江苏省常州市溧阳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题祥细答案与解析

一、单选题

1.  方程，则锐角  

A.   无法确定

2.  数据，，，，，的众数是（ ） 

A.   

3.  如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个相似三角形的面积比为（ ） 

A.：   

4.  在四张完全相同的卡片上，分別画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） 

A.   

5.  如图，半径为，切于点，交于点，，则的长为（ ）

A.   

6.  小明身高为米，他在距路灯米处的位置发现自己的影长为米，他继续向前走，当他距离路灯为米时，他的影长将（ ） 

A.增长米 减少米 增长米 减少米

7.  已知是半径为的圆内接三角形，若，则的度数（ ） 

A.   或

8.  如图，二次函数的图像开口向上，它的顶点的横坐标是，图像经过点，下列结论中，①，②，③，④，正确的有（ ）

A.个 个 个 个

二、填空题

  ________. 

  如果＝（其中且），则＝________． 

  二次函数的顶点坐标为_________． 

  半径为，圆心角为的扇形弧长为________． 

  如果关于的方程（为常数）有两个相等实数根，那么＝________． 

  某小区年屋顶绿化面积为平方米，计划年屋顶绿化面积要达到平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________． 

  如图，在的方格中，两条线段的夹角（锐角）为，则________．

  设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为________． 

  如图，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点，则图中阴影部分的面积是________． 

  如图，点在正方形的边上，连接，作的垂直平分线，交延长线于点，连接，交于点．若点是的中点，则________．

三、解答题

 解下列方程：  

（1）；

（2）

 计算：  

（1）；

（2）

 一只不透明的箱子里共有个球，其中个白球，个红球，它们除颜色外均相同．  

（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是________；

（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请你用列表或画出树状图的方法，求出两次摸出的球都是白球的概率．

 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为．  

（1）在如图的方格纸中把以点为位似中心扩大，使放大前后的位似比为，画出与在位似中心点的两侧，，，的对应点分别是，，．

（2）利用方格纸标出外接圆的圆心，点坐标是    ，的半径    ．（保留根号）

 传统节日“春节”到来之际，某商店老板以每件元的价格购进一批商品，若以单价元销售，每月可售出件.调查表明：单价每上涨元，该商品每月的销售量就减少件．  

（1）请写出每月销售该商品的利润（元）与单价（元）间的函数关系式；

（2）单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？

 如图，点、分别在扇形的半径、的延长线上，且，，平行于，与弧相交于点、．  

（1）求线段的长；

（2）若，求弦的长．

  如图，在某市景区主干道路旁矗立着一块景区指示牌，小明驾驶汽车由东向西行驶，到达点处，测得景区指示牌的上沿处仰角为；前进米后到达处，测得景区指示牌的下沿处仰角为，再前进米后到达景区指示牌底部处，求指示牌的高长（结果精确到米，，

 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于、两点，与轴交于点．  

（1）求点、、的坐标；

（2）如图，连接，点是抛物线上一点，若，求点的坐标；

（3）如图，若点在以点为圆心，长为半径作的圆上，连接、，请你直接写出的最小值．

参与试题解析

江苏省常州市溧阳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1.

【答案】

A

【考点】

特殊角的三角函数值

三角形内角和定理

轴对称图形

【解析】

根据特殊角的三角函数值计算即可．

【解答】

解：

故选：．

2.

【答案】

B

【考点】

众数

多边形内角与外角

点的坐标

【解析】

根据众数的定义进行判断，即可得出结论．

【解答】

解：数据，，，，，中，出现次数最多的数据是，所以这组数据的众数是．

故选：．

3.

【答案】

C

【考点】

相似三角形的性质

相似多边形的性质

位似的性质

【解析】

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．

【解答】

解：：两个相似三角形的相似比为

…这两个相似三角形的面积比为

故选：．

4.

【答案】

B

【考点】

中心对称图形

概率公式

轴对称图形

【解析】

由等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是轴对称图形和中心对称图形的有矩形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】

解：等腰三角形、平行四边形、矩形、圆中是中心对称图形的有平行四边形、矩形、圆，

是轴对称图形的有等腰三角形、矩形、圆，

…既是轴对称又是中心对称图形的有矩形、圆，

．现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是

故选：．

5.

