2015年浙江省杭州市中考数学试卷和答案

一、仔细选一选（每小题3分，共30分）

1．（3分）（2015•杭州）统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数大约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（　　）

A．11.4×102    B．1.14×103    C．1.14×104    D．1.14×105

2．（3分）（2015•杭州）下列计算正确的是（　　）

A．23+26=29    B．23﹣24=2﹣1    C．23×23=29    D．24÷22=22

3．（3分）（2015•杭州）下列图形是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（3分）（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（　　）

A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2    B．﹣x=

C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1    D．x÷（x2+x）=+1

5．（3分）（2015•杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（　　）

A．20°    B．30°    C．70°    D．110°

6．（3分）（2015•杭州）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

7．（3分）（2015•杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（　　）

A．54﹣x=20%×108    B．54﹣x=20%（108+x）

C．54+x=20%×162    D．108﹣x=20%（54+x）

8．（3分）（2015•杭州）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112ug/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的是（　　）

A．①②③    B．①②④    C．①③④    D．②③④

9．（3分）（2015•杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

10．（3分）（2015•杭州）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

A．a（x1﹣x2）=d    B．a（x2﹣x1）=d    C．a（x1﹣x2）2=d    D．a（x1+x2）2=d

二、认真填一填（每小题4分，共24分）

11．（4分）（2015•杭州）数据1，2，3，5，5的众数是　　　　　　，平均数是　　　　　　．

12．（4分）（2015•杭州）分解因式：m3n﹣4mn=　　　　　　．

13．（4分）（2015•杭州）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=　　　　　　；当1＜x＜2时，y随x的增大而　　　　　　（填写“增大”或“减小”）．

14．（4分）（2015•杭州）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为　　　　　　度（用关于α的代数式表示）．

15．（4分）（2015•杭州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k=　　　　　　．

16．（4分）（2015•杭州）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=　　　　　　．

三、全面答一答（共66分）

17．（6分）（2015•杭州）杭州市推行垃圾分类已经多年，但在剩余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾．如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图．

（1）试求出m的值；

（2）杭州市某天收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数．

18．（8分）（2015•杭州）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．

19．（8分）（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．

如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．

20．（10分）（2015•杭州）设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．

（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数的图象；

（2）根据图象，写出你发现的一条结论；

（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值．

21．（10分）（2015•杭州）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．

（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．

（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．

22．（12分）（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．

（1）若=，AE=2，求EC的长；

（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．

23．（12分）（2015•杭州）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．

方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．

请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；

（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；

（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

2015年浙江省杭州市中考数学试卷

参与试题解析

一、仔细选一选（每小题3分，共30分）

1．（3分）（2015•杭州）统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数大约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为（　　）

A．11.4×102    B．1.14×103    C．1.14×104    D．1.14×105

【解答】解：将11.4万用科学记数法表示为：1.14×105．

故选D．

2．（3分）（2015•杭州）下列计算正确的是（　　）

A．23+26=29    B．23﹣24=2﹣1    C．23×23=29    D．24÷22=22

【解答】解：A、23与26不能合并，错误；

B、23与24不能合并，错误；

C、23×23=26，错误；

D、24÷22=22，正确；

故选D．

3．（3分）（2015•杭州）下列图形是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，则只有选项A是中心对称图形．

故选：A．

4．（3分）（2015•杭州）下列各式的变形中，正确的是（　　）

A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2    B．﹣x=

C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1    D．x÷（x2+x）=+1

【解答】解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；

B、，错误；

C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；

D、x÷（x2+x）=，错误；

故选A．

5．（3分）（2015•杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（　　）

A．20°    B．30°    C．70°    D．110°

【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，

∴∠A+∠C=180°，

∴∠C=180°﹣70°=110°．

故选D．

6．（3分）（2015•杭州）若k＜＜k+1（k是整数），则k=（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

【解答】解：∵k＜＜k+1（k是整数），9＜＜10，

∴k=9．

故选：D．

7．（3分）（2015•杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（　　）

A．54﹣x=20%×108    B．54﹣x=20%（108+x）

C．54+x=20%×162    D．108﹣x=20%（54+x）

【解答】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54﹣x=20%（108+x）．

故选B．

8．（3分）（2015•杭州）如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图（当AQI不大于100时称空气质量为“优良”）．由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这六天中PM2.5浓度的中位数是112ug/m3；③这六天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关．其中正确的是（　　）

A．①②③    B．①②④    C．①③④    D．②③④

【解答】解：由图1可知，18日的PM2.5浓度为25ug/m3，浓度最低，故①正确；

这六天中PM2.5浓度的中位数是=79.5ug/m3，故②错误；

∵当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，

∴18日、19日、20日、23日空气质量为优，

故③正确；

空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④正确；

故选：C．

9．（3分）（2015•杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，

∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，

∴AF=EF=1，∠AFE=120°，

∴∠FAE=30°，

∴AN=，

∴AE=，同理可得：AC=，

故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，

则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．

故选：B．

10．（3分）（2015•杭州）设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）

A．a（x1﹣x2）=d    B．a（x2﹣x1）=d    C．a（x1﹣x2）2=d    D．a（x1+x2）2=d

【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），

∴dx1+e=0，

∴y2=d（x﹣x1），

∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）

=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+d]

