2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(新课标Ⅱ卷)文科(解析版)

数 学 (文科)

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前考生将自己的姓名准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ） （A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}---

） （A

（B ）2 （C

（D ）1

3、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪≤⎩

，则23z x y =-的最小值是（ ）

（A ）7- （B ）6- （C ）5- 4、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，已知2b =，

，则ABC ∆的

面积为（ ）

（A

（B

（C

（D 5、设椭左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的

点，

212PF F F ⊥，1230PF F ∠

= ，则C 的离心率为（ ）

（A

（B

（C

（D 6 ）

（A （B （C （D 7、执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =

（

（A （B （C

（D 8、设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ） （A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>

9、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别

是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）

(A) (B) (C) (D)

10、设抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ）

（A ）1y x =-或!y x =-+ （B

（C （D 11、已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =

（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形

（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =

12、若存在正数x 使2()1x

x a -<成立，则a 的取值范围是（ ）

（A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据

要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。

（14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=

_______。

（15）已知正四棱锥O ABCD -的体积为，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。

（16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移

个单位后，与函数

的图象重合，则ϕ=_________。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+；

（18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。

（Ⅰ）证明：1//BC 平面11A CD ；

（Ⅱ）设12AA AC CB ===，求三棱锥1C A DE -的体积。

（19）（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品。以X （单位：t ，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；

（20）(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为，在y 轴上截得线段

（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程； （Ⅱ）若P 点到直线y x =的距离为，求圆P 的方程。

（21）（本小题满分12分）

已知函数2()x

f x x e -=。 （Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四点共圆。 （Ⅰ）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径； （Ⅱ）若DB BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值。

（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程

已知动点P Q 、都在曲线2cos ,

:2sin x t C y t =⎧⎨=⎩

（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α

（02απ<<），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：

（Ⅰ

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标2）

文科数学试题参

一、选择题

1．C 【解析】∵{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，∴{2,1,0}M N =-- . 2．C

=1i -,

C.

5．D 【解析】如图所示：∵212PF F F ⊥，01230PF F ∠=，∴122PF PF =，又因122PF PF a

+=2次运算结果为

4次输出运8．D 【解析】因为235log 3log 2log 2

>>，所以c a b >>，故选D.

9．A 【解析】根据题意可画出如图所示的四面体O ABC -，以zOx 平面为投影面，则A 与'A 重合，B 与'B 重合，故其正视图可以为如图所示，故选

A.

10．C 【解析】如图所示：

设11A(,)x y ，22(,)B x y ，则211222

44y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，

又因||3

||AF BF =，则有123y y =-l 32()39f x x x x =+-，则，当31x -<<时，'()0f x <，所以()f x 在(,3)-∞-和(1,)+∞内为增，(3,1)-内为减，则1x =时为极小值点，但在区间(,1)-∞不单调递减，显然错误，故选C.

12．D 【解析】因为“存在正数x ，使2()1x x a -<成立”，的否定为“任意非正数x ，使

2()1x x a -≥成立”令()2()x f x x a =-，显然()f x 在(,0]-∞是单调递增函数，所以max ()(0)f x f =，即1a ≤-，所以1a ≤-的补集为(1,)-+∞，故选D.

131,2,3,4,5中任取2个数使其为5的情况有(1,4)

、(2,3)两种，所以概率为

14．2【解析】设AB a = ，AD b = ，则||||2a b == ，0a b ⋅= ，BD b a =-

，15．24π【解析】如图所示：连接BD ，AC 相交于E ，连接OE ，∴3ABCD S =，

，∴24S R π=球=

【解析】因为cos(2)y x ϕ=+=三、解答题

17．解析：

【点评】近几年高考每年必考一数列大题，但新课标高考考查的难度已大为降低，所考查的的热点为求数列的通项公式、等差(比)数列的性质及数列的求和问题.

18．解析：（Ⅰ）连结1AC 交1AC 于O ，连结OD ，……

【点评】第（I ）问的证明的突破口是利用矩形11AAC C 的性质，找出1ABC 的中位线OD ，

连结1AC 交1AC 于O ，连结OD ，就做出了解决这个问题的关键辅助线。(II)本题关键要找到点C 与平面1A DE 的距离，即证明1CD A DE ⊥面，并求11,,A D A E DE 的长，易知1A DE ∆为直角三角形.

.19． 解析：（Ⅰ）500300(130)T X X =--=80039000X -

【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率统计问题来考查，且常考常新,.对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为概率模型即可，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.

20．解析：

【点评】近年高考中解析几何大题已成必考题型,重点考查求圆锥曲线的方程、“设点法”求点的轨迹、直线与圆锥曲线的位置关系以及含参问题，其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求,有时还要借助根的判别式及韦达定理进行转化.

21．解析：（Ⅰ）

（Ⅱ） 【点评】已知函数单调性求参数取值范围时，容易忽略()0f x '=这一特殊情况，从而造成漏解,需记住：()f x 在区间I 上为增函数()f x '⇒≥0在区间I 上恒成立, ()f x 在区间I 上为减函数()f x '⇒≤0在区间I 上恒成立.

23．解析：

24．解析：