高考数学抛物线试题汇编

高考试题

考点一  抛物线的定义和标准方程 

1.(2010年陕西卷,  理8)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,  则p的值为(　　)

(A)    (B)1    (C)2    (D)4

解析:圆x2+y2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y2=16,  ∴圆心为(3,  0),  半径是4,  

抛物线y2=2px(p>0)的准线是x=-,  

∴3+=4,  

又p>0,  解得p=2.故选C.

答案:C

2.(2011年辽宁卷,  理3)已知F是抛物线y2=x的焦点,  A,  B是该抛物线上的两点,  |AF|+|BF|=3,  则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

(A)     (B)1        (C)         (D)

解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+=3,  

∴xA+xB=.

∴线段AB的中点到y轴的距离为=.故选C.

故选C.

答案:C

3.(2020年四川卷,  理8)已知抛物线关于x轴对称,  它的顶点在坐标原点O,  并且经过点M(2,  y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,  则|OM|等于(　　)

(A)2       (B)2    (C)4         (D)2

解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),  则M到焦点的距离为xM+=2+=3,  ∴p=2,  ∴y2=4x.∴=4×2,  ∴|OM|===2.故选B.

答案:B

4.(2010年上海卷,  理3)动点P到点F(2,  0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,  则点P的轨迹方程是　　　　. 

解析:由抛物线的定义知,  点P的轨迹是以F为焦点,  定直线x+2=0为准线的抛物线,  故其标准方程为y2=8x.

答案:y2=8x

5.(2020年陕西卷,  理13)如图所示是抛物线形拱桥,  当水面在l时,  拱顶离水面2 m,  水面宽4 m.水位下降

1 m后,  水面宽　　　　m. 

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,  设抛物线方程为

x2=-2py(p>0),  

则A(2,  -2),  将其坐标代入

x2=-2py,  得p=1.∴x2=-2y.

当水面下降1 m,  得D(x0,  -3)(x0>0),  

将其坐标代入x2=-2y得=6,  

∴x0=,  ∴水面宽|CD|=2 m.

答案:2

6.(2010年浙江卷,  理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,  点A(0,  2),  若线段FA的中点B在抛物线上,  则B到抛物线准线的距离为　　　　. 

解析:由已知得B点的纵坐标为1,  横坐标为,  即B,  将其代入y2=2px得1=2p×,  解得p=,  则B点到准线的距离为+=p=.

答案:

考点二  抛物线的几何性质及其应用 

1.(2011年四川卷,  理10)在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,  x2=2的两点,  过这两点引一条割线,  有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,  则抛物线顶点的坐标为(　　)

(A)(-2,  -9)    (B)(0,  -5)

(C)(2,  -9)         (D)(1,  -6)

解析:当x1=-4时,  y1=11-4a;当x2=2时,  y2=2a-1,  所以割线的斜率k==a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,  由y′=2x+a得切线斜率为2x0+a,  ∴2x0+a=a-2,  ∴x0=-1.

∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,  -a-4),  切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),  

即(a-2)x-y-6=0.

圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,  即(a-2)2+1=5.

又a≠0,  ∴a=4,  此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,  顶点坐标为(-2,  -9).故选A.

答案:A

2.(2009年四川卷,  理9)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,  抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

(A)2      (B)3    (C)    (D)

解析:如图所示,  动点P到l2:x=-1的距离可转化为点P到点F的距离.由图可知,  距离和的最小值即F到直线l1的距离d==2.故选A.

答案:A

3.(2009年福建卷,  理13)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,  若线段AB的长为8,  则p=　　　　. 

解析:∵F,  ∴设AB:y=x-,  与y2=2px联立,  得x2-3px+=0.∴xA+xB=3p.

∴|AB|=xA+xB+p=4p=8,  得p=2.

答案:2

4.(2010年大纲全国卷Ⅱ,  理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,  过M(1,  0)且斜率为的直线与l相交于点A,  与C的一个交点为B,  若=,  则p=　　　　. 

