森林资源的可持续发展

隋轶

2002013225

生医2

【问题背景】

我从小在东北林区长大，父母都在林场工作，由于多年的乱砍滥伐，森林退化严重，林区工人生活水平也随之下降。这促使我在选题时选择了这个森林可持续发展的问题。可再生资源的开发应以适度为原则，一种合理的简化的策略就是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。森林资源是典型的可再生资源，资源的可持续性与砍伐量和种植量多少息息相关。砍伐过多，可能会造成森林资源的破坏，砍伐太少，又得不到满意的经济效益。本文通过对模型的不断完善，试图寻找二者的平衡点。 【模型1的建立与求解】

1． 模型的假设

*假设森林中只有一种树

*忽略树木自身的繁殖，新增树木就是年初植树的量 2． 初步模型的建立

设 为树木t 时刻的数量，此时的增长率

()x t r B G D =+−

其中B 为t 时刻的出生率，可以忽略，G 为种植率，D 为自然死亡率。表示t 时刻某范围内以树木的数量，当数量较大时，可以将看作t 的连续函数。

的变化仅与r 有关。

()x t ()x t ()x t 00()dx rx dt x t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩

考虑到环境约束的制约作用，一定存在一个环境容量 定义为该树木在该森林种的可容纳最大数量。即

m x lim ()m t x x t →∞

=

增长率r 应该收的制约，近似假设：

m x (1m

x

r a x =−

其中

m

x x 可解释为已消耗资源比例，剩余资源1m

x x −

体现环境阻力的大小，a

为比例系数由经验值及大量数据确定。此时，数学模型可如下建立

0(1()m dx

x a x

dt

x x t x

⎧=−⎪⎨⎪=⎩ 在森林模型里，需要进一步考虑人工砍伐的情况。假设砍伐率为()H x ，伐木率定义为单位时间（一年）砍伐树木的数量，则树木变化规律为：

(1()m

dx x

a x H dt x =−−x 可持续发展，意味着

0dx dt

=所以，分别做2

()m a g x ax x x =−和 ()H x 的图像，两图像的交点就是平衡点。

首先考虑一种简单情况，就是不考虑剩余树木的多少，砍伐率为常数，即()H x H =。下图横坐标x 为树木总量，纵坐标代表树木的变化率dx dt

二次函数与的交点设为()g x ()H x 1212,()x x x x <

（1）．当10x x <<时0dx

dt

<，所以，这时候随着时间的延续，树木总量x 会

减少。这时候需要适当下调()H x ，使得点1x 左移，保证1x x <

（2）．当12x x x <<时0dx

dt

>，随着时间的延续，树木总量会增加。 （3）．当12x x x <<时

0dx

dt

>，随着时间的延续，树木总量会减少，但是如果减少到2x 以下，又会符合（2）条件，树木总量又会增加。

综合（2）、（3）可以得到，树木总量如果满足一定初试条件会稳定在2x 附近。最终达到稳定。

显然，二次函数最大值为max

()4

m

ax g x =，不能超过，否则，

树木总量会不断减少，过渡砍伐最终树林会被砍光。所以

有极限值

()H x max ()g x ()H x max max ()()H x g x =

事实上，树木砍伐量不会不变，比较直观的想，树多的时候多砍伐一些，树少的时候少砍伐一些。我们可以假设砍伐率()H x Ex =

这时，再做总量与变化率的关系的曲线得到

相对来说比较合理，两曲线除零点以外，只有一个交点0x 。

当0x x <时都有

0dx

dt

>，树木总量会增加。 当

0x x >时都有0dx dt

<，树木总量会减少。所以时间足够长，参数变化不大

的时候树木总量会稳定在0x 。容易求得

0()m

a E x x a

−=

当E 减小时，树木的稳定量会0x 增加。但是考虑到经济效益，不可能将E 减小到太小。需要一定的 保证经济收入，下面将通过模型的深入研究考虑经济状况对树木采伐量的影响。

()H x 同样的，采伐量存在一个最大值，当且仅当直线()H x ()H x 与的最高点相交仍然有

()g x max max

()()4

m ax H x g x ==

得到结论时一年最大砍伐量为4

m

ax

3． 模型的深入研究 首先了解几个经济学概念

劳动边际产量：增加的一单位劳动所引起的产量增加量。 边际产量递减：一单位投入的边际产量随着投入的增加而减少的性质。当伐木工人少的时候，他们可以很容易找到相对容易的可以砍伐的树，随着工人的增加，增加的工人不得不砍伐比较难砍伐的树木，或者很难找到适合砍伐的树（树需要符合一定条件才能砍伐）。总之，工作效率会下降，所以每个增加的工人的贡献越来越少。

