2017-2018南京高一上期末数学试卷及解析

南京市2017-2018学年度第一学期期末调研测试卷

高一数学 2018.01

注意事项：

1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题-第14题），解答题（第15题-第20题）两部分．本试卷满分为

160分，考试时间为120分钟．

2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．

上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题卡．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1. 已知集合{}|02M x x =≤<，{}1,0,1,2N =-，则M N = ．

【答案】{}0,1；

【解析】由交集定义可知．

2. 计算：5

lg 4lg 2

+的值是 ．

【答案】1；

【解析】同底对数相加，真数部分相乘，55lg 4lg lg 4lg10122⎛

⎫+=⨯== ⎪⎝

⎭

3. 函数()()1

22f x x =-的定义域是 ． 【答案】[)2,+∞； 【解析】()()

1

2

2f x x =-0．

4. 已知tan 2α=，则πtan 4α⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值是 ．

【答案】3-；

【解析】由正切的和角公式：π

tan tan

π4tan 3π41tan tan 4

ααα+⎛⎫+=

=- ⎪⎝

⎭-．

5. 若函数()cos 2f x x x a =+-为偶函数，则实数a 的值是 ． 【答案】0；

【解析】由()f x 为偶函数可得()()11f f -=，则22a a -=--，则22a a -=--或22a a -=+，

解得0a =，经检验此时()f x 是偶函数．

6. 已知向量()1,2=a ，()2,1=-b ．若向量-a b 与向量k +a b 共线，则实数k 的值是 ． 【答案】1-；

【解析】()()3,1,2,21k k k -+=-+a b =a b ，由-a b 和k +a b 共线，可得632k k +=-即1k =-．

7. 已知角α的终边经过点()12,5P ，则()()sin πcos αα++-的值是 ． 【答案】

713

； 【解析】由题意512sin ,cos 1313αα==，原式7sin cos 13

αα=-+=．

8. 已知函数()()2log 2,1

2

,1x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22log 3f f -+的值是 ．

【答案】5；

【解析】分段函数将自变量带入所在范围内，()()2log 3222log 3log 42235f f -+=+=+=．

9. 在ABC △中，若tan 1A >，则角A 的取值范围是 ． 【答案】ππ,42⎛⎫

⎪⎝⎭

；

【解析】在三角形中，()0,πA ∈，结合正切函数图象可知tan 1A >时ππ,42A ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

10. 在平行四边形ABCD 中，AB =a ，AD =b ．若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为

π

3

，则线段BD 的长度为 ．

【解析】BD AD AB =-，

()

2

22π

24223cos

973

BD AD AB =-=

-=-⋅+=-⨯⨯⨯+=b a a a b b ．

11. 已知π0,2α⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭，且满足

22sin 3cos 2sin cos αααα-=，则tan α的值是 ． 【答案】3；

【解析】由π0,2α⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

可得cos 0α≠，tan 0α>，由

22sin 3cos 2sin cos αααα-=可得2tan 32tan αα-=， 则2tan 2tan 30αα--=，()()tan 3tan 10αα-+=，由tan 0α>可得tan 3α=．

12. 已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛

⎫=-> ⎪⎝

⎭，将函数()y f x =的图象向左平移π个单位长度后，所得图象与

原函数图象重合，则ω的最小值是 ． 【答案】4；

【解析】由平移后图象与原图象重合可得平移量为周期的整数倍，则2π

π,k k ω

=⋅

∈Z ，则2,k k ω=∈Z ，

由0ω>可得min 2ω=．

13. 如图，已知函数()f x 的图象为折线ACB （含端点,A B ），其中()4,0A -，()4,0B ，()0,4C ，则不等

式()()2log 2f x x >+的解集是 ．

【答案】()2,2-；

【解析】根据图象AC 段显然在()2log 2x +上方结合()2log 2x +定义域，()2,0-是解集的一部分，只需考

虑CB 段，在折线与()2log 2x +交点左侧符合不等式，所以只需求交点的横坐标，经过尝试1x =时，BC 上的点为()1,3，在()21,log 3上方，2x =时，BC 上的点为()2,2，恰好也在对数型函数图象上，所以解集为()2,2-．

