...十校联考九年级(上)期末数学试卷(学生版+解析版)

一、选择题（每小题3分共36分）

1．（3分）下列图形，可以看作中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．（3分）由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从今年10月份开始，平均每个月生产量的增长率为x．已知今年10月份的生产量为800万个，12月的生产量为1152万个，则可列方程（　　）

A．800+800x2＝1152

B．800（1+x）2＝1152

C．800+800（1+x）+800（1+x）2＝1152

D．800+800（1+x）＝1152

3．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x﹣1）2+5 B．y＝（x+2）2+6 C．y＝（x﹣4）2+6 D．y＝（x﹣3）2+5

4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠BA′A的度数是（　　）

A．50° B．70° C．110° D．120°

5．（3分）如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝4，则CD的长为（　　）

A． B．8 C．10 D．16

6．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°

8．（3分）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（　　）米．

A． B． C． D．

9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3

C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1

10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC，作∠ABC的平分线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

11．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数y中k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；　⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　   　．

14．（4分）边长为2的等边三角形的外接圆的半径为　   　．

15．（4分）若点（m，0）在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为 　   　．

16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，CD＝6，OA交BC于点E，则AD的长度是 　   　．

17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，DE⊥AB，垂足为E，BE＝6，连接CE，若∠CEB＝∠ADE，则DE＝　   　．

18．（4分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…，为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…，均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则C1的坐标是 　   　；y1+y2+y3+…+y2022的值为 　   　．

三、解答题（一）（每题8分，共16分）

19．（8分）（1）解方程：x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2；

（2）计算：2﹣13tan60°．

20．（8分）东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．

（1）若设每天的利润为w元，请求出w与x的函数关系式；

（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？

四、解答题（二）（每题10分，共20分）

21．（10分）如图，直线y＝x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y（x＜0）交于点A（﹣1，n），连接OA．

（1）求直线与双曲线的解析式；

（2）求△OAC的面积；

（3）求∠OAB的正弦值．

22．（10分）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点M处（不与点C、D重合），连接AM，折痕EF分别交AD、BC、AM于点E、F、H，边AB折叠后交边BC于点G．

（1）求证：△EDM∽△MCG；

（2）若DMCD，求CG的长；

（3）若点M是边CD上的动点，四边形CDEF的面积S是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．

五、解答题（三）（每题12分，共24分）

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE、DP．点F为线段CP上一点，连接DF，∠FDP＝∠DEP．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）当时，求证AB＝AP；

（3）当AB＝15，BC＝20时，是否存在点P，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．

24．（12分）如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；

（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年广东省东莞市十校联考九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分共36分）

1．（3分）下列图形，可以看作中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

2．（3分）由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从今年10月份开始，平均每个月生产量的增长率为x．已知今年10月份的生产量为800万个，12月的生产量为1152万个，则可列方程（　　）