假设劳动力数量为n，工人工资为w 元/人，木材价格为c 元/立方米。林场总利润为P（不考虑植树成本）。单位劳动力每年的砍伐量为()M n （立方米），遵循边际产量递减理论，假设在n 不太大0(n n )<

的时候

()M n =

。 显然随着n 的增大，()M n

减小 。这时总的产量为()nM n =。

当n 很大时，该模型不符合实际。产量不能无限增大，应有：

max lim ()n nM n H →∞

=

所以当n 比较大的时候可以假设

0(n n >)max 0

2()H k M n n n

=

− 0n

的选择视具体情况而定，应满足

max 0200H k n n −=

我们首先近似的取第一个假设模型（工人数量较少）

()M n =

所以总利润：

p wn wn

==−=−产值－总工资

2kc w =时，利润p 取最大值22max 4k v p w =

，伐木量22

()H x = 一般来讲伐木量对应的伐木率H（x）应小于上面讨论的 max ()H x 如果计算出的，或者工人数量较多，则应按照后一个假设模

型求解。

max ()()H x H x >max 02

0max ()()

p H k

nc wn n n

ck

cH wn n

==−−=−+产值－总工资

当

n =

时，利润取得最大

值max max p cH =−，伐木

量max ()H x H =−

此时雇佣工人量为n =

，当工人工资w 上升时，n 下降，少雇佣工人，当木材价格c 上涨，要多雇佣工人，获得更大的产量。

4． 小结：

该模型中单位劳动力每年的砍伐量为()M n （立方米）。其表达式时根据边际产量递减原理估计出来的。当然还可能有其他的估计方法，本模型中只讨论了两种比较简单的情况。另外，本模型除了工人工资，没有考虑其他的成本，比如车辆的运输，和企业的赋税等等。最重要的没有考虑森林的环境效益，只考虑了经济效益。模型2将考虑更多方面的因素，建立更加细致的模型。

【模型2的建立与求解】 1．模型假设

*森林里树龄从1岁到50岁，新种树为0岁，50岁以上的树木会自然死亡 2．模型的初步建立

假设()k x t 代表的t 年，年龄为k 的树木数量。K＝0、1、2、3……50。如果知道第t 年各年龄组的树木数量，各年龄组树木的被砍伐状态和自然死亡状态，就能推算出第t＋1年各年龄组树木的数量。首先引入k 岁树木自然死亡率和被砍伐率的概念

k d k h k k k d =

一年内岁树自然死亡的数量

一年内岁树的数量

k k k h =一年内岁树被砍伐的数量一年内岁树的数量

定义

1k k k p h d =−− 为

k 岁树的成活率。一般来讲，每年种植树的数量近似

相等，所以建立离散模型如下：

001

(1)()(1)(k k x t x t )k x t p x ++=⎧⎨+=⎩t

令0150()((),(),,(),,())T

k x t x t x t x t x t =

1250

1

00000

00000000

0p p L p ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝

⎠

…

用向量和矩阵的方式表示上述离散模型形式为

(1)(x t Lx t )+=

要保证森林的稳定性，需要满足存在*lim ()t x x t →∞

=使得**

x Lx =。也就是说：

令：

****0150(,,,x x x x = )***110

*

*

22121050

**5050490

1i i x p x x p x p p x x p x p x =⎧=⎪==⎪⎪

⎨⎪⎪==⎪⎩

∑

显而易见，随着年龄的增加，树木的数量递减

下面讨论什么时候砍伐树才合适

树木生长时，其有用的木材量也发生变化，下面是一个典型的树木在时间上的增长曲线。起初，树木很小，以几乎恒定的加速度增长，一段时间以后（以后），树木增长率开始下降，到时刻树木增长率到增长率下降到0。时刻以后，树木开始老化萎缩，最终死亡。不同品种的树生长曲线肯定不同，但大致趋势是

一样的。为了方便讨论，我们假设树木生长率

1t 2t 2t 2

dv at bt dt =−+为二次曲线（v 为一颗树有用木材的体积）。分别是 1t t ，2dv

dt

取得最大值和零的点，应该满足

12,2a a t t b

b =

=

我们假定t＝0时树的木材含量为v＝0，所以有

32

32

a b v t =−+t

下面两图分别是树木含木材量关于时间的变化曲线，和生长率关于时间的曲线。

那么究竟什么时候砍伐树木合适呢？

1t 时刻增长率最大，这时树木生长最快，显然，不应该在之前或者之后较短

时间内砍伐树木。时刻树木的生长率为零，应该在之前砍伐。另外砍伐时间不能离过近，因为附近一段时间内增长率比较小，不如早砍伐种植新树效率高。所以，我们所求的树木砍伐时间应该在 之间。