14. 若0m >，且关于x 的方程(

)2

1mx m --=[]0,1上有且只有一个实数解，则实数m 的取值范

围是 ． 【答案】(]

[)0,13,+∞；

【解析】记()()(

)2

1,h x mx m f x =--=，

①

1

1m

≥即01m <≤时，此时()h x 在上单调递减，()f x 在[]0,1上单调递增，结合图象，根据零点定理只需()()()()0011h f h f ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩即可，即(

)2

10

11m m m -≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得01m <≤；

（第13题图）

②1

01m

<

<即1m <时，此时观察可得()()0100h m f =-<=， 故两个函数在10m ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上必然没有交点，

即题目可转化为在1,1m ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上有且仅有一个交点，

结合图象，根据零点定理只需()()11h f ≥， 即()2

11m m --≥，解得3m ≥. 综上取值范围是(][)0,13,+∞.

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）

已知向量()1,2=a ，()3,4=-b ． ⑴ 求向量+a b 与向量a 夹角的大小； ⑵ 若()λ⊥+a a b ，求实数λ的值． 【答案】⑴ 45︒；⑵ 1λ=-．

【解析】⑴ ()2,6+=-a b ，设a 与+a b 的夹角为θ，

则(

)cos 2

θ+⋅=

=

=

+⋅a b a

a b a

，由[]0,πθ∈可得夹角为45︒； ⑵ ()13,24λλλ+=-+a b ，由于()λ⊥+a a b ， 所以()0λ⋅+=a a b ，即550λ+=，解得1λ=-．

16. （本小题满分14分）

已知函数()()sin f x A x ωϕ=+()0,0,0πA ωϕ>><<的图象如图所示． ⑴ 求,,A ωϕ的值；

⑵ 若ππ,212x ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

，求()f x 的值域．

（第16题图）

x

【答案】⑴ 2π

2,2,3

A ωϕ===

；⑵ ⎡⎤⎣⎦； 【解析】⑴ 由最大值为2，0A >，可得2A =；

由图象可得

ππ4612T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则πT =，则

2π

πω

=，由0ω>可得2ω=， 由π212f ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

可得πsin 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()ππ2π62k k ϕ-=+∈Z ，即()2π2π3k k ϕ=+∈Z ，

由0πϕ<<可得2π3

ϕ=， 则2π2,2,3

A ωϕ===

；

⑵ ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,212x ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦时，2ππ5π2,336x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦

，则2πsin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，

则()f x 值域为⎡⎤⎣⎦．

17. （本小题满分14分）

已知sin α=，π,02α⎛⎫

∈- ⎪⎝⎭

． ⑴ 求πcos 4α⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

的值；

⑵ 若()sin αβ+=，π0,2β⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，求β的值．

【答案】⑴

；⑵ π3

；

【解析】⑴ 由于π,02α⎛⎫

∈- ⎪⎝⎭

，所以1cos 7α=，)πcos cos sin 4ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭； ⑵ ππ,22αβ⎛⎫

+∈- ⎪⎝⎭

，所以()13cos 14αβ+=，要求β只需先求sin β，

()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+=， 由于π0,2β⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，所以π3β=．

18. （本小题满分16分）

如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为

π

3

的扇形，点A 在弧PQ 上（异于点,P Q ），过点A 作AB OP ⊥，AC OQ ⊥，垂足分别为,B C ．记AOB θ∠=，四边形ACOB 的周长为l ．

⑴ 求l 关于θ的函数关系式；

⑵ 当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值．

【答案】⑴

π03θθθ⎛

⎫+<< ⎪⎝

⎭；⑵ π6θ=时l

最大，最大值为1 【解析】⑴ ππsin ,cos ,cos ,sin 33AB OB OC AC θθθθ⎛⎫⎛⎫

===-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

所以ππsin cos cos sin 33l θθθθ⎛⎫⎛⎫

=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

π03θθθ⎛

⎫=

+<< ⎪⎝

⎭； ⑵

(

1

1sin 2l θθ⎫=+⎪⎪⎝⎭

(π1sin 3θ⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭

由于π0,3θ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，所以πsin 3θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦， 所以当π