A．800+800x2＝1152

B．800（1+x）2＝1152

C．800+800（1+x）+800（1+x）2＝1152

D．800+800（1+x）＝1152

【解答】解：设第11、12月份每月的平均增长率为x，

则根据题意可得出方程为：800（1+x）2＝1152；

故选：B．

3．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（　　）

A．y＝（x﹣1）2+5 B．y＝（x+2）2+6 C．y＝（x﹣4）2+6 D．y＝（x﹣3）2+5

【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5；

故选：D．

4．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠BA′A的度数是（　　）

A．50° B．70° C．110° D．120°

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，

∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．

∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，

∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，

∴∠BAA′＝∠BA′A（180°﹣40°）＝70°，

故选：B．

5．（3分）如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝4，则CD的长为（　　）

A． B．8 C．10 D．16

【解答】解：∵DE：EA＝2：3，

∴DE：DA＝2：5，

又∵EF∥AB，

∴△DEF∽△DAB，

∴，即，解得AB＝10，

由平行四边形的性质，得CD＝AB＝10．

故选：C．

6．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，

∴斜边为2．

∴cos∠ABC．

故选：B．

7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°

【解答】解：∵∠ABC∠AOC，

而∠ABC+∠AOC＝90°，

∴∠AOC+∠AOC＝90°，

∴∠AOC＝60°．

故选：C．

8．（3分）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（　　）米．

A． B． C． D．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，

由题意得AB＝60米，DE＝30米，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，

在Rt△ADE中，tan∠DAE，

∴AE30（米），

∵AB＝60米，

∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）米，

∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，

∴四边形BCFE为矩形，

∴CF＝BE＝（60﹣30）米，

在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，

∴DF＝CF＝（60﹣30）米，

∴BC＝EF＝DE﹣DF＝30﹣（60﹣30）＝（3030）米，

答：教学楼BC的高度为（3030）米．

故选：C．

9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3

C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1

【解答】解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方，

∴不等式ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜0或1＜x＜3，

故选：A．

10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC，作∠ABC的平分线BE交CA于点F，以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点G，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC，

∴AB＝2BC＝2，∠CBA＝60°，

∴AC3，

∵BE平分∠CBA，

∴∠CBF＝∠FBG＝30°，

∴BF＝2CF，

∵BC2+CF2＝BF2，

∴（）+CF2＝（2CF）2，

解得CF＝1，

∴BF＝2，

∴S阴影部分＝S△ABC﹣S△BCF﹣S扇形BFG，

故选：D．

11．（3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数y中k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵∠BOA＝90°，

∴∠BOC+∠AOD＝90°，

∵∠AOD+∠OAD＝90°，

∴∠BOC＝∠OAD，

又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，

∴△BCO∽△ODA，

∴，

∴，

∵，

∴S，

∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，

∴反比例函数的解析式为：y，

∴k＝﹣2，

故选：A．

12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；　⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故①错误，

观察图象可知：当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故②正确，

∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，

∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确，

∵当m＞2时，抛物线与直线y＝m没有交点，

∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，故④正确，

∵对称轴x＝﹣1，

∴b＝2a，

∵a+b+c＜0，

∴3a+c＜0，故⑤正确，

故选：C．

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　4　．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝4，

故答案为4．

14．（4分）边长为2的等边三角形的外接圆的半径为　　．

【解答】解：如图所示：连接中心和顶点，作出边心距．

则AC＝1，∠O60°．

那么外接圆半径OA；

故答案为：．

15．（4分）若点（m，0）在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为 　2025　．

【解答】解：∵点（m，0）在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，

∴m2﹣3m+2＝0，

∴m2﹣3m＝﹣2，

则2m2﹣6m+2029＝2（m2﹣3m）+2029＝2×（﹣2）+2029＝2025，

故答案为：2025．

16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，CD＝6，OA交BC于点E，则AD的长度是 　6　．

【解答】解：∵四边形ACDB为⊙O内接四边形，∠BAC＝120°，

∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝60°，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BCD＝90°，

∴∠DBC＝90°﹣60°＝30°；

在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，CD＝6，

∴BD＝2CD＝12，

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴OA⊥BC，

∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB为等边三角形，

∴AB＝OB＝6，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，

∴AD6，

故答案为：6．

17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，DE⊥AB，垂足为E，BE＝6，连接CE，若∠CEB＝∠ADE，则DE＝　4　．

【解答】解：如图，作CH⊥AB交AB延长线于点H，

∴△ADE≌△CHE（AAS），

∴∠ADE＝∠BCH，

∵∠CEB＝∠ADE，

∴∠CEB＝∠BCH，

∴△BHC∽△CHE，

∴，

∵BH＝AE＝2，EH＝AB＝8，

∴CH＝4，

∴DE＝CH＝4．

故答案为：4．

18．（4分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…，为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…，均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则C1的坐标是 　（2，2）　；y1+y2+y3+…+y2022的值为 　2　．

