安徽大学高数2010-2011期末试卷(答案)

一、填空题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)

1. 若f(x)=    在x=0处可导, 则a=_______,b=_______.

2. 设函数y = y(x) 由方程y=sin(xy) 确定, 则=_____________.

3. 若函数f(x)为连续奇函数, 则为______函数.(填“奇”或“偶”)

4 若曲线y=恰有两条渐近线, 则常数k = __________.

5. 曲线y= (x>0)与直线y=x,y=2所围成的面积为___________.

二、选择题(本题共5小题, 每小题2分, 共10分)

1. f(x)= f(x) 是f(x) 在x处可微的(    ).

A. 必要条件但不是充分条件      B. 充分条件但不是必要条件

C. 充分必要条件                D. 既不是充分条件也不是必要条件

2. 设f(x)=   ，则x=0是f(x) 的(    ).

A. 跳跃间断点    B. 无穷间断点    C.可去间断点.    D. 连续点

3. 对于连续函数,下列命题正确的是(     ).

A. 驻点一定是极值点              B. 极值点一定是驻点 

C. 开区间内极值点一定是最值点    D. 开区间内最值点一定是极值点

4. 设 a>0, b>0, 则方程x+ax+b=0 (     )

A. 只有一个正实根             B. 只有一个负实根

C. 有三个互异实根             D. 有两个互异实根

5. 下列描述正确的是(    ).

A. =（-）= -2 B. f(x) < 故收敛   

C. 发散               D. = =0 = 0

三、计算题(本题共8小题, 每小题6分, 共48分)

1. ()

2. 

3. 

4. (sin

5. 

6. 

7. dx (a>0)

8. 

四、综合分析题(本题共3小题, 每小题7分, 共21分)

1.设函数y = y(x) 由参数方程  所确定,求y = y(x) 关于x的一阶和二阶导数.

2. 设曲线y = x+3ax+3bx+c在x=-1处取得极大值, 点(0,3) 是拐点,      求a,b,c.

3. 由曲线y = (x-1)(x-2) 和x轴围成的一个平面图形, 求此平面图形绕y轴一周所围成的旋转体的体积.

五、证明题(本题共2小题, 第1小题5分, 第2小题6分共11分)

1. 设f(x) 在[0,1] 上连续且单调减少, 证明:

,

2. 设f(x)在[0,1]上二阶可导, 且f(0)= , f()=1 , f(1)=0. 证明: 

(1)使得.(4分)

(2)使得(2分)

高等数学试卷答案：

一、填空题

1.填: 1;-1. 理由: 可导→连续，f(0)=f(0+0)=f(0-0)→a==1. 又由

→b=-1

2.填:. 理由: 方程y=sin(xy)对x求导 

3.填: 偶. 理由: f(x)=-f(-x),对F(x)=作变换t=-u则dt=-du, 

f(t)= f(-u)= -f(u), 当t=0时u=0, 当t=-x时u=x; F(x)= =F(-x)

4.填: 2或-4(只给出其中之一不得分). 理由: =1,有一条渐近线

y=1, 且无斜渐近线; 当k=2时, =∞→有一条渐近线x=1, 当k=-4

时, =∞→有一条渐近线x=-4

5.填:. 理由:S=

二、选择题

1. 选A. 理由: 可微→连续↔f(x)= f(x)= 

2. 选C. 理由: 

3. 选D. 理由:A不正确,如f(x)=x³,x=0是驻点但不是极值点;

B不正确, 如f(x)= │x│,x=0是极小值点但不是驻点;

C不正确,如f(x)=在(-2π , 2π)， x=0是极小值点但显然不是最小值点；

D.正确,∵若是开区间（a，b）最值点,即当然有:

， 

4.选B. 理由:( x+ax+b)′= 3x²+a>0,f(x)=x+ax+b在(-∞, ∞) 上连续且严格单增.,;

f(0)=b>0.

5.选C. 理由:由= 知A不正确和C正确;  B不正确, 如f(x)= -<,而发散;  

D不正确:不存在

3、计算题

1.解: 原式=

2.解: 原式=

 3解: 原式=

4.解: ∵(sin, ==1 

∴原式=1

5. 解: 原式=

6. 解: 原式=

7. 解: 令则,当x=0时t=0, 当x=a时t=,原式=

8. 解: ==

=

∴原式=

4、综合分析题

1.解: 

2.解:由题设有∴

3.解法（一）， 

=

（二）

        =

5、证明题

1.证法一：由积分中值有，

∵f(x)在[0,1]上单调减少，, 即

    ∴  

证法二: (1) 当a=0时不等式显然成立; (2)当a∈(0,1]由于f(x)在单调减少令x=at   则 : 

2.证: (1)由题意知f(x)在[0,1]上连续, 根据介值定理知:  使

由罗尔中值定理知:使

(2) 设  则  且

F(1)=0=F(ξ) 由罗尔中值定理知: 使即

=0 ∴