1t 1t 2t 2t 2t 2t 3t 12t t 现在我们定义一个函数

()()t

dv dt dt v f t t t

=

∫=含义为0－t 时刻之间的平均增

长率。利用前面的假设，容易求得

2()32

a b

f t t t =−+在一幅图上分别画出

()f t 和dv

dt

的图像两图像的交点就是所求的点。

3

t

当时，平均增长率小于增长率，就是说随着时间的增加，平均增长率会提

高，应该继续种植。

3t

t <

当时，平均增长率将大于增长率，就是说，再种植下去，平均增长率反而

会降低。总受益会增加，但单位时间（一年）的收益会减少。为获得单位时间内最大效益，应该砍伐树木，种植新的树木。 3t

t >联立

()dv

f t dt =

得到334a t b

=。这就是所谓的最佳砍伐时间。

结合前面建立的离散的森里模型

(1)(x t Lx t )+=

从理论上取，即树龄大于的全部砍伐，小于 的全部保

留。 330()

1(k k k t h d k t <⎧=⎨−>⎩)

3t 3t

上面纯粹是从产量角度出发，研究怎么才能最大限度利用土地生产出最大量的木材，没有考虑现实的经济效益。如果我们提前一段时间砍伐树木，虽然并未达到取得最优的产量，但是可以提前得到收益。这些收益在一段时间后的升值可能比这段时间内木材增长量所创造的价值大。基于这些考虑，我们做如下假设。 *p 为木材的零售价格，由于市场的调节，在竞争中形成，认为p 为常量 *引入最优轮伐期的概念，假设在一块空地上植树，每次收获，我们一次性砍伐掉所有的树，清理后种植新的树木。一段时间后再砍伐，再清理，再种植。这个循环时间就是轮伐期。能获得最大利润的轮伐期就是最优轮伐期，设为T *获得的利润可以投资，我们做最简单的假设，全部存银行，银行利率为r *我们把整个生产过程的成本分成两部分，固有成本D 和伐木成本C。固有成本是无论采伐多少木材都不变的成本总和，比如土地租金，常规护林工作的损耗等等。伐木成本除了伐木工人的工资，还有包括木材的运输等等。固有成本D 为常量，因为这时前提是砍伐掉所有树木，所以忽略工人的劳动边际效应，近似认为伐木成本C 随砍伐量v 的增加而线性增加，不妨设C＝cv。

由上面的假设第k＋1次砍伐后的利润为：

()p c v D −−

现在我们重视的是长久收益，并不是一年内的收益。第k+1次的收获距离第一次

时间是kT。在这个阶段里，第一次的收益会升值为原来的被,为了计算

方便，利用银行利率r 把这些利润换算成第一次砍伐时的价值

(1)kT

r +[()](1)kT p c v D r −−−+

所以，一片树林长久期待的利益为（都转化成第一次收获时的现金）：

[()](1)[()](1)(1)[()]

(1)1

kT

k kT

k T

T W p c v D r p c v D r r p c v D r ∞

−=∞

−==−−+=−−++=−−+−∑∑

将前面估计公式32

32

a b v t =−+t 代入上式，并令t＝T 得到

32(1)[()()]32(1)T

T a b r W p c T T D r +=−−+−1

+−

这里，变量为轮伐期T，为求长久利益W 的最大值可以计算：

2

322(1)(1)lg(1)(){()()(1)132[(1)1]

T T T T dW r a b r r p c aT bT T T D dT r r ++=−−+−−+−+−+−}+解方程0dW

dT

=得到根。取使W 取得最大值的根为最优的轮伐期。这时从长久考虑，以为轮伐期使这片树林产生最大的经济效益。 12,k T T T k T k T

3．模型的改进

该模型没有考虑森林的环境效益，只是追求产量上的最大化。事实上，森林除了能带来经济效益之外，还有其他的作用。我们把树的主要环境作用列表如下： p1 防风固沙 p2 涵养水分

