实变函数试卷及解答

期末考试试卷

课程名称 实变函数    课程编号 83410014

任课教师                              

共5小题，每题3分，共5×3=15分）

1、设 则集合是可数集合。   （     ）

2、Cantor 集是中无处稠密的完备集合。                                    （     ）

3、设是可测集，若对任何有理数可测，则在上可测。  （     ）

4、若是可测集，则对任何是上的可测集合。             （     ）

5、若是上的有界变差函数，则。             （     ）

 二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)

1、Bernstein 关于两集合对等的定理

2、中开集的构造定理

3、Lusin定理

4、Fubini定理

三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）

设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：

求 。

四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10 = 60分）

1、设是集且，证明：必存在一列单调下降包含于的开集，使得。

2、设是中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于，试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于，而。

3、设都是可测集上的非负可测函数且，用表示集合的特征函数（示性函数）。证明函数是上的可测函数。

4、设是中的可测集，是上的Lebesgue可积函数。证明：

（1）若于，则存在上的非负简单函数列使得；

（2）存在上的简单函数列使得。

5、设，证明若在上，则。

6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数，且。证明：

（1）是上的连续函数，其中是以原点为中心以为半径的开球。

（2）存在可测集，使得且。

华中师范大学 2008 –2009 学年第一学期

期末考试试卷解答

课程名称 实变函数    课程编号 83410014

任课教师                              

1、设 则集合是可数集合。   （  ×  ）

2、Cantor 集是中无处稠密的完备集合。                                      （  √  ）

3、设是可测集，若对任何有理数可测，则在上可测。  （  √  ）

4、若是可测集，则对任何是上的可测集合。             （  ×  ）

5、若是上的有界变差函数，则。             （  ×  ）

二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)

1、Bernstein 关于两集合对等的定理

答：Bernstein定理：若是两集合，如果存在的子集，的子集，使，则.

2、中开集的构造定理

答：（1）中非空开集是至多可数个互不相交的开区间的并集，反之亦真。

    （2）中非空开集是可数个互不相交的半开半闭区间并集。

3、Lusin定理

答：设是可测集上几乎处处有限的可测函数，则，存在闭子集使在上连续，且。

4、Fubini定理

答：设在上可积，则

（1）对几乎所有的,作为 的函数在上可积；

（2）在上可积；

（3）

5、有界闭区间上绝对连续函数的定义

答：设定义于上，如果对于任意的>0，使于上的任意一组分点，只要，便有，

则称为上的绝对连续函数.，或说在上绝对连续。

三、计算题（共1题，共1×10 = 10分）

设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下：

求 。

解：因从而几乎处处于。显然，是上的连续函数，从而在上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，在上Lebesgue 可积且 

 由于几乎处处于，故由积分的基本性质

四、解答题（共6小题，每题10分

，共6×10 = 60分）

1、设是集且，证明：必存在一列单调下降包含于的开集，使得。

证：因是 集，所以存在中的一列开集{}，使得。而，故，令=，

则显然{}是包含于单调下降的开集列且G=。

2、设是中的测度有限的可测集，若几乎处处有限的可测函数列在上几乎处处收敛于a.e.于，试用Egoroff定理证明存在一列可测集合使得在每个上一致收敛于，而。

证：由Egoroff定理知

可测集，使得在上一致收敛于，而。

于是，对任何正整数，取，则存在可测集，使得在每个上一致收敛于，而。因为，故

从而。

3、设都是可测集上的非负可测函数且，用表示集合的特征函数（示性函数）。证明函数是上的可测函数。

证：对任意实数，我们有

显然和是上的可测集。而

由于都是上的非负可测函数，故和可测，从而

也可测。于是都可测，故是上的可测函数。

4、设是中的可测集，是上的Lebesgue可积函数。证明：

（1）若于，则存在上的非负简单函数列使得；

（2）存在上的简单函数列使得。

证：（1）因为非负可测，故在上存在非负简单函数列，使得。而

，

故由Lebesgue控制收敛定理知。

(2) 设分别是的正部和负部，则在上都非负可积，从而应用（1）的结论知，存在上的非负简单函数列和，使得

令, 则是上的简单函数，且由不等式

知。

5、设，证明若在上，则。

证： 先设，则由定义知，即

现任给，若，则，从而

若则取，此时

从而也有 故于。

由于，，

由Lebesgue有界收敛定理知

。

6、设函数是中的有界可测集上的Lebesgue可积函数，且。证明：

（1）是上的连续函数，其中是以原点为中心以为半径的开球。

（2）存在可测集，使得且。

证：（1）设，记， 

则 且在上单调递增，而

因为在上可积，由积分的绝对连续性知，当时，

，从而。

于是在上是连续函数。

（2）因在闭区间上连续，故由介值定理知存在使得 

记，则

且。