高考真题 三角函数的综合应用

2019年

1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

2010-2018年

一、选择题

1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为

A．1         B．2         C．3         D．4

2．（2016年浙江）设函数，则的最小正周期

A．与b有关，且与c有关          B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关          D．与b无关，但与c有关

3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为

A．5          B．6          C．8         D．10

4（2015浙江）存在函数满足，对任意都有

A．               B．

C．               D．

5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图像大致为

A                  B               C              D

6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为

A．          B．

 C．          D．

7．（2015湖南）已知函数则函数的图象的一条对称轴是

A．         B．         C．         D．

二、填空题

8．（2016年浙江）已知,则=__，=__．

9．(2016江苏省) 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点

个数是         ．

10．（2014陕西）设，向量，若，

则_______．

11．(2012湖南)函数的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.

（1）若，点P的坐标为（0，），则   ；

（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为       ．

三、解答题

12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．

(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

14．（2015山东）设．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，，求△面积的最大值．

15．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，.

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；

（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？

16．（2014陕西）的内角所对的边分别为．

（）若成等差数列，证明：；

（）若成等比数列，求的最小值．

17．（2013福建）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．

(1)求函数与的解析式；

(2)是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由．

(3)求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．

答  案 

2019年

1.解析 解法一：

（1）过A作，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'

因为PB⊥AB，

所以.

所以.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，联结AD，由（1）知，

从而，所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此，Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，B=15，

此时；

当∠OBP>90°时，在中，.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.

解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.

因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，

直线PB的方程为.

所以P（−13，9），.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），

所以线段AD：.

在线段AD上取点M（3，），因为，

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（−13，9）；

当∠OBP>90°时，在中，.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）

2010-2018年

1．C【解析】由题意可得

,

，

时，取得最大值3，故选C． 

．

时，的最小正周期为；

时，；

的变化会引起的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B．

中，的最小正周期的公倍数．

3．C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．

由两个值，故C错误，选D．

，故排除选项C、D；当点在．不难发现的图象是非线性，排除A．

6．C【解析】由题意知，，当时，；当时，，故选C．

7．A【解析】由，

得，所以，所以，

由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同，

令，则，所以函数的图象的对称轴为

，当，得，选A．

8．   【解析】，所以

9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．

10．【解析】∵，∴，∴，∵，

∴．

11．（1）3；（2）【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时；

（2）曲线的半周期为，由图知，

，设的横坐标分别为．设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，

由几何概型知该点在△ABC内的概率为．

12．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．

过作⊥于，则∥，所以，

故，，

则矩形的面积为，

的面积为．

过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．

令，则，．

当时，才能作出满足条件的矩形，

所以的取值范围是．

答：矩形的面积为平方米，的面积为

，的取值范围是．

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，

则年总产值为

，．

设，，

则．

令，得，

当时，，所以为增函数；

当时，，所以为减函数，

因此，当时，取到最大值．

答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

13．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，

平面．

记玻璃棒的另一端落在上点处．

．

．

为垂足，

平面，

．

答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.

( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，是正棱台的两底面中心.

，

⊥.

⊥.

记玻璃棒的另一端落在上点处.

过⊥，=32. 

因为= 14，= 62，

. 

.

.

. 

.

.

.

答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)

14．【解析】（Ⅰ）由题意

．

由()，可得()；

由()，得()；

所以的单调递增区间是（）；

单调递减区间是（）．

（Ⅱ），，

由题意．

由余弦定理：，

，且当时成立．

．面积最大值为．

15．【解析】（Ⅰ）因为，

又，所以，，

当时，；当时，；

于是在上取得最大值12，取得最小值8.

（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.

由（Ⅰ）得，

所以，即，

又，因此，即，

故在10时至18时实验室需要降温.

成等差数列，

成等比数列，

时等号成立）

时等号成立）

时等号成立）

，所以的最小值为

17．【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，，得

又曲线的一个对称中心为，

故，得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数

（Ⅱ）当时，，，

所以．

问题转化为方程在内是否有解

设，

则

因为，所以，在内单调递增

又，

且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，

即存在唯一的满足题意．

（Ⅲ）依题意，，令

当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，

现研究时方程解的情况

令，

则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况

，令，得或．

当变化时，和变化情况如下表

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以

综上，当，时，函数在内恰有个零点