小学奥数经典专题点拨：排列与组合

【有条件排列组合】

　　例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。

　　（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）

　　讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。

　　因为百位上已取走一个数字，所以十位上只剩下9个数字了，故十位上有9种取法。

　　同理，百位上和个位上各取走一个数字，所以还剩下8个数字，供个位上取。

　　所以，组成没有重复数字的三位数共有

　　9×9×8=8（个）。

　　例2 甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有______种。

　　（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：因每个人都不排在原来的位置上，所以，当乙排在第一位时，其他几人的排法共有3种；同理，当丙、丁排在第一位时，其他几人的排法也各有3种。

　　因此，一共有9种排法。

　　例3 有一种用六位数表示日期的方法，如0817表示19年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有______天。

　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：第一、二位数字显然只能取9和1，于是第三位只能取0。

　　第五位数字只能取0、1、2或3，而0和1已取走，当取3时，第六位上只能取0和1，显然不行。因此，第五位上只能取2。

　　于是，第四位上只能取3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取3、4、5、6、7、8，且第四、六位上数字不能取同。

　　所以，一共有 6×5=30（种）。

【环形排列】

　　例1 编号为1、2、3、4的四把椅子，摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？

　　（长沙市奥林匹克代表队集训试题）

　　讲析：如图5.87，四把椅子排成一个圆圈。

　　当甲坐在①号位时，乙只能坐在②或④

　　号位上，则共有4种排法；同理，当甲分别坐在②、③、④号位上时，各有4种排法。

　　所以，一共有16种排列法。

　　例2 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在图5.88的六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出______种不同的挑法来。（挑出的数字相同，而排列次序不同的都只算一种）

　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：在1至9这九个自然数中，奇数有1、3、5、7、9五个，偶数有2、4、6、8四个。要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取3个奇数和3个偶数。

　　从五个奇数中，取3个数共有10种方法；

　　从四个偶数中，取3个数共有4种方法。

　　但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验，共有26种排法。