线性代数第五版答案

    1 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间 并写出各个空间的一个基 

    (1) 2阶矩阵的全体S1 

    解  设A B分别为二阶矩阵 则A BS1 因为

(AB)S1 kAS1

所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间 

是S1的一个基.

    (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2 

    解  设  A BS2 因为

所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间 

是S2的一个基 

    (3) 2阶对称矩阵的全体S3.

    解  设A BS3 则ATA BTB 因为

        (AB)TATBTAB (AB)S3

        (kA)TkATkA kAS3

所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.

是S3的一个基.

    2 验证 与向量(0 0 1)T不平行的全体3维数组向量 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间 

    解  设V{与向量(0 0 1)T不平行的全体三维向量} 设r1(1 1 0)T r2(1 0 1)T 则r1 r2V 但r1r2(0 0 1)TV 即V不是线性空间.

    3 设U是线性空间V的一个子空间 试证 若U与V的维数相等 则UV

    证明　设1 2  n为U的一组基 它可扩充为整个空间V的一个基 由于dim(U)dim(V) 从而1 2  n也为V的一个基 则 对于xV可以表示为xk11k22  krr 显然 xU 故VU 而由已知知UV 有UV 

    4 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间 a1 a2  ar是Vr的一个基 试证  Vn中存在元素ar1  an 使a1 a2  ar,  ar1  an成为Vn的一个基 

    证明  设rn, 则在Vn中必存在一向量ar1Vr 它不能被a1 a2  ar线性表示 将ar1添加进来 则a1 a2  ar1是线性无关的 若r1n 则命题得证 否则存在ar2L(a1 a2  ar1) 则a1 a2  ar2线性无关 依此类推 可找到n个线性无关的向量a1 a2  an 它们是Vn的一个基 

    5 在R3中求向量(3 7 1)T在基1(1 3 5)T 2(6 3 2)T 3(3 1 0)T下的坐标 

    解  设1 2 3是R3的自然基 则

        (1 2 3)(1 2 3)A 

        (1 2 3)(1 2 3)A1

其中  

因为    

所以向量在基1 2 3下的坐标为(33 82 154)T 

    6 在R3取两个基

        1(1 2 1)T 2(2 3 3)T 3(3 7 1)T 

        1(3 1 4)T 2(5 2 1)T 3(1 1 6)T 

试求坐标变换公式 

    解  设1 2 3是R3的自然基 则

        (1 2 1)(1 2 3)B 

        (1 2 3)(1 2 1)B1

        (1 2 1)(1 2 3)A(1 2 1)B1A

其中      

    设任意向量在基1 2 3下的坐标为(x1 x2 x3)T 则

故在基1 2 3下的坐标为

7 在R4中取两个基

      e1(1000)T e2(0100)T e3(0010)T e4(0001)T

      1(2111)T 2(0310)T 3(5321)T 3(6613)T 

    (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵 

    解  由题意知

从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为

    (2)求向量(x1 x2 x3 x4)T在后一个基下的坐标 

    解  因为 

向量在后一个基下的坐标为

    (3)求在两个基下有相同坐标的向量.

    解  令

解方程组得(k为常数) 

    8 说明xOy平面上变换的几何意义 其中

    (1)  

    解  因为

所以在此变换下T()与关于y轴对称 

    (2)  

    解  因为

所以在此变换下T()是在y轴上的投影 

    (3)  

    解  因为

所以在此变换下T()与关于直线yx对称 

    (4).

    解  因为

所以在此变换下T()是将顺时针旋转 

    9 n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间. 给出n阶矩阵P 以A表示V中的任一元素 变换T(A)PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换 

    证明  设A BV 则ATA BTB 

        T(AB)PT(AB)PPT(AB)TP 

        [(AB)P]TP(APBP)TP

        (PTAPTB)PPTAPPTBPT(A)T(B) 

        T(kA)PT(kA)PkPTAPkT(A) 

从而 合同变换T是V中的线性变换 

    10 函数集合

V3{(a2x2a1xa0)ex | a2 a1 a0 R}

对于函数的线性运算构成3维线性空间 在V3中取一个基

1x2ex 2xex 3ex

求微分运算D在这个基下的矩阵.

    解  设

        1D(1)2xexx2ex221 

        2D(2)exxex32 

        3D(3)ex3  

易知1 2 3线性无关 故为一个基.

由         

知即D在基1 2 3下的矩阵为 

    11 2阶对称矩阵的全体