【解答】解：过点C1，C2，C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1，D2，D3…，

由题意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，……

设OD1＝a，则C1（a，a），由点C1（a，a）在反比例函数y（x＞0）的图象上，

∴a•a＝4，

解得a＝2（取正值），

∴C1（2，2），

∴y1＝2，

设A1D2＝b，则C2（4+b，b），由点C2（4+b，b），在反比例函数y（x＞0）的图象上，

∴（4+b）•b＝4，

解得b＝22（取正值），

∴y2＝22，

设A2D3＝c，则C3（4c，c），由点C3（4c，c），在反比例函数y（x＞0）的图象上，

∴（4c）•c＝4，

解得c＝22（取正值），

∴y3＝22，

同理可求y4＝22，y5＝22，y6＝22，……y2022＝22，

∴y1+y2+…+y2022＝2+22+22222，

故答案为：（2，2），2．

三、解答题（一）（每题8分，共16分）

19．（8分）（1）解方程：x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2；

（2）计算：2﹣13tan60°．

【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣3）2＝（2x﹣1）2，

移项得：（x﹣3）2﹣（2x﹣1）2＝0，

分解因式得：（x﹣3+2x﹣1）（x﹣3﹣2x+1）＝0，

解得：x1，x2＝﹣2；

（2）原式23

．

20．（8分）东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣2x+140（x＞40）．

（1）若设每天的利润为w元，请求出w与x的函数关系式；

（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？

【解答】解：（1）由题意得：

w＝y•（x﹣40）

＝（﹣2x+140）（x﹣40）

＝﹣2x2+220x﹣5600，

∴w与x的函数关系式为w＝﹣2x2+220x﹣5600（x＞40）；

（2）∵y≥44，

∴﹣2x+140≥44，

解得：x≤48．

∵w＝﹣2x2+220x﹣5600

＝﹣2（x﹣55）2+450，

∵对称轴为x＝55，抛物线开口向下，

∴当x≤55时，w随x的增大而增大，

∵x≤48，

∴当x＝48时，w有最大值，最大值为：﹣2×482+220×48﹣5600＝352．

∴销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元．

四、解答题（二）（每题10分，共20分）

21．（10分）如图，直线y＝x+b与x轴交于点C（4，0），与y轴交于点B，并与双曲线y（x＜0）交于点A（﹣1，n），连接OA．

（1）求直线与双曲线的解析式；

（2）求△OAC的面积；

（3）求∠OAB的正弦值．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+b与x轴交于点C（4，0）

∴把点C（4，0）代入y＝x+b得：b＝﹣4，

∴直线的解析式是：y＝x﹣4；

∵直线也过A点，

∴把A点代入y＝x﹣4得到：n＝﹣5，

A（﹣1，﹣5），

把将A点代入y（x＜0）得：m＝5，

∴双曲线的解析式是：y；

（2）∵B点经过y轴，

∴x＝0，

∴0﹣4＝y，

∴y＝﹣4，

∴B（0，﹣4），

∴S△AOC＝S△AOB+S△BOC10；

（3）过点O作OM⊥AC于点M，

当x＝0时，y＝﹣4，即B（0，﹣4）．

∵OC＝OB＝4，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°

∴在△OMB中 sin45°，

∴OM＝42．

在直角三角形AOM中，AO，

∴sin∠OAB．

22．（10分）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在边CD上的点M处（不与点C、D重合），连接AM，折痕EF分别交AD、BC、AM于点E、F、H，边AB折叠后交边BC于点G．

（1）求证：△EDM∽△MCG；

（2）若DMCD，求CG的长；

（3）若点M是边CD上的动点，四边形CDEF的面积S是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠BAD＝∠C＝90°，