解析:如图所示,  由AB的斜率为,  

知∠α=60°,  

又=,  

∴M为AB的中点.

过点B作BP垂直准线l于点P,  

则∠ABP=60°,  ∴∠BAP=30°.

∴|BP|=|AB|=|BM|,  

∴M为焦点,  即=1,  ∴p=2.

答案:2

考点三  直线与抛物线位置关系 

1.(2020年大纲全国卷,  理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,  2),  过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,  若·=0,  则k等于(　　)

(A)    (B)     (C)       (D)2

解析:法一　设直线方程为y=k(x-2),  A(x1,  y1)、B(x2,  y2),  

由

得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,  

∴x1+x2=,  

x1x2=4,  

由·=0,  

得(x1+2,  y1-2)·(x2+2,  y2-2)=

(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,  

代入整理得k2-4k+4=0,  

解得k=2.故选D.

法二　如图所示,  设F为焦点,  取AB中点P,  

过A、B分别作准线的垂线,  垂足分别为G、H,  

连接MF,  MP,  

由·=0,  

知MA⊥MB,  

则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),  

所以MP为直角梯形BHGA的中位线,  

所以MP∥AG∥BH,  

所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,  

又|AG|=|AF|,  

|AM|=|AM|,  

所以△AMG≌△AMF,  

所以∠AFM=∠AGM=90°,  

则MF⊥AB,  所以k=-=2.

答案:D

2.(2010年辽宁卷,  理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,  准线为l,  P为抛物线上一点,  PA⊥l,  A为垂足,  如果直线AF的斜率为-,  那么|PF|等于(　　)

(A)4    (B)8       (C)8    (D)16

解析:如图所示,  直线AF的方程为y=-(x-2),  与准线方程x=-2联立得A(-2,  4).

设P(x0,  4),  代入抛物线y2=8x,  

得8x0=48,  ∴x0=6,  

∴|PF|=x0+2=8,  选B.

答案:B

3.(2020年安徽卷,  理9)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,  B两点,  O为坐标原点.若|AF|=3,  则△AOB的面积为(　　)

(A)    (B)

(C)    (D)2

解析:如图所示,  由题意知,  抛物线的焦点F的坐标为(1,  0),  

又|AF|=3,  由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,  

∴点A的横坐标为2.

将x=2代入y2=4x得y2=8,  

由图知点A的纵坐标y=2,  

∴A(2,  2),  ∴直线AF的方程为y=2(x-1).

联立直线与抛物线的方程

解之得或

由图知B,  

∴S△AOB=|OF|·|yA-yB|=×1×|2+|=.故选C.

答案:C

4.(2009年天津卷,  理9)设抛物线y2=2x的焦点为F,  过点M(,  0)的直线与抛物线相交于A,  B两点,  与抛物线的准线相交于点C,  |BF|=2,  则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)

(A)    (B)    (C)    (D)

解析:如图所示,  设过点M(,  0)的直线方程为y=k(x-),  代入y2=2x并整理,  得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,  

设A(x1,  y1),  B(x2,  y2),  

则x1+x2=,  x1x2=3,  

因为|BF|=2,  所以|BB′|=2,  

∴x2=2-=,  

从而x1==2.

设点F到直线AC的距离为d,  

则====.

故选A.

答案:A

5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,  理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,  F为C的焦点,  若|FA|=2|FB|,  则k等于(　　)

(A)    (B)     (C)    (D)

解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,  得

k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.

设交点的横坐标分别为xA,  xB,  

则xA+xB=-4,  ①

xA·xB=4.

又|FA|=xA+2,  |FB|=xB+2,  

|FA|=2|FB|,  

∴2xB+4=xA+2.

∴xA=2xB+2.②

∴将②代入①得xB=-2,  

xA=-4+2=-2.

故xA·xB==4.

解之得k2=.

而k>0,  ∴k=,  满足Δ>0.故选D.

答案:D

6.(2020年安徽卷,  理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,  B两点.若该抛物线上存在点C,  使得∠ACB为直角,  则a的取值范围为　　　　. 

