得． ………………7分

    由正弦定理得，即，                ………………8分

解得．                                               ………………9分

    ∴，                                              ………………10分

在中，，          ………………11分

∴．                                            ………………12分

17. 解：（1）由条形图可得，选择四款商品的会员共有2000人，……1分

其中选A款商品的会员为400人，由分层抽样可得A款商品的评价抽取了份．                                        ………………2分

设 “甲的评价被选中” 为事件，则．    ………………3分

答：若甲选择的是A款商品，甲的评价被选中的概率是.       ………………4分

(2) 由图表可知，选四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分

用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人．                                               ………………6分

记对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个基本事件： ，， 

．                                        ………………9分

设“至少有一人选择的是款商品” 为事件,事件包含有12个基本事件： ， .由古典概率公式知．                            ………………11分

答：至少有一人选择的是款商品的概率为．                 ………………12分

18．解：（1）由,，知，，点为的中点．……1分

连接．

∵，∴为等边三角形，               ………………2分

又点为的中点，∴．                          ………………3分

又∵平面，又平面，∴，      ………………4分

，平面，平面，

∴平面，                                         ………………5分

又平面，∴⊥．                            ………………6分

（2）由（1）知，，． ……………7分

又∵平面，∴，……………8分

在中，，                    ………………9分

在中，，                     ………………10分

在等腰中，边上的高为，        ………………11分

∴，                             ………………12分

设点到面的距离为，由，∴， ………13分

∴，即点到面的距离为．              ………………14分

19．解：（1）设数列的公差为，∴，，，

由成等比数列，  ∴，        ………………3分

即．∵，∴．                             ………………5分

∴．                                ………………6分

（2）由（1）知，，                                ………………7分

∴，                             ………………8分

，                            ………………9分

两式相减得：，       ………………11分

∴，                           ………………12分

∴，                                     ………………13分

∴．                                     ………………14分

另解：由(1)知，．                                  ………………7分

设=，

利用待定系数法,解得，

∴．           ………………10分

∴

．                                           ………………14分

20. 解：（1）已知，设动点的坐标，

∴直线的斜率，直线的斜率（），  ………2分

又，∴，                     ………………3分

即．                                    ………………4分

（2）设直线的方程为的，直线的方程为的，

………………6分

由，得， ∴；             ………………7分

由，得，∴，             ………………8分

由，∴，………9分

当且仅当，即时，等号成立， 

∴线段长的最小值．                                ………………10分

（3）设点是以为直径的圆的任意一点，则，即

，                       ………………11分

又，

故以为直径的圆的方程为：， ………………12分

令，得，解得，               ………………13分

∴以为直径的圆经过定点或．   ………………14分

21.解:（1）当时，，                     ………………1分

当时，，当且仅当时，取最小值2． …………2分

当时，，，在上单调递增，所以．                                           ………………3分

所以当时，的值域为．               ………………4分

（2）由，得，     ………………5分

①当时，，

当时，，在区间上单调递减，       ………………6分

当时，，在区间上单调递增．       ………………7分

②当时，，

当时，，在区间上单调递增．………………8分

当时，令，解得，舍去负值，得，

当时，，在区间上单调递减， ………………9分

当时，，在区间上单调递增． ………………10分

③当时，，

当时，，在区间上单调递减．……………11分

当时，令，得，

下面讨论是否落在区间上，

令，解得，令，解得，

当时，当时，，在上单调递减．……………12分

当时，在上存在极值点，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减．……………13分

综上所述：

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在和上

单调递减；

当时，在和上单调递减．        ……………14分