p3

调节气候 p4

吸收二氧化碳，释放氧气 p5 保持水土

当然，树的环境的作用还有很多，现在就选前面几个做代表。假定要求每年森林总体必须达到一定的环境指标要求，不能简单按照利益最大化的目标砍伐。因为如果砍伐掉所有树龄超过前面分析的轮伐期的树，那么很可能留下的年轻的树无法符合环境需求，造成环境的恶化，不符合可持续发展要求。假设只考虑树木的15p p −−作用，忽略其他作用。要求树木达到的环境指标为。m 龄树对15G G −−n p 项目的贡献为。这些指标和系数都是根据实验和经验确定，而且对不同的树木品种，指标一般不同。

nm c

下面分两种情况讨论：

1）按照前面讨论的以经济利益最大化为目标所确定的砍伐期进行砍伐，稳定后的森林符合环境要求，即

111212501501121222502502131232503503141242504504151252505505

x c x c x c G x c x c x c G x c x c x c G x c x c x c G x c x c x c G +++>⎧⎪+++>⎪⎪+++>⎨⎪+++>⎪⎪+++>⎩ 这是最期待的结果，既然符合环境指标，满足可持续发展要求，就可以按照利润最大化原则。按照前面讨论的轮伐期进行砍伐，无后顾之忧的追求利润最大化。

2）事实上，如果追求利益最大化，势必砍伐掉所有的树龄超过砍伐期的树。很可能剩下的树不能满足上面五个约束中的一个或者多个方面。所以我们重新建立非线性规划模型。在模型中只考虑一年内的利润，不考虑利润的升值。 设k 龄树的自然死亡率为。k d 1k k k p h d =−−定义为成活率。被砍伐率为，

每棵树的木材产量为k V （我们可以事先根据经验公式k h 3232

a b v t =−+t D 计算出t ＝k 时的树木产量。所以现在可以把看作常数）市场上木材价格为q。一年内的获利为w，固有成本为D，砍伐成本为c。

k V k V 变量：

0150(,,,,,)T k X x x x x = 0150(,,,,,)T k H h h h h = 目标函数：

500max ()()i i i i W x h v q c ==−−∑

等式约束条件：

1102212105050504901i i x p x x p x p p x x p x p x ==⎧⎪==⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩

∑

不等式约束：

111212501501121222502502131232503503141242

504504151252505505

x c x c x c G x c x c x c G x c x c x c G x c x c x c G x c x c x c G +++>⎧⎪+++>⎪⎪+++>⎨⎪+++>⎪⎪+++>⎩

下面的问题就是寻求H 和X 的最优解。由于各个系数的具体量值不易得到，这里只建立模型，没给出具体的解。

【小结与感想】

1．这次自选题研究经历了大约三周，总体来讲，是不断完善的过程。平时

很多时间用来考虑怎么将模型优化，从简单的模型出发，慢慢引入新的问题，新的求解方法，最终得到比较满意的结果。

2．开始阶段，用微分方程构造的生物种群的生态模型与我所要建立的森林

的模型很相近，只是森林资源有一定的砍伐量和砍伐期，而且主要靠人工种植，不需要自然繁殖。以后的工作就是改造生物种群的模型，建立森林的数学模型。

3．经济问题的引入：后来发现我们不是追求产量最大化，而是追求利润的

最大化，仅仅引入生物模型是不够的，还应该引入经济学模型。之后在模型1 的改造中加入关于经济学的一点思考，虽然只引入工人工资这一个变量，但这具有一定的普遍性，使模型进一步合理。在数学模型中，用比较简单的表达式近似单位劳动力的产量，肯定会有误差，但变化趋势基本可以符合劳动边际产量递减原理。

4．实验二中按年龄分组的种群增长模型给我启发：种群的各年龄段个体存

在个体差异。为了体现这些差异，可以把种群按年龄离散化。基于这种想法，我把森林模型离散化，分别考虑不同年龄段树木的生长、自然死亡、和被砍伐情况。进一步，仔细研究什么年龄的树被砍伐最合理，应该砍伐多少才能在满足环境约束的情况下，取得最大利益。

5．总收获很大,学会了研究问题。由于是自己寻找问题解决问题，

有书上找不到现成的解答，大多的问题都得通过看书上网查资料解决。锻炼了分析和解决问题的能力。

【参考书目】

1.《大学数学实验》 谢金星 清华大学出版社 2005

2．《数学模型——方法与范例》 寿纪麟 西安交通大学出版社 1993

3．《数学建模基础》 薛毅 北京工业大学出版社 2004

4．《经济学原理》 曼昆 北京大学出版社 2002

5．《数学建模》 徐全智 扬晋浩 高等教育出版社 2003