解析:设直线y=a与y轴交于点M,  抛物线y=x2上要存在C点,  使得∠ACB为直角,  只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有交点即可,  也就是使|AM|≤|MO|,  即≤a(a>0),  所以a≥1.

答案:[1,  +∞)

7.(2020年重庆卷,  理14)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,  B两点,  若|AB|=,  |AF|<|BF|,  则|AF|=　　　　. 

解析:由于y2=2x的焦点坐标为,  设AB所在直线的方程为y=k,  A(x1,  y1),  B(x2,  y2),  x1∴k2x2-(k2+2)x+=0.

∴x1x2=.

而x1+x2+p=x1+x2+1=,  

∴x1+x2=.

∴x1=,  x2=.

∴|AF|=x1+=+=.

答案:

8.(2010年重庆卷,  理14)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,  则弦AB的中点到准线的距离为　　　　. 

解析:F的坐标为(1,  0).

设A(x1,  y1),  B(x2,  y2),  

∵=3,  

∴(1-x1,  -y1)=3(x2-1,  y2),  

∴1-x1=3x2-3,  

且-y1=3y2,  

即x1+3x2=4,  y1=-3y2.

设直线AB的方程为y=k(x-1),  

AB中点为P(x0,  y0).

由得ky2-4y-4k=0.

∴y1y2=-4.

∴=12,   =.

∴x1=3,  x2=.

∴x0==.

∴中点P到准线x=-1的距离d=-(-1)= .

答案:

9.(2020年辽宁卷,  理15)已知P,  Q为抛物线x2=2y上两点,  点P,  Q的横坐标分别为4,  -2,  过P,  Q分别作抛物线的切线,  两切线交于点A,  则点A的纵坐标为　　　　. 

解析:y=x2,  y′=x,  

由题意P(4,  8),  k1=y′|x=4=4,  

切线为y=4x-8,  

Q(-2,  2),  k2=y′|x=-2=-2,  

切线为y=-2x-2.

由得A(1,  -4).

答案:-4

10.(2020年北京卷,  理12)在直角坐标系xOy中,  直线l过抛物线y2=4x的焦点F,  且与该抛物线相交于A,  B两点,  其中点A在x轴上方,  若直线l的倾斜角为60°,  则△OAF的面积为　　　　. 

解析:∵抛物线y2=4x,  

∴焦点F的坐标为(1,  0).

又∵直线l倾斜角为60°,  

∴直线斜率为,  

∴直线方程为y=(x-1).

联立方程

解得或

由已知得A的坐标为(3,  2),  

∴S△OAF=|OF|·|yA|=×1×2=.

答案:

11.(2020年新课标全国卷,  理20)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,  准线为l,  A为C上一点,  已知以F为圆心,  FA为半径的圆F交l于B,  D两点.

(1)若∠BFD=90°,  △ABD的面积为4,  求p的值及圆F的方程;

(2)若A,  B,  F三点在同一直线m上,  直线n与m平行,  且n与C只有一个公共点,  求坐标原点到m,  n距离的比值.

解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,  |BD|=2p,  圆F的半径|FA|=p,  又点A到l的距离d=|FA|=p,  

而S△ABD=4.∴|BD|·d=4.

即×2p×p=4,  

∴p=-2(舍去)或p=2,  

∴圆F的方程为x2+(y-1)2=8.

(2)∵A、B、F三点在同一直线m上,  所以AB为圆F的直径,  ∠ADB=90°.

又由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,  

∴∠ABD=30°,  m的斜率为-或,  

当m的斜率为时,  可设n方程为y=x+b.

代入x2=2py得x2-px-2pb=0,  

由于n与C只有一个公共点,  故Δ=p2+8pb=0

∴b=-,  

又∵m的截距b1=,  =3,  

∴坐标原点到m、n距离的比值为3.

当m的斜率为-时,  由图形对称性知,  坐标原点到m、n的距离之比仍为3.

