高三数学专题二(函数与导数)

第一讲:函数性质

(一) 典型例题讲解:

例1.   若恒大于0, 求实数a的取值范围.

解： 

令, 则, 由题意得在时恒成立, 

可变为…………（1）

当时上面不等式（1）显然成立, 当时, 因为, 所以不等式（1）可变为, 

令,则

(当且仅当时取等号) 因此a的取值范围是.

例2． 设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)，记y+3x－x2的最大值是M(a)，试求：

（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。

解  将代数式y+3x－x2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M(a)。

（1）设S(x)=y+3x－x2,将y=2－ax代入消去y，得：

S(x)=2－ax+3x－x2  =－x2+(3－a)x+2 =－[x－(3－a)]2+ (3－a)2+2(x≥0)

∵y≥0  ∴2－ax≥0  而a>0 ∴0≤x≤

下面分三种情况求M(a)

(i)当0<3－a< (a>0)，即时  解得 0(ii)当3－a≥(a>0)即时，解得：1≤a≤2，这时

M(a)=S()=2－a·+3·－·=－+

(iii)当3－a≤0，即a≥3时，M(a)=S(0)=2

综上所述得：M（a）=

（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。

当02

当1≤a≤2时，M(a)=－+=－2(－)2+

∵1≤a≤2≤≤1，∴当=时，M(a)取小值，即M(a)≥M（2）=

当a≥3时，M(a)=2

经过比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。

注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3－a是否在定义域区间[0，]内，这样就引出三种状态，找出解题的方案。

例3已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x)

（1）若f(5)=9,求：f(－5);

（2）已知x∈ [2,7]时，f(x)=(x－2)2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；

（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间[－1000,1000]上的根数为N，求N的最小值。

解  （1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。

∴  f(x)=f[(x－2)+2]=f[2－(x－2)]=f(4－x) =f[7－(3+x)]=f(7+(3+x)) =f(x+10)

∴f(x)是以10为周期的周期函数。∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9

（2）当x∈[16,17],x－10∈[6,7]，∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2

当x∈(17,20,x－20∈(－3,0,4－(x－20)∈[4,7，

∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)]  =f(24－x)=(x－22)2∴g(x)=   

∵x∈ [16,17]时，g(x)最大值为16，最小值为9；x∈（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36   ∴g(x)的最大值为36，最小值为9。

（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在[－1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0，所以最少有401个解。且这401个解的和为－200。

注 ：题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)=       

一般地：当x∈[－3，2]时，4－x∈[2,7]，∴f(x)=f(4－x)=(x－2)2

∴当x∈[－3,7],f(x)=(x－2)2，故当x∈[－3+10k,7+10k],x－10k∈[－3,7]，∴f(x)= (x－10k－2)2(k∈z)

∴f(x)= (x－10k－2)2     x∈[－3+10k,7+10k],（k∈Z）

例4．已知定义在R上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：.试回答下列问题：

（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；（Ⅲ）若函数存在反函数，求证：．

解：（Ⅰ）在中，令，则有．

即：．也即：．

由于函数的值域为，所以，，所以．

（Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（＊）

这个问题实际上是：是否成立？

为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．

所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．所以，．

任取，且，则，故且．

所以，，所以，函数在R上单调递减．

（Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，．

为了证明本题，需要考虑的关系式．在（＊）式的两端，同时用作用，得：，

令，则，则上式可改写为：．

不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）．

这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．

事实上，由于，

所以，．

所以， 

(二) 专题测试与练习:

一. 选择题

1. 若关于x的不等式对任意x∈恒成立, 则                     (      )

A.            B.           C.           D. 

2. 已知函数y＝是单调递增函数, 则实数a的取值范围是        (      )

A.           B.          C.            D. 

3. 设函数, 对任意实数t都有成立. 问:在函

数值、、、中, 最小的一个不可能是                        (      )

A.                B.                C.                D. 

4. 当时，二次函数的值域为　                      (     )

A.     B.     C.       D. 

5. 已知的对称轴方程为, 则下列判断正确的是    (     )

A.    B.    C.   D. 

二. 填空题

6. 若二次函数, 有, 则        .

7. 已知x 2,是一次函数且为增函数, 若 则_______

8. 已知函数－在区间上是增函数, 则实数a的范围是           .

