数学2019年中考试题-2019年山东省临沂市中考真题试题及答案详解

一、选择题（每小题3分，共42分）

1．|﹣2019|＝（　　）

A．2019                B．﹣2019            C．            D．﹣

【答案】A

【解析】|﹣2019|＝2019．故选：A．

2．如图，a∥b，若∠1＝100°，则∠2的度数是（　　）

A．110°                B．80°                C．70°                D．60°

【答案】B

【解析】∵a∥b，∴∠1＝∠3＝100°．

∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝80°，故选：B．

3．不等式1﹣2x≥0的解集是（　　）

A．x≥2                B．x≥            C．x≤2                D．x

【答案】D

【解析】移项，得﹣2x≥﹣1，系数化为1，得x≤；

所以，不等式的解集为x≤，故选：D．

4．如图所示，正三棱柱的左视图（　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是三角形，

故选：A．

5．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　）

A．a（a2b﹣b）                        B．ab（a﹣1）2    

C．ab（a+1）（a﹣1）                    D．ab（a2﹣1）

【答案】C

【解析】a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．

6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（　　）

A．0.5                B．1                C．1.5                D．2

【答案】B

【解析】∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，

在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．故选：B．

7．下列计算错误的是（　　）

A．（a3b）•（ab2）＝a4b3                B．（﹣mn3）2＝m2n6    

C．a5÷a﹣2＝a3                        D．xy2﹣xy2＝xy2

【答案】C

【解析】选项A，单项式×单项式，（a3b）•（ab2）＝a3•a•b•b2＝a4b3，选项正确，

选项B，积的乘方，（﹣mn3）2＝m2n6，选项正确，

选项C，同底数幂的除法，a5÷a﹣2＝a5﹣（﹣2）＝a7，选项错误，

选项D，合并同类项，xy2﹣xy2＝xy2﹣xy2＝xy2，选项正确，

故选：C．

8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（　　）

A．                B．                C．                D．

【答案】B

【解析】画“树形图”如图所示：

∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，

∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；故选：B．

9．计算﹣a﹣1的正确结果是（　　）

A．﹣            B．            C．﹣            D．

【答案】A

【解析】原式＝＝＝．故选：A．

10．小明记录了临沂市五月份某周每天的日最高气温（单位：℃），列成如表：

A．26.25℃                B．27℃                C．28℃                D．29℃

【答案】B

【解析】这周最高气温的平均值为（1×22+2×26+1×28+3×29）＝27（℃）；

故选：B．

11．如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（　　）

A．2+π            B．2++π            C．4+π            D．2+π

【答案】A

【解析】∵＝，∴AB＝AC，

∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，

∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，

∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，

作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，

∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，

∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，

∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+，故选：A．

12．下列关于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的说法，错误的是（　　）

A．图象经过第一、二、四象限                B．y随x的增大而减小

C．图象与y轴交于点（0，b）                D．当x＞﹣时，y＞0

【答案】D

【解析】∵y＝kx+b（k＜0，b＞0），∴图象经过第一、二、四象限，A正确；

∵k＜0，∴y随x的增大而减小，B正确；

令x＝0时，y＝b，∴图象与y轴的交点为（0，b），∴C正确；

令y＝0时，x＝﹣，当x＞﹣时，y＜0；D不正确；故选：D．

13．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM＝AC        B．MB＝MO            C．BD⊥AC            D．∠AMB＝∠CND

【答案】A

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，

∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，

∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．故选：A．

14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：

①小球在空中经过的路程是40m；

②小球抛出3秒后，速度越来越快；

③小球抛出3秒时速度为0；

④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．

其中正确的是（　　）

A．①④                B．①②                C．②③④            D．②③

【答案】D

【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；

②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；

③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；

④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，

把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，

∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，

把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，

∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选：D．

二、填空题：（每题3分，共15分）

15．计算：×﹣tan45°＝　﹣1　．

【解析】×﹣tan45°＝﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．

16．在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x＝1的对称点的坐标是　（﹣2，2）　．

【解析】∵点P（4，2），

∴点P到直线x＝1的距离为4﹣1＝3，∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3，∴点P′的横坐标为1﹣3＝﹣2，

∴对称点P′的坐标为（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．

17．用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共　11　块．

【解析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，

依题意，得：，

（①+②）÷5，得：x+y＝11．故答案为：11．

18．一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝　±10　．

【解析】∵＝10，∴m4＝104，∴m＝±10．故答案为：±10.