12.(2020年广东卷,  理20)已知抛物线C的顶点为原点,  其焦点F(0,  c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,  设P为直线l上的点,  过点P作抛物线C的两条切线PA,  PB,  其中A,  B为切点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(x0,  y0)为直线l上的定点时,  求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时,  求|AF|·|BF|的最小值.

解:(1)依题意,  设抛物线C的方程为x2=4cy,  

则=,  

结合c>0,  解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.

(2)抛物线C的方程为x2=4y,  

即y=x2,  求导得y′=x.

设A(x1,  y1),  B(x2,  y2)（其中y1=,  y2=）,  

则切线PA,  PB的斜率分别为x1,  x2.

所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),  

即y=x-+y1,  即x1x-2y-2y1=0.

同理,  可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.

因为切线PA,  PB均过点P(x0,  y0),  

所以x1x0-2y0-2y1=0,  x2x0-2y0-2y2=0.

所以(x1,  y1),  (x2,  y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.

所以直线AB的方程为x0x-2y0-2y=0.

(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,  |BF|=y2+1,  

所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.

联立方程

消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,  

由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,  y1y2=,  

所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.

又点P(x0,  y0)在直线l上,  所以x0=y0+2.

所以+-2y0+1=2+2y0+5=2（y0+）2+.

所以当y0=-时,  |AF|·|BF|取得最小值,  且最小值为.

13.(2020年湖南卷,  理21)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,  k2的两条不同直线l1,  l2,  且k1+k2=2,  l1与E相交于点A,  B,  l2与E相交于点C,  D,  以AB,  CD为直径的圆M,  圆N(M,  N为圆心)的公共弦所在直线记为l.

(1)若k1>0,  k2>0,  证明:·<2p2;

(2)若点M到直线l的距离的最小值为,  求抛物线E的方程.

解:(1)由题意知,  抛物线E的焦点为F,  

直线l1的方程为y=k1x+.

由

得x2-2pk1x-p2=0.

设A,  B两点的坐标分别为(x1,  y1),  (x2,  y2),  

则x1,  x2是上述方程的两个实数根,  

从而x1+x2=2pk1,  

y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.

所以点M的坐标为（pk1,  p+）,  

=(pk1,  p).

同理可得点N的坐标为(pk2,  p+),  

=(pk2,  p),  

于是·=p2(k1k2+).

因为k1+k2=2,  k1>0,  k2>0,  k1≠k2,  

所以0故·(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+,  

|FB|=y2+,  

所以|AB|=y1+y2+p=2p+2p,  

从而圆M的半径r1=p+p.

故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-p-)2=(p+p)2,  

化简得x2+y2-2pk1x-p(2+1)y-p2=0.

同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2+1)y-p2=0.

于是圆M,  圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(-)y=0.

又k2-k1≠0,  k1+k2=2,  

则l的方程为x+2y=0.

因为p>0,  

所以点M到直线l的距离为

d=

=

=.

故当k1=-时,  

d取最小值.

由题设,   =,  

解得p=8.

故所求的抛物线E的方程为x2=16y.

14.(2020年陕西卷,  理20)已知动圆过定点A(4,  0),  且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2)已知点B(-1,  0),  设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,  Q,  若x轴是∠PBQ的角平分线,  证明直线l过定点.

(1)解:如图所示,  设动圆圆心O1(x,  y),  

由题意,  |O1A|=|O1M|,  

当O1不在y轴上时,  

过O1作O1H⊥MN交MN于H,  

则H是MN的中点,  

∴|O1M|=,  

又|O1A|=,  

∴=,  

化简得y2=8x(x≠0).

又当O1在y轴上时,  O1与O重合,  点O1的坐标(0,  0)也满足方程y2=8x,  

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.

(2)证明:由题意,  设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),  

P(x1,  y1),  Q(x2,  y2),  

将y=kx+b代入y2=8x中,  得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,  

其中Δ=-32kb+>0.

