抛物线专题复习总结

一、例题分析

1.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在轴上，其上一点到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（   ）

A．        B．    C．        D． 

2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则（ ）

A．10        B．8        C．6        D．4

3.设斜率为2的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点若为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（   ）

A．        B．        C．        D． 

4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（   ）

A．       B．      C．8        D． 

5. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线的方程为（   ）

A．        B．        C．        D． 

6.已知过抛物线焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是（   ）

A．或        B．或        C．或        D． 

7.如果直线过定点，且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的方程为      ．

8.若抛物线>，过其焦点倾斜角为的直线交抛物线于两点，且则此抛物线的方程为      ． 

9.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线的方程为      ． 

10.设抛物线>的焦点为，点若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为     ． 

11.设是抛物线上的一个动点.

(I)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值； 

(II)若求的最小值.  

12.已知抛物线>的焦点为，点是抛物线上横坐标为4，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于5，过作垂直于轴，垂足为的中点为

(I)求抛物线的方程；(II)过作，垂足为求点的坐标；

(III)以为圆心,为半径作圆当是轴上一动点时,讨论直线与圆的位置关系.

13.已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴的距离之差都是1.

(I)求曲线的方程；

(II)是否存在正数对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有<0？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

二、练习题：

1.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为，则椭圆的方程为（  ）

A．        B．        C．        D．

2.若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为(   )

A．2                    B．3                    C．4            D．4

3.抛物线上的点到直线距离的最小值是(   )

A．           B．           C．                 D．3

4. 直线ｙ＝ｘ－3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q　，则梯形APQB的面积为（    ）

A．36.           B．48         　 C．56             D．.

5．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．        Ｄ． 

6．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

7.已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的面积为   ． 

8.已知是抛物线的焦点,是上的两个点,线段的中点为,则  ．

9.已知直线与抛物线相切，则

10.已知抛物线,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(两点,则　　　．

11.若抛物线上的A(关于直线对称，且求实数的值.

12.已知椭圆C1：,抛物线C2：,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.

（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

　（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

13．如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线

交于两点．（Ⅰ）求抛物线焦点的坐标及准线的方程；

（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，

证明为定值，并求此定值．

14．设是抛物线的焦点．（）过点作抛物线的切线，求切线方程；

（）设为抛物线上异于原点的两点，且满足，延长，分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值．

15．已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；

（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．

16．在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

例题参

BBBBD  B

7.；8.；9.；10.；11.，4；

12.解：(I) 抛物线的准线为

(II)又

又，则的方程为的方程为解得

(III)由题意得，圆的圆心为半径为2，

当时，直线的方程为此时，直线与圆相离；

当时，直线的方程为即

圆心到直线的距离

令>2，解得>1，

故当>1时,直线与圆相离； =1时,直线与圆相切； <1时,直线与圆相交.

13.解：(I)设是曲线上的任意一点，则有>化简得>

(II)设过点>的直线与曲线的交点为的方程为

与联立，消得， >0，

又有<0，有<0

又<0， <,

对任意<0， <<

练习题参：

BCABB  C

7．；8．2；9．；10．32；

11．解：关于对称，且中点在上，可设方程为与联立，消，得由得

又由点在上，易得

12．解　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为x=1，

从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.

    因为点A在抛物线上，所以，即.

    此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

  （Ⅱ）解：当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.

由消去y得.           ……①

设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,

则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.

因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，

所以，且

.从而.

所以，即.解得.

因为C2的焦点在直线上，所以.即.

当时，直线AB的方程为；

当时，直线AB的方程为.

13．（）解：设抛物线的标准方程为，则，从而．

因此焦点的坐标为，

又准线方程的一般式为．从而所求准线的方程为．

（）解：设，，直线的斜率为，则直线方程为．

将此式代入得，故．

记直线与的交点为，则，，

故直线的方程为，

令，得点的横坐标，故．

从而为定值．

14．解：（）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为．即．

因为点在切线上．所以，，．所求切线方程为．

（）设，．由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．

因直线过焦点，所以直线的方程为．

点的坐标满足方程组得，由根与系数的关系知

．

因为，所以的斜率为，从而的方程为．

同理可求得．．

当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．

15．（I）解：设两点坐标分别为，，由题设知

．解得，

所以，或，．

设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为．    4分

（II）解：设，则．    8分

在中，，由圆的几何性质得

，，

所以，由此可得．则的最大值为，最小值为．

16．解：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去

由韦达定理得，．

再由弦长公式得，

又由点到直线的距离公式得．

从而，

当时，．

（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，

则．

设直线与以为直径的圆的交点为，

则有．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线．