高中数学-等比数列

【基础知识回顾】

1.等比数列的概念：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）。

2.等比中项：

如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么，即。

3.等比数列的判定方法：

（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 [来源:学科网ZXXK]

（2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。

4.等比数列的通项公式：

如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。

5.等比数列的前n项和：

      当时，

6.等比数列的性质：

①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有

②对于等比数列，若，则

也就是：。如图所示：

③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：

7.数列前n项和

（1）重要公式：

；

；

（2）等差数列中，

（3）等比数列中，

（4）裂项求和：；（）

【考点例题解析】

考点1等比数列定义的应用

例1、数列满足，，则_________．

例2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．

考点二：等比中项的应用

例1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（     ）

A．                 B．                  C．              D．

例2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（    ）

A．              B．                   C．                  D．不确定

变式

已知数列为等比数列，，，求的通项公式．

考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

例1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（    ）

A．                 B．                  C．                 D．

例2、若为等比数列，且，则公比________．

变式

设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（    ）

A．            B．                C．                D．

考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

例1、在等比数列中，如果，，那么为（    ）

A．                 B．                 C．                D．

例2、如果，，，，成等比数列，那么（    ）

A．，    B．，

C．，                   D．，

例3、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．    B．    C．    D．

例4、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．               B．               C．               D．

变式

1、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（   ）

A．    B．    C．    D．

2、若是等比数列，且，若，那么的值等于           

考点五：公式的应用

例1．等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为(    )

A.(2n-1)2              B.(2n-1)2              C.4n-1              D.(4n-1)

例2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.

变式

设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n.

(1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an);

(2)求{an}的通项公式;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

【课后作业】

1．等比数列{a n }中，已知a9 =－2，则此数列前17项之积为        （    ）

    A．216          B．－216        C．217        D．－217    

2．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于        （    ）

A．4    B．    C．    D．2

3．等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于    （    ）

    A．    B．()9    C．     D．()10

4．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为                （    ）

A．3    B．3    C．12    D．15

5．在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10＝         ．

6．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)　求证数列{an＋1}是等比数列；

(2)　求{an}的通项公式．

7．在等比数列｛an｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求a12＋a22＋…＋an2．