由根与系数的关系得,  x1+x2=,  ①

x1x2=,  ②

因为x轴是∠PBQ的角平分线,  

所以=-,  

即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,  

(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,  

2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,  ③

将①②代入③,  

得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,  

∴k=-b,  此时Δ>0,  

∴直线l的方程为y=k(x-1),  

∴直线l过定点(1,  0).

15. (2020年辽宁卷,  理20)如图,  抛物线C1:x2=4y,  C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,  y0)在抛物线C2上,  过M作C1的切线,  切点A,  B(M为原点O时,  A,  B重合于O).当x0=1-时,  切线MA的斜率为-.

(1)求p的值;

(2)当M在C2上运动时,  求线段AB中点N的轨迹方程(A,  B重合于O时,  中点为O).

解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,  y)的切线斜率为y′=,  且切线MA的斜率为-,  所以A点坐标为(-1,   ),  故切线MA的方程为y=-(x+1)+ .

因为点M(1-,  y0)在切线MA及抛物线C2上,  于是

y0=-(2-)+=-,  ①

y0=-=-.②

由①②得p=2.

(2)设N(x,  y),  A(x1,  ),  B(x2,  ),  x1≠x2,  由N为线段AB中点知x=,  ③

y=.④

切线MA,  MB的方程为

y=(x-x1)+ .⑤

y=(x-x2)+ .⑥

由⑤⑥得MA,  MB的交点M(x0,  y0)的坐标为

x0=,  y0=.

因为点M(x0,  y0)在C2上,  即=-4y0,  

所以x1x2=-.⑦

由③④⑦得x2=y,  x≠0.

当x1=x2时,  A,  B重合于原点O,  AB中点N为O,  坐标满足x2=y.

因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=y.

模拟试题

考点一  抛物线的定义和标准方程及其应用 

1.(2020福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,  P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,  则|FP|的最小值是(　　)

(A)3    (B)4    (C)5    (D)6

解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,  4),  半径为1,  ∵|PF|≥|CF|-1,  

∴当P、C、F三点共线时,  |PF|取到最小值,  

由y2=4x知F(1,  0),  

∴|PF|min=-1=4.故选B.

答案:B

2.(2020山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,  抛物线的准线与x轴的交点为K,  点A在抛物线上且|AK|=|AF|,  则A点的横坐标为(　　)

(A)2      (B)3    (C)2       (D)4

解析:由-=1得c2=4+5=9.

∴双曲线右焦点为(3,  0),  

∴抛物线焦点坐标为(3,  0),  抛物线方程为y2=12x.

设d为点A(x0,  y0)到准线的距离,  

由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,  

由题意得|y0|=x0+3,  

代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,  

解得x0=3.故选B.

答案:B

考点二  抛物线几何性质的应用 

1.(2020云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,  有一定点A(2,  1),  若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,  则该抛物线的准线方程是　　　　　　　　　　. 

解析:线段OA的斜率k=,  中点坐标为.

所以线段OA的垂直平分线的方程是y-=-2(x-1),  

令y=0得到x=.

即抛物线的焦点为.

所以该抛物线的准线方程为x=-.

答案:x=-

2.(2020云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,  4)在抛物线y2=px(p>0)上,  该抛物线的焦点为F,  过点A作直线l:x=-的垂线,  垂足为M,  则∠MAF的平分线所在直线的方程为　　　　　　　　　. 

解析:点A在抛物线上,  所以16=4p,  所以p=4,  所以抛物线的焦点为F(1,  0),  准线方程为x=-1,  垂足M(-1,  4),  由抛物线的定义得|AF|=|AM|,  所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,  kMF==-2,  所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),  即x-2y+4=0.

答案:x-2y+4=0

考点三  直线与抛物线的位置关系 

1.(2020河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,  则AB中点到x轴的最短距离为(　　)

(A)    (B)    (C)1        (D)2

解析:易知,  AB的斜率存在,  设AB方程为y=kx+b.

由得x2-4kx-4b=0.

