2020-2021学年北京市东城区八年级上学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）

2．下列计算正确的是（ ）

A． x+x=x B． x·x=x C． （x）=x D． x÷x=x

3．下列式子为最简二次根式的是（  ）

A． ． ． ．

4．要使代数式有意义，则的取值范围是　　

A． ． ． ．

5．如图,在△ABC中∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于（　　）

A．3cm ．4cm ．5cm ．6cm

6．如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）

A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） ．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C．（a+b）2=a2+2ab+b2 ．a2﹣b2=（a+b)（a﹣b）

7．若分式的值为0，则x的值为（ ）

A． x=1 B． x=-1 C． x=±1 D． x≠1

8．若x-=1，则x+的值是（ ）

A． 3 B． 2 C． 1 D． 4

9．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连接OC，OB，则图中全等的三角形有（    ）

A． 1对     B． 2对     C． 3对   D． 4对

10．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）

A．   B． 2 C． 2 D． 

二、填空题

11．中国女药学家屠呦呦获2021年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项．已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为     ．

12．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　   　（添加一个条件即可）．

13．若x+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m应为_______.

14．如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，则△AMB的面积为______.

15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有　   　个．

三、解答题

16．观察下列关于自然数的等式：

3-4×1=5  ①

5-4×2=9   ②

7-4×3=13  ③

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：_________________；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）______________________.

17．因式分解： 

（1）4x-9

（2）3ax-6axy+3ay

18．计算： 

（1）[（2x+3y）-（2x+y）（2x-y）] ÷2y

（2）（2-6+3）÷2

19．先化简，再求值：÷（x-2+），其中x=-1.

20．解方程：-=1.

21．如图,在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为.

(1)请在图中作出关于轴的对称图形 (的对称点分别是) ,并直接写出的坐标;

(2)求的面积

22．如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F.

 求证：△ABC≌△FDE.

23．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，

（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数.

24．在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所对的边b，c满足：b+c-4（b+c）+8=0.

（1）证明：△ABC是边长为2的等边三角形.

（2）若 b，c两边上的中线BD，CE交于点O，求OD：OB的值.

25．2021年是中国工农红军长征胜利80周年，某商家用1200元购进了一批长征胜利主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用2800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．

（1）该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？

（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于0元（不考虑其它因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？

26．．如图①，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE 绕点 A 顺时针旋转一定角度，连接 BD，CE，得到图②，将 BD、CE 分别延长至 M、N，使 DM= BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）在图②中，BD 与 CE 的数量关系是    ；

（2）在图③中，猜想 AM 与 AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想．

参

1．D

【解析】

试题分析：根据轴对称图形的定义可知：A\\B\\C都不是轴对称图形，D是轴对称图形，故选：D.

考点：轴对称图形

2．C

【解析】

试题分析：因为x与x不是同类项，不能合并，所以A错误；因为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D错误；故选：C.

考点：1.整式的加减2.幂的运算.

3．A

【解析】试题解析：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误；

B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；

C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；

D、被开方数含分母，故D错误；

故选B．

考点：最简二次根式．

4．C

【分析】

根据二次根式的被开方数非负得到关于x的不等式，解不等式即得答案.

【详解】

解：根据题意，得，解得，.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式被开方数非负是解题的关键.

5．A

【分析】

关键角平分线的性质定理，得到EC=ED，即可推出AE+ED=AE+EC=AC，由此即可解决问题．

【详解】

∵∠ACB=90°，

∴EC⊥CB，

又BE平分∠ABC，DE⊥AB，

∴CE=DE，

∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm

故选A.

【点睛】

此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握其性质.

6．C

【解析】

试题解析：图中的面积可表示为还可以表示为 

所以有 

故选C.

7．B

【解析】

试题分析：因为分式的值为0，所以，解得x=-1，故选：B.

考点：分式的值为零的条件.

8．A

【解析】

试题分析：因为x-=1，所以x+= ，故选：A.

考点：分式的化简求值.

9．D

【解析】

试题分析：∵ D为BC中点，∴CD=BD，又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中，

，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，

，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；

在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；所以共有4对全等三角形，故选：D．

考点：全等三角形的判定.

10．B

【解析】

试题分析：因为四边形ABCD是正方形，所以点BD关于AC所在的直线对称，所以PD=PE,所以BE与AC的交点即为所求的点，此时PD+PE最小值=BE，又正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，所以BE= ,故选：B.

考点：1.正方形的性质2.等边三角形的性质3.二次根式4.轴对称.

11．1.5×10-6

【解析】

试题分析:绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解：0.0000015=1.5×10﹣6，

故答案为1.5×10﹣6．

考点：科学记数法—表示较小的数．

12．AE=AD（答案不唯一）．

【解析】

要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．等（答案不唯一）．

13．-1或7

【详解】

∵x+2（m-3）x+16是一个完全平方式，

∴，

∴m=-1或7.

故答案是：-1或7

14．1

【详解】

解：∵Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，

∴AM=BM=2，∠ABM=∠A=15°，

∴∠BMC=∠A+∠ABM=30°，

∴BC=BM=×2=1，

∴S△AMB=AM•BC=×2×1=1．

故答案为：1．

考点：1.线段垂直平分线的性质2.等腰三角形的判定与性质

15．8

【详解】

作出图形，如图，可知使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．

故答案是：8

16．9-4×4=17，（2n+1）-4n=4n+1

【解析】

试题分析：由①②③三个等式可得规律是，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的4倍加1，所以第四个等式：9-4×4=17，第n个等式为：（2n+1）2-4n2=4n+1.