9. 若、是关于x的方程的两个实根, 则的最小值为         .

三. 解答题

10. 已知二次函数．

(1) 若对于任意R, 有成立, 求实数的取值范围；

(2) 若时，有, 试求实数的取值范围.

11. 已知, 若在区间上的最大值为, 最小值为, 

令.(1) 求的函数表达式；(2) 判断的单调性, 并求出的最小值.

12. 设二次函数, 方程的两根满足. 

（1）当时, 证明: 

（2）设函数的图象关于直线对称, 证明:.

13.定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．

（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设

，若，试确定的取值范围；（4）试举出一个满足条件的函数．

14.已知函数   （1）求的值域；   （2）设m为方程   （3）若方程有4个不同的根，求a的取值范围.

高三数学专题二(函数与导数)

第二讲:函数性质

(一) 典型例题讲解:

例1.   若恒大于0, 求实数a的取值范围.

解： 

令, 则, 由题意得在时恒成立, 

可变为…………（1）

当时上面不等式（1）显然成立, 当时, 因为, 所以不等式（1）可变为, 

令,则

(当且仅当时取等号) 因此a的取值范围是.

例2． 设a是正数，ax+y=2(x≥0,y≥0)，记y+3x－x2的最大值是M(a)，试求：

（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。

解  将代数式y+3x－x2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M(a)。

（1）设S(x)=y+3x－x2,将y=2－ax代入消去y，得：

S(x)=2－ax+3x－x2  =－x2+(3－a)x+2 =－[x－(3－a)]2+ (3－a)2+2(x≥0)

∵y≥0  ∴2－ax≥0  而a>0 ∴0≤x≤

下面分三种情况求M(a)

(i)当0<3－a< (a>0)，即时  解得 0(ii)当3－a≥(a>0)即时，解得：1≤a≤2，这时

M(a)=S()=2－a·+3·－·=－+

(iii)当3－a≤0，即a≥3时，M(a)=S(0)=2

综上所述得：M（a）=

（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。

当02

当1≤a≤2时，M(a)=－+=－2(－)2+

∵1≤a≤2≤≤1，∴当=时，M(a)取小值，即M(a)≥M（2）=

当a≥3时，M(a)=2

经过比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。

注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3－a是否在定义域区间[0，]内，这样就引出三种状态，找出解题的方案。

例3已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2－x),f(x+7)=f(7－x)

（1）若f(5)=9,求：f(－5);

（2）已知x∈ [2,7]时，f(x)=(x－2)2，求当x∈[16,20]时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；

（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间[－1000,1000]上的根数为N，求N的最小值。

解  （1）由f(x+2)=f(2－x)及f(x+7)=f(7－x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。

∴  f(x)=f[(x－2)+2]=f[2－(x－2)]=f(4－x) =f[7－(3+x)]=f(7+(3+x)) =f(x+10)

∴f(x)是以10为周期的周期函数。∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9

（2）当x∈[16,17],x－10∈[6,7]，∴f(x)=f(x－10)=(x－10－2)2=(x－12)2

当x∈(17,20,x－20∈(－3,0,4－(x－20)∈[4,7，

∴f(x)=f(x－20)=f[4－(x－20)]  =f(24－x)=(x－22)2∴g(x)=   

∵x∈ [16,17]时，g(x)最大值为16，最小值为9；x∈（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36   ∴g(x)的最大值为36，最小值为9。

（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在[－1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0，所以最少有401个解。且这401个解的和为－200。

注 ：题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)=       

一般地：当x∈[－3，2]时，4－x∈[2,7]，∴f(x)=f(4－x)=(x－2)2

∴当x∈[－3,7],f(x)=(x－2)2，故当x∈[－3+10k,7+10k],x－10k∈[－3,7]，∴f(x)= (x－10k－2)2(k∈z)

∴f(x)= (x－10k－2)2     x∈[－3+10k,7+10k],（k∈Z）

例4．已知定义在R上的函数满足：（1）值域为，且当时，；（2）对于定义域内任意的实数，均满足：.试回答下列问题：

（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）判断并证明函数的单调性；（Ⅲ）若函数存在反函数，求证：．

