2021年湖北省武汉市中考数学真题试卷(学生版+解析版)

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.

1．（3分）实数3的相反数是（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．

2．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　）

A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上    

B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数    

C．打开电视机，正在播放广告    

D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

3．（3分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）计算（﹣a2）3的结果是（　　）

A．﹣a6 B．a6 C．﹣a5 D．a5

5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．    

C． D．

6．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（　　）

A．8（x﹣3）＝7（x+4） B．8x+3＝7x﹣4    

C． D．

8．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（　　）

A．h B．h C．h D．h

9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）

A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°    

C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°

10．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）

A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.

11．（3分）计算的结果是 　 　．

12．（3分）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是 　     　．

14．（3分）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　     　nmile（1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：

①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；

②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．

其中正确的是 　    　（填写序号）．

16．（3分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　             　．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．

（1）解不等式①，得 　     　；

（2）解不等式②，得 　     　；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　     　．

18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．

19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是 　    　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　    　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．

20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；

（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若，求cos∠ABD的值．

22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．

23．（10分）问题提出

如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．

（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；

①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．

②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．

（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．

2021年湖北省武汉市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.

1．（3分）实数3的相反数是（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．

【解答】解：实数3的相反数是：﹣3．

故选：B．

2．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　）

A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上    

B．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数    

C．打开电视机，正在播放广告    

D．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；

B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；

C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；

D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件；

故选：D．

3．（3分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

4．（3分）计算（﹣a2）3的结果是（　　）

A．﹣a6 B．a6 C．﹣a5 D．a5

【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a6，

故选：A．

5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）

A． B．    

C． D．

【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形，上层中间是一个正方形．

故选：C．

6．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，

∴两人恰好是一男一女的概率为，

故选：C．

7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（　　）

A．8（x﹣3）＝7（x+4） B．8x+3＝7x﹣4    

C． D．

【解答】解：设物价是y钱，根据题意可得：

．

故选：D．

8．（3分）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（　　）

A．h B．h C．h D．h

【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为．

对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h，

因此单程所花时间为2 h，故其速度为．

所以对于慢车，y与t的函数表达式为•••••••••••••①．

对于快车，y与t的函数表达式为

联立①②，可解得交点横坐标为t＝3，

联立①③，可解得交点横坐标为t＝4.5，

因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5，

故选：B．

9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　　）

A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°    

C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°

【解答】解：如图，连接AC,CD,DE．

∵,

∴ED＝EB,

∴∠EDB＝∠EBD＝α,

∵,

∴AD＝CD＝DE,

∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α,

∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α,

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°,

∴∠CAB+∠ABC＝90°,

∴4α＝90°,

∴α＝22.5°,

故选：B．

10．（3分）已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　）

A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36

【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，

∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,

∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，

∴2a3﹣6a2+b2+7b+1

＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1

＝10a+10b+6

＝10(a+b)+6

＝10×3+6

＝36．

故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.

11．（3分）计算的结果是 　5　．

【解答】解：|﹣5|＝5．

12．（3分）我国是一个人口资源大国．第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口数如下表，这组数据的中位数是 　21　．

所以这组数据的中位数为21，

故答案为：21．

13．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是 　﹣1＜a＜0　．

【解答】解：∵k＝m2+1＞0，

∴反比例函数y（m是常数）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，

①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限，

∵y1＜y2，

∴a＞a+1，

此不等式无解；

②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，

∵y1＜y2，

∴a＜0，a+1＞0，

解得：﹣1＜a＜0，

故答案为﹣1＜a＜0．

14．（3分）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．

【解答】解：过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，

由题意得，∠CBA＝60°，∠EAD＝30°，

∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，

∴∠BAD＝∠ADE﹣∠ABD＝30°，

∴∠BAD＝∠ABD，

∴AD＝AB＝12nmile，

在Rt△ADE中，sin∠ADE，

∴AE＝AD•sin∠ADE＝610.4（nmile），

故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，

故答案为10.4．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：

①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；

②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．

其中正确的是 　①②④　（填写序号）．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，

∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．

①∵抛物线经过点（﹣3，0），

∴抛物线的对称轴为直线x1，

∴1，即b＝2a，即①正确；

②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x，

且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），

∴，解得m＝﹣2，

∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；

③△＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，

∴抛物线与x轴一定有两个公共点，

且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；

④由题意可知，抛物线开口向上，且1，

∴（1，0）在对称轴的左侧，

∴当x＜1时，y随x的增大而减小，

∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．

故答案为：①②④．

16．（3分）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　1　．

【解答】解：∵图象过点（0，2），

即当x＝AD＝0时,点D与A重合，点E与B重合，

此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2,

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝1，

过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：

∵AD＝BE,∠NBE＝∠CAD，

∴△NBE≌△CAD(SAS)，

∴NE＝CD，

又∵y＝AE+CD,

∴y＝AE+CD＝AE+NE,

当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：

AD＝BE＝x,AC＝BN＝1，

∴AF＝AC•sin45°,

\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE

∴△NBE∽△AFE

∴，即，

解得：x，

∴图象最低点的横坐标为：1．

故答案为：．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．

（1）解不等式①，得 　x≥﹣1　；

（2）解不等式②，得 　x＞﹣3　；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　x≥﹣1　．

【解答】解：

（1）解不等式①，得x≥﹣1；

（2）解不等式②，得x＞﹣3；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是x≥﹣1．

故答案为：x≥﹣1；x＞﹣3；x≥﹣1．

18．（8分）如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD，BC的延长线分别交于点E，F，求证：∠DEF＝∠F．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠DCF＝∠B，

