数学建模实验报告6

求出四分之一圆占正方形的比例。随机投点P(x,y)于正方形，π/4的近似值为落在四分之一圆内的点数与总投点数的比值。随机投点次数分别为10000次和50000次，计算π的近似值。

蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法．此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数。

在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。

而在本题中，向一个边长为单位长度的正方形内随机投点P（x,y）, π/4的近似值为落在四分之一圆内的点数与总投点数的比值。这是计算机模拟π的近似值的关键如在。

　　　2圆的半径为单位长度，此时圆的面积为π。

　　　3圆的面积的四分之一落在正方形内，向单位正方形内随投点，则落入四分之一圆中的点的数量与总投点数的比值即为π/4的近似值。该过程运用计算机产生随机数进行模拟。

　　　4可求得π的近似值为计算机模拟产生的数值的4倍。

计算结果:

 当n=10000时，进行多次运算结果为：

p =3.1196  p =3.1244  p =3.1420  p =3.1780  p =3.1468  p =3.1208  p=3.1232

 当n=50000时，进行多次运算结果为：

p =3.1443  p =3.1456  p =3.1387  p =3.1535  p =3.1470  p =3.1354　p=3.1406

问题的分析讨论：

1．由计算机模拟产生的随机数是没有规律的。

2．当试验的次数比较少的时候，多次模拟出的结果波动性较大，大部分模拟值与真实值相差较大。

3．当试验的次数比较多的时候，多次模拟出的结果相差不大，绝大部分模拟值与真实值相差较小。

以上充分说明了计算机模拟的特性，并进一步阐述了概率的原理，可见计算机模拟对解决实际问题有重要作用。