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是　8　．

【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，

∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，

延长CD到H使DH＝CD，

∵D为AB的中点，∴AD＝BD，

在△ADH与△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），

∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，

∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴CD＝2，

∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案为：8．

三、解答题：（共63分）

20．（7分）解方程：＝．

解：去分母得：5x＝3x﹣6，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解．

21．（7分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位：分）

78  83  86  86  90  94  97  92    86  84  81  81  84  86  88  92    86  83  81  81  85  86    93  93    85  93

整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：

（1）以上30个数据中，中位数是　86　；频数分布表中a＝　6　；b＝　6　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数．

解：（1）根据题意排列得：78，81，81，81，81，83，83，84，84，85，85，86，86，86，86，86，86，88，，，，，90，92，92，93，93，93，94，97，可得中位数为86，频数分布表中a＝6，b＝6；

故答案为：86；6；6；

（2）补全频数直方图，如图所示：

（3）根据题意得：300×＝190，

则该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数为190人．

22．（7分）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得

∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．

解：作BE⊥AD于点E，

∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，

∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，

∴BE＝DE＝2km，∴BD＝＝2km，即BD的长是2km．

23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

∵点F是ED的中点，∴CF＝EF＝DF，∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，

∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OD⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，

∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，∴CF与⊙O相切；

（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠ACD＝90°，

∵∠AEO＝∠DEC，∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，

∵AO＝BO，∴AD＝BD，∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，

∴∠ADB＝45°，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD．

24．（9分）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水． 

（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．

（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6m．

解：（1）在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示．

（2）观察图象当0＜x＜8时，y与x可能是一次函数关系：

设y＝kx+b，把（0，14），（8，18）代入得，

解得：k＝，b＝14，y与x的关系式为：y＝x+14，

经验证（2，15），（4，16），（6，17）都满足y＝x+14，

因此放水前y与x的关系式为：y＝x+14（0＜x＜8），

观察图象当x＞8时，y与x就不是一次函数关系：

通过观察数据发现：8×18＝10×10.4＝12×12＝16×9＝18×8＝144．

因此放水后y与x的关系最符合反比例函数，关系式为：（x＞8），

所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：y＝x+14（0＜x＜8）和（x＞8）.

（3）当y＝6时，6＝，解得：x＝24，因此预计24h水位达到6m．

25．（11分）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．

解：过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，

∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，∴AF＝AB，

又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，

∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；

②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，

又∵∠BAD＝90°，∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°，即∠GAH＝45°，

∵GH⊥AG，∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，

∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG＝GH，

∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，∴∠BAG＝∠NGH，

又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，∴△ABG≌△GNH（AAS），

∴BG＝NH，AB＝GN，∴BC＝GN，

∵BC﹣CG＝GN﹣CG，∴BG＝CN，∴CN＝HN，

∵∠DCM＝90°，∴∠NCH＝∠NHC＝×90°＝45°，

∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，∴∠DCH＝∠NCH，

∴CH是∠DCN的平分线；

③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，

由①知，∠AGB＝∠AGF，∴∠HGN＝∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线；

综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．

26．（13分）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．

（1）求a、b满足的关系式及c的值．

（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．

（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，

故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，

将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；

（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，

则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即﹣≥0，解得：a，

故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；

（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，

过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，

∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，

S△PAB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则yP﹣yQ＝1，

在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，

则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，

故：|yP﹣yQ|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，

解得：x＝﹣1或﹣1，

故点P（﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．