∵∠B＝∠D，

∴∠DCF＝∠D，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠F．

19．（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是 　100　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　108°　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数．

【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100，

C组所在扇形的圆心角的大小是360°108°，

故答案为：100，108°；

（2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名），

条形统计图如图所示，

（3）1500600（名）．

答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600．

20．（8分）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；

（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．

【解答】解：（1)如图，直线EF即为所求．

（2）如图，线段CG,点H即为所求．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若，求cos∠ABD的值．

【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，

∵点C是的中点，

∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，

∴∠DGC＝90°,

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°,

∴∠EDB＝90°,

∵CE⊥AE，

∴∠E＝90°,

∴四边形EDGC是矩形，

∴∠ECG＝90°，

∴CE⊥OC,

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，设FG＝x,OB＝r，

∵，

设DF＝t,DCt,

由（1）得，BC＝CDt,BG＝GD＝x+t,

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°,

∴∠BCG+∠FCG＝90°,

∵∠DGC＝90°,

∴∠CFB+∠FCG＝90°,

∴∠BCG＝∠CFB,

∴Rt△BCG∽Rt△BFC,

∴BC2＝BG•BF,

∴（t）2＝（x+t）（x+2t）

解得x1＝t,x2t（不符合题意，舍去），

∴CGt,

∴OG＝rt,

在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2,

∴（rt）2+（2r）2＝r2,

解得rt,

∴cos∠ABD．

22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．

【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，

根据题意，得100，

解得m＝3，

∴1.5m＝4.5，

∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），

答：每盒产品的成本为30元；

（2）根据题意，得w＝(x﹣30)[500﹣10(x﹣60)]＝﹣10x2+1400x﹣33000，

∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；

（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，

∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，

当60＜a＜70时，每天的最大利润为(﹣10a2+1400a﹣33000)元．

23．（10分）问题提出

如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

【解答】解：（1）如图（2），∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，

∴∠BCE＝∠ACD，

∵BC＝AC，EC＝DC，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD＝AF，∠EBC＝∠CAD，

故△CDE为等腰直角三角形，

故DE＝EFCF，

则BF＝BD＝BE+ED＝AFCF；

即BF﹣AFCF；

（2）如图（1），由（1）知，△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AF，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，

∵∠FCE+∠ECG＝90°，∠ECG+∠GCB＝90°，

∴∠ACF＝∠GCB，

∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，

∴△BCG≌△ACF（AAS），

∴GC＝FC，BG＝AF，

故△GCF为等腰直角三角形，则GFCF，

则BF＝BG+GF＝AFCF，

即BF﹣AFCF；

（3）由（2）知，∠BCE＝∠ACD，

而BC＝kAC，EC＝kDC，

即，

∴△BCE∽△CAD，

∴∠CAD＝∠CBE，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由（2）知，∠BCG＝∠ACF，

∴△BGC∽△AFC，

∴，

则BG＝kAF，GC＝kFC，

在Rt△CGF中，GF•FC，

则BF＝BG+GF＝kAF•FC，

即BF﹣kAF•FC．

24．（12分）抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．

（1）▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；

①如图（1），若点C的坐标是（0，3），点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标．

②如图（2），若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．

（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的值是定值．

【解答】解：（1）对于y＝x2﹣1，令y＝x2﹣1＝0，解得x＝±1，令x＝0，则y＝﹣1，

故点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（1,0），顶点坐标为（0，﹣1），

①当x时，y＝x2﹣1，

由点A、C的坐标知，点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，

∵四边形ACDE为平行四边形，

故点E向右平移1个单位向上平移3个单位得到点D，

则1，3，

故点D的坐标为（，）；

②设点C（0，n），点E的坐标为（m，m2﹣1），

同理可得，点D的坐标为（m+1，m2﹣1+n），

将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣1+n＝（m+1）2﹣1，

解得n＝2m+1，

故点C的坐标为（0，2m+1）；

连接CE，过点E作y轴的平行线交x轴于点M，交过点C与x轴的平行线与点N，

则S△ACE＝S梯形CNMA﹣S△CEN﹣S△AEM（m+1+m）（2m+1）（m+1）（m2﹣1）m[2m+1﹣（m2﹣1）]S▱ACED＝6，

解得m＝﹣5（舍去）或2，

故点E的坐标为（2,3）；

（2）∵F是原点O关于抛物线顶点的对称点，故点F的坐标为（0，﹣2），

由点B、F的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，

同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，

设直线l的表达式为y＝tx+n，

联立y＝tx+n和y＝x2﹣1并整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

故△＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0，解得nt2﹣1，

故直线l的表达式为y＝txt2﹣1③，

联立①③并解得xH，

同理可得，xG，

∵射线FA、FB关于y轴对称，则∠AFO＝∠BFO，设∠AFO＝∠BFO＝α，

则sin∠AFO＝∠BFOsinα，

则FG+FH（xH﹣xG）（）为常数．