考点：1.规律题2.整式的计算.

17．（1）（2x+3）（2x-3） （2）3a（x-y） 

【解析】

试题分析：（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式3a，然后利用完全平方公式分解因式即可.

试题解析：（1）4x-9=（2x+3）（2x-3） 

（2）3ax-6axy+3ay=3a（x-2xy+y）=3a（x-y） 

考点：因式分解

18．（1）6x+5y（2）7

【解析】

试题分析：（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算小括号内的，然后合并同类项，再计算多项式的除法即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可.

试题解析：（1）[（2x+3y）-（2x+y）（2x-y）] ÷2y

=[4x+12xy+9y-4x+y]÷2y 

=[12xy+10y]÷2y

=6x+5y  

 （2）（2-6+3）÷2

=（4-2+12）÷2 

=14÷2

=7 

考点：1.整式的乘除2.二次根式的计算.

19．，

【解析】

试题分析：先把所给的分式化简为最简分式，然后把x=-1代入计算即可.

试题解析：÷（x-2+）

 =÷ 

 =· 

=  

当x=-1时，原式==

考点：分式的化简求值.

20．x=-

【解析】

试题分析：先去分母，再解整式方程，检验即可.

试题解析：方程两边乘（x-4），得x（x+2）-1=x-4 

x+2x-1=x-4

2x=-3

解得x=- 

经检验可知x=-是原方程的根 

∴ 原方程的根是x=-

考点：解分式方程.

21．(1)作图见解析，；(2)

【分析】

(1)根据轴对称的性质找出对称点，再顺次连接,根据所作的轴对称图形即可得到结果；

(2)用所在矩形面积减去周围三个小直角三角形的面积即可得到结果.

【详解】

(1)如图，为所作，

的坐标分别是：；

(2) ，

，

.

【点睛】

本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

22．证明见解析.

【解析】

试题分析：先由条件AB∥DE得出 ∠B=∠EDF ，然后利用ASA可证出结论.

试题解析：∵ AB∥DE，

∴ ∠B=∠EDF 

在△ABC和△FDE中

∴ △ABC≌△FDE（ASA）

考点：全等三角形的判定.

23．（1）见解析（2）48°

【解析】

试题分析：（1）按照尺规作图的基本作图的步骤作图即可；（2）根据BD平分∠ABC，可得∠FBC=24°，根据EF垂直平分BC，可得出∠FCB=∠FBC=24°，然后利用三角形外角的性质和三角形的内角和可求出∠ACF的度数.

试题解析：（1）如图：

（2）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，

∴∠FBC=24°

∵EF垂直平分BC，

∴BF=CF

∴∠FCB=∠FBC="24°" 

在△FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD="60°+24°=84°" 

∠DFC=∠FCB+∠FBC="24°+24°=48°" 

∴∠ACF="180°-84°-48°=48°" 

考点：1.尺规作图2.线段垂直平分线的性质3.角的计算.

24．（1）证明见解析（2）OD：OB=1：2

【解析】

试题分析：（1）把b+c-4（b+c）+8=0配方得出b=c=2，再加条件∠A=60°可证出结论；（2）利用等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=30°，然后利用直角三角形中30°角的性质可得OB=OC=2OD，从而得出结论.

试题解析：（1）∵ b+c-4（b+c）+8=0

∴ （b-2）+（c-2）=0 

∵ （b-2）≥0，（c-2）≥0，

∴ （b-2）=（c-2）=0

∴ b=c=2 

∵ ∠A=60°

∴ △ABC是边长为2的等边三角形  

（2）∵ AB=BC且BD是AC边上的中线

∴ BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=30°

同理∠ECB=∠ECA=30°

∴ ∠DBC=∠ECB

∴ OB=OC 

由已知：BD⊥AC，∠ECA=30°，OB=OC，

∴ OB=OC=2OD

∴ OD：OB=1：2 

考点：1.等边三角形的判定与性质2.等腰三角形的性质3.直角三角形的性质.

25．（1）该商家购进第一批纪念衫单价是30元；（2）每件纪念衫的标价至少是40元．

【解析】

【分析】

（1）设未知量为x，根据所购数量是第一批购进量的2倍得出方程式，解出方程即可得出结论，此题得以解决．

（2）设未知量为y，根据题意列出一元一次不等式，解不等式可得出结论．

【详解】

（1）设该商家购进第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是（x+5）元，

由题意，可得：，

解得：x＝30，

检验：当x＝30时，x（x+5）≠0，

∴原方程的解是x＝30

答：该商家购进第一批纪念衫单价是30元；

（2）由（1）得购进第一批纪念衫的数量为1200÷30＝40（件），则第二批的纪念衫的数量为80（件）

设每件纪念衫标价至少是a元，由题意，可得：

40×（a﹣30）+（80﹣20）×（a﹣35）+20×（0.8a﹣35）≥0，

化简，得：116a≥40

解得：a≥40，

答：每件纪念衫的标价至少是40元．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解决此类题的关键是要根据题意找出题目中的等量或不等量关系，根据关系列方程或不等式解决问题.

26．（1）BD=CE；（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC ，理由见解析.

【分析】

（1）根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；

（2）根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．

【详解】

（1）由旋转的性质可得：；

，，

由知，

∴，，

又∵，，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，，即，

∴为等腰三角形，且．

【点睛】

考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．