三角函数的图象与性质综合练习题(基础、好用、值得收藏)

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　

1． 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)

A．y＝2sin(2x＋)          B．y＝2sin(2x－)

C．y＝2sin(＋)          D．y＝2sin(2x－)

2．函数y＝tan(－x)的定义域是(　　)

A．{x|x≠}          B．{x|x≠kπ＋，k∈Z}

C．{x|x≠－}          D．{x|x≠kπ＋，k∈Z}

3． 设函数f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|，则f(x)为(　　)

A．周期函数，最小正周期为

B．周期函数，最小正周期为

C．周期函数，最小正周期为2π

D．非周期函数

4．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c          B．c＜a＜b

C．b＜a＜c           D．b＜c＜a

5． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　)

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数

B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数

C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数

D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数

二、填空题

6． 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为，则正数ω＝________．

7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．

8．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：

①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；

②f(x)的最小正周期是2π；

③f(x)在区间[－，]上是增函数；

④f(x)的图象关于直线x＝对称．

其中真命题是________．

三、解答题

9．已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，

(1)求f()的值；

(2)若x∈[0，]，求f(x)的最大值及相应的x值．

10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，

(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

11．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f(x＋)且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．

解析及答案

一、选择题

1．【解析】　函数的最小正周期为π，排除C.

又图象关于直线x＝对称，则f()＝2或f()＝－2.

代入检验知选B.

【答案】　B

2．【解析】　y＝tan(－x)＝－tan(x－)，

由x－≠＋kπ，k∈Z得x≠kπ＋，k∈Z.

【答案】　D

3．【解析】　f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|＝周期不变．

【答案】　A

4．【解析】　∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，

∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，从而f()＝f(0)，

又f(x)在[0，]上是增函数，∴f(0)＜f()＜f()，即c＜a＜b.

【答案】　B

5．【解析】　∵T＝6π，∴ω＝＝＝，

∴×＋φ＝2kπ＋，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

∵－π＜φ≤π，∴令k＝0得φ＝.

∴f(x)＝2sin(＋)．

令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z，

则6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z.

易知f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．

【答案】　A

二、填空题

6．【解析】　由于|α－β|的最小值为，

∴函数f(x)的周期T＝π，∴ω＝＝.

【答案】　

7．【解析】　依题意得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)．

由x∈[0，]，得2x－∈[－，π]，

所以sin(2x－)∈[－，1]，

所以f(x)∈[－，3]．

【答案】　[－，3]

8．【解析】　f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈[－，]时，2x∈[－，]，故③是真命题；因为f()＝sin π＝－，故f(x)的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．

【答案】　③④

三、解答题

9．【解】　(1)∵f(x)＝sin xcos x＋sin2x，

∴f()＝sin cos ＋sin2＝()2＋()2＝1.

(2)f(x)＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x＋

＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin(2x－)＋，

由x∈[0，]，

得2x－∈[－，]，

所以，当2x－＝，即x＝π时，f(x)取到最大值为.

10．【解】　(1)∵直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，

∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.

又－π＜φ＜0，

∴φ＝－π.

(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－π)，

令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

因此y＝f(x)的单调增区间为[＋kπ，π＋kπ]，k∈Z.

11．【解】　(1)由x∈[0，]，得2x＋∈[，]．

∴sin(2x＋)∈[－，1]，从而b≤f(x)≤3a＋b.

又∵－5≤f(x)≤1，

∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.

(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1，

∴g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1

＝4sin(2x＋)－1，

又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，

∴4sin(2x＋)－1＞1，∴sin(2x＋)＞，

∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，

其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z 时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，

∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋]，k∈Z.

又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.

∴g(x)的单调减区间为(kπ＋，kπ＋)，k∈Z.