∴∠DEM+∠DME＝90°，

由折叠知，∠EMG＝∠BAD＝90°，

∴∠DME+∠CMG＝90°，

∴∠DEM＝∠CMG，

∴△EDM∽△MCG；

（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，

∴CD＝AD＝4，

∵DMCD，

∴DM，CM，

设AE＝x，则DE＝4﹣x，

由折叠知，EM＝AE＝x，

在Rt△DEM中，根据勾股定理得，DE2+DM2＝EM2，

∴（4﹣x）2+（）2＝x2，

∴x，

∴DE＝4，

由（1）知，△EDM∽△MCG，

∴，

∴，

∴CG＝2；

（3）解：存在最大值，为10；

理由：如图，过点F作FN⊥AD于N，

∴∠ENF＝∠ANF＝∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴四边形ABFN是矩形，

∴FN＝AB＝AD＝CD＝4，

同理：四边形CDNF是矩形，

由折叠知，AM⊥EF，

∴∠AHE＝90°，

∴∠DAM+∠AEF＝90°，

∵∠ENF＝90°，

∴∠NFE+∠AEF＝90°，

∴∠DAM＝∠NFE，

∴△ADM≌△FNE（AAS），

∴DM＝EN，

设DM＝a＝EN，DE＝b，则EM＝AE＝4﹣b，

在Rt△DEM中，根据勾股定理得，EM2＝DE2+DM2，

∴（4﹣b）2＝a2+b2，

∴4b＝8a2，

∴S＝S矩形CDNF﹣S△ENF＝DN•CDEF•EN＝4（a+b）4×a（a﹣2）2+10，

∴当a＝2时，S有最大值为10．

五、解答题（三）（每题12分，共24分）

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE、DP．点F为线段CP上一点，连接DF，∠FDP＝∠DEP．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）当时，求证AB＝AP；

（3）当AB＝15，BC＝20时，是否存在点P，使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：连接OD，

∵，

∠DBP＝∠DEP，

∵∠FDP＝∠DEP，

∴∠FDP＝∠DBP，

∵BP是⊙O的直径，

∴∠BDP＝90°，

∴∠DBP+∠OPD＝90°，

∵OD＝OP，

∴∠OPD＝∠ODP，

∴∠FDP+∠ODP＝90°，

∴OD⊥DF，

∵OD是⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：连接BE，

∵，

∴∠CBP＝∠EBP，

∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，

∴∠C＝∠ABE，

∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，

∴∠APB＝∠ABP，

∴AP＝AB；

（3）解：①由AB＝15，BC＝20，

根据勾股定理得：AC25，

∵AB•BCAC•BE，

即BE，

∴BE＝12，

∵BP是直径，

∴∠PDB＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∴PD∥AB，

∴△DCP∽△BCA，

∴，

∴CPCD，

△BDE是等腰三角形，分两种情况：

①当BD＝BE时，BD＝BE＝12，

∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8，

∴CPCD8＝10；

②当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，

∴CDBC＝10，

∴CPCD10，

综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为或10．

24．（12分）如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；

（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）令yx+2＝0，得x＝﹣4，

令x＝0，得y＝2，

∴A（﹣4，0），C（0，2），

∵抛物线yx2+bx+c经过A．C两点，

∴，

解得：，

∴yx2x+2；

（2）如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，

令yx2x+2＝0，

解得：x1＝﹣4，x2＝1，

∴B（1，0），

∴DM∥BN，

∴△DME∽△BNE，

∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN，

设D（a，a2a+2），

∴M（a，a+2），

∵B（1，0），

∴N（1，），

∴DM：BN＝（a2﹣2a）：（a+2）2；

∴当a＝﹣2时，的最大值是；

（3）∵yx2x+2，

∴对称轴为直线x，

设D（t，t2t+2），F（，s），

①若四边形为平行四边形BCDF，

则，

∴，

解得：t，t2t+2，

∴D的坐标为（，）；

②若四边形为平行四边形BCFD，

则，

∴，

解得：t，t2t+2，

∴D的坐标为（，）；

③若四边形为平行四边形BDCF，

则，

∴，

解得：t，t2t+2，

∴D的坐标为（，）；

综上，D的坐标为（，）或（，）或（，）．