【答案】

D

【考点】

切线的性质

【解析】

延长交○○于，连接，证明，进而得到即可求出的长．

【解答】

解：如下图所示：连接，延长交○○于，连接，，

为直径，

为圆的切线，∴

又

，即

故选：．

6.

【答案】

A

【考点】

相似三角形的应用

平行投影

中心投影

【解析】

根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解

答．

【解答】

解：设路灯距地面的高度是米，

小明身高为米，他在距路灯米处的位置发现自己的影长为米，

设他在向前走距离路灯为米时，他的影长为米，

他在向前走距离路灯为米，

…他的影长将增占米，

故选：．

7.

【答案】

D

【考点】

圆周角定理

【解析】

首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含角的直角三角形的性质，求得答案．

【解答】

解：如图，作直径，连接，则

是半径为的圆内接三角形，

∴

．的度数为：或

故选：．

8.

【答案】

B

【考点】

二次函数图象与系数的关系

【解析】

根据二次函数图象开口向上，判断大于，与轴交于负半轴，判断小于，对称轴为直线，判断，据此对①作出判断

；根据对称轴为直线，即可对②作出判断；根据二次函数图象与轴有两个交点，即可对③作出判断；根据二次函数对称轴为

直线，图象经过，进而得到二次函数图象与轴另一个交点为，坐标代入解析式，即可对④作出判断．

【解答】

解：一二次函数图象开口向上，

二次函数图象与轴交于负半轴，

二次函数图象的对称轴是直线

…．⑩正确，②正确，

二次函数与轴有两个交点，

，③错误，

二次函数图象经过，对称轴为

…二次函数图象与轴另一个交点为

小，④错误；

综上①②正确．

故选：．

二、填空题

【答案】

【考点】

二次根式的性质与化简

绝对值

提公因式法与公式法的综合运用

【解析】

根据特殊角的三角函数值填空即可．

【解答】

由特殊角的三角函数值，能够确定

故答案是

【答案】

【考点】

比较线段的长短

【解析】

先将转化为，再根据比例的基本性质，可求得的值．

【解答】

解：

故答案为：

【答案】

【考点】

轴对称图形

二次函数的定义

勾股定理的逆定理

【解析】

利用顶点式即可直接找到顶点坐标．

【解答】

解：由顶点式可知的顶点为

【答案】

【考点】

弧长的计算

扇形面积的计算

多边形内角与外角

【解析】

把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．

【解答】

解：扇形的弧

故选：．

【答案】

【考点】

根的判别式

一元一次方程的解

轴对称图形

【解析】

析：本题需先根据已知条件列出关于的等式，即可求出的值．解答：解：的方程（为常数）有两个相等实数根

故答案为

【解答】

此题暂无解答

【答案】

【考点】

一元二次方程的应用——增长率问题

【解析】

本题需先设出这个增长率是，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是，根据题意得：

解得：（舍去）

故答案为：

【解答】

此题暂无解答

【答案】

【考点】

解直角三角形

特殊角的三角函数值

锐角三角函数的定义

【解析】

解：如图添加字母，过作，可得，连结，在中由勾股定理

，由，证得，由可得，利用三角函数定义

【解答】

解：如图添加字母，过作，使

连结，

在中，

故答案为：

、

【答案】

【考点】

二次函数图象上点的坐标特征

反比例函数图象上点的坐标特征

二次函数的性质

【解析】

根据二次函数的性质得到抛物线，开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远

近判断函数值的大小．

【解答】

解：…抛物线，开口向下，对称轴为直线

在对称轴的右侧，随的增大而增大，

由

与关于对称，时的函数值为

由

故答案为：

【答案】

、

【考点】

正方形的性质

扇形面积的计算

勾股定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

试题分析：

由勾股定理得，

∴

则阴影部分的面积

【答案】

【考点】

线段垂直平分线的性质

解直角三角形

勾股定理

【解析】

首先根据点是的中点，结合正方形的性质可得出，则设，从而分别表示出和，再结合垂直平