设A(x1,  y1),  B(x2,  y2),  

则x1,  x2是上述方程的两个根,  

∴x1+x2=4k,  x1·x2=-4b,  

又|AB|=6,  ∴=6,  

化简得b=-k2,  

设AB中点为M(x0,  y0),  

则y0===+b

=2k2+-k2

=k2+=(k2+1)+ -1

≥2×-1=2.

当且仅当k2+1=,  

即k2=时,  y0取到最小值2.故选D.

答案:D

2.(2020北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合,  抛物线的准线与x轴的交点为K,  点A在抛物线上且|AK|=|AF|,  则△AFK的面积为(　　)

(A)4    (B)8    (C)16    (D)32

解析:双曲线的右焦点为(4,  0),  抛物线的焦点为,  

所以=4,  即p=8.

所以抛物线方程为y2=16x,  焦点F(4,  0),  

准线方程为x=-4,  

即K(-4,  0),  设A(x,  y),  

由于|AK|=|AF|,  

∴|y|=x+4,  

又y2=16x,  

∴(x+4)2=16x,  即x=4.

∴A(4,  ±8),  

S△AFK=×8×|y|=32.故选D.

答案:D

3.(2020北京海淀高三上期末)已知E(2,  2)是抛物线C:y2=2px上一点,  经过点(2,  0)的直线l与抛物线C交于A,  B两点(不同于点E),  直线EA,  EB分别交直线x=-2于点M,  N.

(1)求抛物线方程及其焦点坐标;

(2)已知O为原点,  求证:∠MON为定值.

解:(1)∵点E(2,  2)在抛物线y2=2px上,  

∴4=2p×2,  ∴p=1.

∴抛物线方程为y2=2x,  焦点坐标为.

(2)显然,  直线l斜率存在,  且不为0.

设l斜率为k,  则l方程为y=k(x-2).

由

得ky2-2y-4k=0,  

设A,  B.

则y1+y2=,  y1·y2=-4.

∵kEA===.

∴EA方程为y-2=(x-2).

令x=-2,  得y=2-=.

∴M.

同理可求得N.

∴·=·

=4+

=4+

=0

∴⊥.

即∠MON=90°,  

∴∠MON为定值.

综合检测 

1.(2020东北三校第二次联考)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,  则p的值为(　　)

(A)2         (B)18

(C)2或18    (D)4或16

解析:设P(x0,  y0),  则

∴36=2p,  即p2-20p+36=0.

解得p=2或18.故选C.

答案:C

3.(2020陕西五校联考)设动点P(x,  y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设圆M过A(1,  0),  且圆心M在P的轨迹上,  BD是圆M在y轴上截得的弦,  当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;

(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,  求四边形GRHS面积的最小值.

解:(1)由题意知,  所求动点P(x,  y)的轨迹为以F为焦点,  直线l:x=-为准线的抛物线,  其方程为y2=2x.

(2)是定值.解法如下:设圆心M,  

半径r=,  

圆的方程为+(y-a)2=a2+,  

令x=0,  得B(0,  1+a),  D(0,  -1+a),  

∴BD=2,  即弦长BD为定值.

(3)设过F的直线GH的方程为y=k,  G(x1,  y1),  H(x2,  y2),  

由得k2x2-(k2+2)x+=0,  

∴x1+x2=1+,  x1x2=,  

∴|GH|=·=2+,  

同理得|RS|=2+2k2.

S四边形GRHS=(2+2k2)=2≥8(当且仅当k=±1时取等号).

∴四边形GRHS面积的最小值为8.

2.(2020洛阳二模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,  过F的直线与该抛物线相交于A(x1,  y1)、B(x2,  y2)两点,  则+的最小值是(　　)

(A)4    (B)8    (C)12    (D)16

解析:抛物线的准线方程为x=-1,  

∴|AF|=x1+1,  |BF|=x2+1,  

∴+=4x1+4x2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.

∵|AB|的最小值为4(当AB⊥x轴时取得),  

∴+的最小值为8.故选B.

答案:B