解：（Ⅰ）在中，令，则有．

即：．也即：．

由于函数的值域为，所以，，所以．

（Ⅱ）函数的单调性必然涉及到，于是，由已知，我们可以联想到：是否有？（＊）

这个问题实际上是：是否成立？

为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系．由于，所以，在中，令，得．

所以，函数为奇函数．故（＊）式成立．所以，．

任取，且，则，故且．

所以，，所以，函数在R上单调递减．

（Ⅲ）由于函数在R上单调递减，所以，函数必存在反函数，由原函数与反函数的关系可知：也为奇函数；在上单调递减；且当时，．

为了证明本题，需要考虑的关系式．在（＊）式的两端，同时用作用，得：，

令，则，则上式可改写为：．

不难验证：对于任意的，上式都成立．（根据一一对应）．

这样，我们就得到了的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将写成的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．

事实上，由于，

所以，．

所以， 

(二) 专题测试与练习:

一. 选择题

1. 若关于x的不等式对任意x∈恒成立, 则                     (D  )

A.            B.           C.           D. 

2. 已知函数y＝是单调递增函数, 则实数a的取值范围是        (A   )

A.           B.          C.            D. 

3. 设函数, 对任意实数t都有成立. 问:在函

数值、、、中, 最小的一个不可能是                       (B  )

A.                B.                C.                D. 

4. 当时，二次函数的值域为　                     (C  )

A.     B.     C.       D. 

5. 已知的对称轴方程为, 则下列判断正确的是    (C  )

A.    B.    C.   D. 

二. 填空题

6. 若二次函数, 有, 则  0 .

7. 已知x 2,是一次函数且为增函数, 若 则      

8. 已知函数－在区间上是增函数, 则实数a的范围是     .

9. 若、是关于x的方程的两个实根, 则的最小值为     8    .

三. 解答题

10. 已知二次函数．

(1) 若对于任意R, 有成立, 求实数的取值范围；

(2) 若时，有, 试求实数的取值范围.

  解：(1) 因函数是二次函数得

又因对于任意R, 有成立, 得到函数是凹函数,从而得出   

(2) 由等价于, 即, 而x,

① 当时, ,式显然成立;

② 当x时,式化为在x上恒成立.

设, 则有所以只须

又, 故得到.综上所述, a的取值范围是

11. 已知, 若在区间上的最大值为, 最小值为, 

令.(1) 求的函数表达式；(2) 判断的单调性, 并求出的最小值.

解：(1) 函数的对称轴为直线, 而

∴在上

①当时，即时， 

②当2时，即时，， 

(2) 

12. 设二次函数, 方程的两根满足. 

（1）当时, 证明: 

（2）设函数的图象关于直线对称, 证明:.

证明：（1）令.是方程的两根，∴.

当时，由于所以.

又因，得.即从而得到．

又因,

因，∴.

因,∴.

综上可知. 

（2）由题意知是方程的两根, 

即是方程的两根,∴.

∴．∴.又因, ∴

13. 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，．

（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设

，若，试确定的取值范围；（4）试举出一个满足条件的函数．

解：（1）在中，令．得：．

因为，所以，．

（2）要判断的单调性，可任取，且设．

在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．

由于，所以．

为比较的大小，只需考虑的正负即可．

在中，令，，则得．

∵时，，∴ 当时，．

又，所以，综上，可知，对于任意，均有．

∴．∴ 函数在R上单调递减．

（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．

，，即．

由，所以，直线与圆面无公共点．所以，．解得：．

（4）如．

14.已知函数   （1）求的值域；   （2）设m为方程   （3）若方程有4个不同的根，求a的取值范围解：（1） 

由,的值域为[－1，1]

（2）∵m为方程f（x）=x的根，∴f（m）－m=0

令,∴F（x）为单调减函数

∴当x＞m时，F（x）＜F（m）,即当x＞m时，,∴当x＞m时，f（x）＜x

（3）令

…………………………10分

当

单调减,在（0，1）和（1，+∞）单调增

∴当x∈（－1，1）时， 

x→－1-时， 

由h（x）为偶函数得，x→－1时，h（x）→+∞，x→1+，时，f（x）→－∞，x→+∞时，h（x）→+∞

（若考虑到h（x）是偶函数，题意等价转化为h（x）在x上有2实根的问题，因而只需研究h（x）在上单调性与h（0）的值以及h（x）在x→1+，x→1－，x→+∞的极限值，则可参照赋分，若仅从图象直观说明，则酌情扣分）

点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决．