∵函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，

∴函数y=y1+y2是二次函数，且它的顶点在x轴上，

即y=y1+y2=a，

∴a（x﹣x2）+d=a（x﹣x1），

令x=x2，可得

a（x2﹣x2）+d=a（x2﹣x1），

∴a（x2﹣x1）=d．

故选：B．

二、认真填一填（每小题4分，共24分）

11．（4分）（2015•杭州）数据1，2，3，5，5的众数是　5　，平均数是　　．

【解答】解：数据1，2，3，5，5的众数是5；

平均数是（1+2+3+5+5）=．

故答案为：5；．

12．（4分）（2015•杭州）分解因式：m3n﹣4mn=　mn（m﹣2）（m+2）　．

【解答】解：m3n﹣4mn

=mn（m2﹣4）

=mn（m﹣2）（m+2）．

故答案为：mn（m﹣2）（m+2）．

13．（4分）（2015•杭州）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=　﹣1　；当1＜x＜2时，y随x的增大而　增大　（填写“增大”或“减小”）．

【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，

得x2+2x+1=0，

解得x=﹣1，

当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，

∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；

故答案为﹣1，增大．

14．（4分）（2015•杭州）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为　90﹣　度（用关于α的代数式表示）．

【解答】解：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，

∴∠ECB=180°﹣α，

∵CD平分∠ECB，

∴∠DCB=（180°﹣α），

∵FG∥CD，

∴∠GFB=∠DCB=90﹣．

15．（4分）（2015•杭州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k=　2+2或2﹣2　．

【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，

∴t==2，

∴P（1.2），

∴OP==，

∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．

∴Q（1+，2）或（1﹣，2）

∵反比例函数y=的图象经过点Q，

∴2=或2=，解得k=2+2或2﹣2

故答案为2+2或2﹣2．

16．（4分）（2015•杭州）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=　2+或4+2　．

【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，

当四边形ABCE为平行四边形，

∵AB=BC，

∴四边形ABCE是菱形，

∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，

∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，

则∠NAD=60°，

∴∠AND=90°，

∵四边形ABCE面积为2，

∴设BT=x，则BC=EC=2x，

故2x×x=2，

解得：x=1（负数舍去），

则AE=EC=2，EN==，

故AN=2+，

则AD=DC=4+2；

如图2，当四边形BEDF是平行四边形，

∵BE=BF，

∴平行四边形BEDF是菱形，

∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，

∴∠ADB=∠BDC=15°，

∵BE=DE，

∴∠AEB=30°，

∴设AB=y，则BE=2y，AE=y，

∵四边形BEDF面积为2，

∴AB×DE=2y2=2，

解得：y=1，故AE=，DE=2，

则AD=2+，

综上所述：CD的值为：2+或4+2．

故答案为：2+或4+2．

三、全面答一答（共66分）

17．（6分）（2015•杭州）杭州市推行垃圾分类已经多年，但在剩余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾．如图是杭州某一天收到的厨余垃圾的统计图．

（1）试求出m的值；

（2）杭州市某天收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数．

【解答】解：（1）m%=1﹣22.39%﹣0.9%﹣7.55%﹣0.15%=69.01%，

m=69.01；

（2）其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约等于200×0.9%=1.8（吨）．

18．（8分）（2015•杭州）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．

【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，

∴AM=AN，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴∠MAD=∠NAD，

在△AMD与△AND中，

，

∴△AMD≌△AND（SAS），

∴DM=DN．

19．（8分）（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．

如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．

【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，

∵OA′•OA=42，

而r=4，OA=8，

∴OA′=2，

∵OB′•OB=42，

∴OB′=4，即点B和B′重合，

∵∠BOA=60°，OB=OC，

∴△OBC为等边三角形，

而点A′为OC的中点，

∴B′A′⊥OC，

在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，

∴A′B′=4sin60°=2．

20．（10分）（2015•杭州）设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．

（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数的图象；

（2）根据图象，写出你发现的一条结论；

（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值．

【解答】解：（1）当k=0时，y=﹣（x﹣1）（x+3），所画函数图象如图所示：

（2）①根据图象知，图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）．

②图象与x轴的交点是（1，0）．

③k取0和2时的函数图象关于点（0，2）中心对称．

④函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）的图象都经过（1，0）和（﹣1，4）等等．

（3）平移后的函数y3的表达式为y3=（x+3）2﹣2．

所以当x=﹣3时，函数y3的最小值是﹣2．

21．（10分）（2015•杭州）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．

（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．

（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．

【解答】解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．

（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．

如答图的△ABC即为满足条件的三角形．

22．（12分）（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．

（1）若=，AE=2，求EC的长；

（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴，

∵，AE=2，

∴EC=6；

（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．

证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，

又∵∠CFG=∠ECD，

∴∠CGF=∠PCG，

∴CP=PG，

∵∠CFG=∠ECD，

∴CP=FP，

∴PF=PG=CP，

∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；

②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．

证明：∵DE⊥AC，

∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠CFG=∠EDC，

∴∠CFG+∠ECD=90°，

∴∠CPF=90°，

∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．

③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

23．（12分）（2015•杭州）方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．

方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．

请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；

（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；

（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

【解答】解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，

把（1.5，0），（）代入得：

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=40t﹣60；

设直线CD的函数解析式为y1=k1t+b1，

把（），（4，0）代入得：，

解得：，

∴直线CD的函数解析式为：y=﹣20t+80．

（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；

，

解得：，

∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，

∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，

当20＜y＜30时，

即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，

解得：或．

（3）根据题意得：S甲=60t﹣60（）

S乙=20t（0≤t≤4），

所画图象如图2所示：

（4）当t=时，，丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：

S丙=﹣40t+80（0≤t≤2），

如图3，

S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，

所以丙出发h与甲相遇．