高中数学空间向量学习

一.选择题

 1. 在下列命题中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是                         （     ）

（A）0    （B）1   （C）2    （D）3

2. 与向量（-3，-4

3. ，5）共线的单位向量是                               （     ）

（A）（）和（）；   （B）（）；

（C）（）和（）；   （D）（）；

3. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈

4. 平面ABC的充分条件是                                            （     ）

（A）；  （B）；

（C）；        （D）

4. 已知点B是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则等于        （     ）

   （A）（9，0，16）   （B）25    （C）5     （D）13

5. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（      ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）

6. 

6. 如图所示，在正三棱柱ABC——A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为   （     ）（A）60°    （B）90°    （C）105°    （D）75°

7. 到定点的距离小于

或等于1的点集合为（   ）

   A.   B. 

   C.      D. 

8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于（    ）

A．        B．             C．            D．4

9. 在平面直角坐标系中, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为（    ）  A．     B．     C．      D． 

10. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的(          ) 

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

二．填空题

11. 若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。

12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________． 

13. 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于________；

14.已知，，，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是                .

15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于     .

16. 设向量并确定的关系，使轴垂直

17. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，

（1）求线段PQ的长度；

（2）求证PQ⊥AD； 

（3）求证：PQ//平面CDD1C1；

18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ，E，F分别是AD，PC的中点                                              

（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点

（1）证明：PEBC

（2）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

20. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得.

    (1)求a的最大值;

    (2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;

    (3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量

及点P到平面SCD的距离.

21. 如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;

②;③;④;⑤;

    (1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;

    (2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;

    (3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;

答案

1-5 AABBB    6-10 BACBB

11.  3，2      12.    13.    14.   14     15. 30

16. 解：（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)

(3,5,-4) (2,1,8)=6+5-32=-21

由

即当满足＝0即使与z轴垂直.

17. 解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，∴P，Q（），∴，所以

（1）∴；

（2）∵，∴，∴PQ⊥AD；

（3）∵，，∴，又平面CDD1C1，PQ平面CDD1C1，∴PQ//平面CDD1C1；

18. 解法一  （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√  2,四边形ABCD是矩形。

∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √  2,0)，D(0，2 √  2，0)，P(0,0,2)

又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√  2，0),F(1，√  2，1)。∴=（2，2 √  2，-2）=（-1，√  2，1）=（1,0,1），∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，

∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩  EF=F,[来源:Zxxk.Com]∴PC⊥平面BEF

（II）由（I）知平面BEF的法向量

平面BAP 的法向量

  设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，

则

∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45

解法二  （I）连接PE，EC在 

PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形

，

又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,

又，F是PC 的中点，

∴BF⊥PC.[来源:学§科§网Z§X§X§K]

又

19.

解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图

， 则

（Ⅰ）设则  

可得  因为所以  

（Ⅱ）由已知条件可得 

设为平面的法向量

 则           即因此可以取，

由∴点P到平面SCD的距离为

21.

解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

        A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)

        (1) ∵

∴由PQ⊥QD得

∵

∴在所给数据中,a可取和两个值.

       (2) 由(1)知,此时x=1,即Q为BC中点, ∴点Q的坐标为(1,1,0)

          从而又为平面ADP的一个法向量,

           ∴,

∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为

      (3) 由(1)知,此时,即满足条件的点Q有两个, 

其坐标为

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,

∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.

由,得∠Q1AQ2=30,

∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30.

，可得  

所以直线与平面所成角的正弦值为

20. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

        A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0       (1) ∵

∴由得: 

即: 

∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;

(2) 由(1)知: 

∴

∴异面直线AP与SD所成角的大小为

      (3) 设是平面SCD的一个法向量,∵

∴由得

∴平面SCD的一个单位法向量

又在方向上的投影为

∴点P到平面SCD的距离为

21.

解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

        A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)

        (1) ∵

∴由PQ⊥QD得

∵

∴在所给数据中,a可取和两个值.

       (2) 由(1)知,此时x=1,即Q为BC中点, ∴点Q的坐标为(1,1,0)

          从而又为平面ADP的一个法向量,

           ∴,

∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为

      (3) 由(1)知,此时,即满足条件的点Q有两个, 

其坐标为

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,

∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.

由,得∠Q1AQ2=30,

∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30.