6

θ=时l

最大，最大值为1 答：π

6

θ=

时，l 有最大值，l

的最大值为1+．

Q P

C

B

A

O

θ

（第18题图）

如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =．M 是线段CE 上一动点． ⑴ 若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； ⑵ 若9AB =，43CA CE ⋅=，求()

2MA MB MC +⋅的最小值． 【答案】⑴

43；⑵754

-． 【解析】⑴ 由ABCD 为矩形，可知：AC AB AD =+；在ACE △中，M 为CE 中点，可知：

11

22

AM AC AE =

+，再由2AE EB =， 得：()

111125

1222236

2AM AC AE AB AD AB AB AD ⎛⎫=

+=++=+ ⎪⎝⎭； 所以：4

3

m n +=

； ⑵ 法一：()

13CA CE CD CB CD CB ⎛⎫

⋅=++ ⎪⎝⎭

，因为ABCD 为矩形，所以0CD CB ⋅=，

所以()

2211

4333

CA CE CD CB CD CB CD CB ⎛⎫⋅=++=+= ⎪⎝⎭，得：4CB =；

()

2212

3333

ME MA AE MA AB MA AM MB MA MB =+=+

=++=+； 所以()

23MA MB MC ME MC +⋅=⋅，因为,,C M E 共线，且,ME MC 反向， 所以ME MC ME MC ⋅=-，因为5CE CM ME =+=，

所以2

2524ME MC ME MC +⎛⎫

≤= ⎪

⎝⎭

，所以254ME MC ME MC ⋅=-≥-， 当且仅当M 为中点的时候取等号，所以()

2MA MB MC +⋅的最小值为75

4

-

． 法二：以C 为原点，DC 方向为x 轴正方向，BC 方向为y 轴正方向建系；

设CB a =，所以()9,CA a =--，()3,CA a =--，由43CA CE ⋅=，得4a =； 设()3,4CM CE λλλ==--，所以()3,4M λλ--，又有()()9,4,0,4A B ---； 所以()93,44MA λλ=-+-+，()3,44MB λλ=-+，()3,4MC λλ=；

()

()2

2

1752757524MA MB MC λλλ⎛

⎫+⋅=-=-- ⎪⎝

⎭，当12λ=时，取最小值754-．

M

E D

C

B

A

如果函数()f x 在定义域内存在[],a b ，使得该函数在区间[],a b 上的值域为22

,a b ⎡⎤⎣⎦，则称函数()f x 是

该定义域上的“和谐函数”．

⑴ 求证：函数()()2log 1f x x =+是“和谐函数”；

⑵ 若函数(

)()1g x t x =≥是“和谐函数”，求实数t 的取值范围． 【答案】见解析．

【解析】⑴ ()f x 可看作2log y x =向左平移一个单位得到，因此在()1,-+∞单调递增，

[]0,1x ∈时，由函数()()2log 1f x x =+递增，得值域[]0,1，所以为“和谐函数”； ⑵ 先证明函数(

)()1g x t x =≥在定义域上单调递增，证明如下： 任取121x x ≤<，

()(

)

2

2210x x x x g x g x +-->

，

所以函数()()1g x t x =≥在定义域上单调递增； 因为函数()g x 在[],

a b 上是“和谐函数”，则根据单调性有：

()()22

g a t a

g b t b

⎧=

=⎪⎨=⎪⎩2t x

=在1x ≥上至少有两个不同的实数解； 转化成：2,y t y x =

=-1x ≥上至少有两个不同的交点； 令0m ，则2,1y t y m m ==+-在0m ≥有两个不同的交点； 令()21h m m m =-+，对称轴为12m =

，在10,2m ⎡⎫

∈⎪⎢⎣⎭

时，递减，值域为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦； 在1,2m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，递增，值域为3,4⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

；所以3,14t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．