分这个条件建立关于，的等式，通过变形整体求出的值，最后根据题意判断合理的结果即可．

【解答】

：点是的中点，

又

设

贝

小

垂直平分，

即：

整理得：

即：

令，则

解得：或

点在正方形的边上，

即：

…取符合题意，此时

故答案为：

三、解答题

【答案】

（1）；

（2）

【考点】

解一元二次方程-因式分解法

【解析】

（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】

（1）

（2）

【答案】

（1）；

（2）

【考点】

二次根式的乘除混合运算

【解析】

（1）先把函数值代入，再进行二次根式的除法即可；

（2）先把函数值代入，再进行二次根式的乘法，最后合并同类项即可．

【解答】

（1）

（2）

【答案】

（1）；

（2）

【考点】

列表法与树状图法

概率公式

等可能事件的概率

【解析】

（1）总共有个球，其中个是白球，则根据概率公式直接求解即可；

（2）先按题意画出树状图，根据树状图分析即可．

【解答】

（1）总共有个球，其中个是白球，个红球，

则根据概率公式从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是

（2）记两个白球分别为白，白，

如图所示：

第一次 白红

第二次 [白白红 白白红

从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为，两次摸出球的都是白球的（记事件）结果总数为，

【答案】

（1）作图见解析；

（2）

【考点】

作图-位似变换

勾股定理

三角形的外接圆与外心

【解析】

此题暂无解析

【解答】

（1）如图，为所作；

（2）点的坐标为

即的半径为

故答案为

【答案】

（1）；

（2）单价定为元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为元．

【考点】

二次函数的应用

二次函数的最值

一元二次方程的应用——利润问题

【解析】

（1）单价上涨（元），由单价每上涨元，该商品每月的销量就减少件得到销售量为件，根据利润等于销售价减成本得到每件的利润为，因此每月销售该商品的利润等于月销售量每件的利润；

（2）把（1）得到的函数关系式进行配方得至，然后根据二次函数的最值问题易得到单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大．

【解答】

（1）

（2）

…当时，有最大值，其最大值为，

即：单价定为元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为元．

【答案】

（1）；

（2）

【考点】

解直角三角形

勾股定理

锐角三角函数的定义

【解析】

（1）根据可知，，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长；

（2）过乍，连接，由垂径定理可知，再根据可求出的长，利用勾股定理即可求出

的长，进而求出答案．

【解答】

（1），

即

又

∴

（2）如图，过作连接，则

，即

．设，则

在中，，即，解得

在中，，即，解得

【答案】

米

【考点】

解直角三角形的应用-仰角俯角问题

解直角三角形的应用-坡度坡角问题

轴对称图形

【解析】

通过两次解直角三角形计算出和，再根据即可求出的长

【解答】

解：．汽车由东西行驶到处，测得景区指示牌的上沿仰角为

前进米后到达处，测得景区指示牌的下沿处仰角为

：前进米后到达景区指示牌底部处，

∴（米）

答：指示牌的高长约为米．

【答案】

（1）；

（2）；

（3）

【考点】

二次函数的应用

【解析】

（1）通过解方程可得点和点坐标，再计算自变量为时的函数值可得到点坐标；

（2）根据题意可得两种情况：①，点与点关于抛物线对称轴对称，由点坐标可得点坐标；②与不平行时，求

出的解析式，联立方程组求解即可；

（3）证明得，根据、、三点共线即可得到结论．

【解答】

（1）将代入得，

解得

点的坐标为，点的坐标为；

将代入

…点的坐标为；

（2）如图，

．．

点与点；关于抛物线对称轴对称，

由，两点坐标可知抛物线的对称轴为

：

…；

②当么时，；与轴交于，则有，

设，则

在中，

，解得，

．．

．

设的解析式为

把，代入得

．．

联立

解得

．．

（3）在上截取，

________

．么，

当、、三点共线时，最短，

根据勾股定理，最小值为