高考数学《概率与统计》专项练习(解答题含答案)

《概率与统计》专项练习（解答题）

1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

解：（Ⅰ）当x≤19时，y＝3800

当x＞19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700

∴y与x的函数解析式为y＝(x∈N)

（Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7

∴n的最小值为19

（Ⅲ）①若同时购买19个易损零件

则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800

∴平均数为(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000

②若同时购买20个易损零件

则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500

∴平均数为(4000×90＋4500×100)＝4050

∵4000＜4050

∴同时应购买19个易损零件

2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	≥5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数	0	1	2	3	4	≥5
频数	60	50	30	30	20	10

（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求P(B)的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．

解：（Ⅰ）若事件A发生，则一年内出险次数小于2

则一年内险次数小于2的频率为P(A)＝＝0.55

∴P(A)的估计值为0.55

（Ⅱ）若事件B发生，则一年内出险次数大于1且小于4

一年内出险次数大于1且小于4的频率为P(B)＝＝0.3

∴P(B)的估计值为0.3

（Ⅲ）续保人本年度的平均保费为

(0.85a×60＋a×50＋1.25a×30＋1.5a×30＋1.75a×20＋2a×10)＝1.1925a

3．（2016全国Ⅲ卷，文18，12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：，，＝0.55，≈2.6．

参考公式：相关系数r＝．

回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

　　　＝，＝－

解：（Ⅰ）由折线图中数据得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4………………1分

由附注中参考数据得＝－＝40.17－4×9.32＝2.

………………………………………………………………………2分

＝

＝………………………………………………………………3分

＝0.55………………………………………………4分

r＝＝＝≈0.99

………………………………………………………………………5分

∵y与t的相关关系r近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高

∴可以用线性回归模型拟合y与t的关系…………………………6分

（Ⅱ）＝＝≈1.331………………………………………………7分

＝＝≈0.103…………………………………8分

＝－≈1.331－0.103×4≈0.92…………………………………9分

∴y关于t的回归方程为＝0.92＋0.103t…………………………10分

2016年对应的t＝9…………………………………………………11分

把t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.103×9＝1.82

∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨………12分

4．（2015全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

			(xi－)2	(wi－)2	(xi－)(yi－)	(wi－)(yi－)
46.6	563	6.8	2.8	1.6	1469	108.8

表中wi＝wi．

（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

解：（Ⅰ）y＝c＋d适宜作为y关于x的回归方程类型

………………………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）令w＝，先建立y关于w的回归方程

由于＝＝68…………………3分

＝563－68×6.8＝100.6…………………4分

∴y关于w的回归方程为＝100.6＋68w…………………5分

∴y关于x的回归方程为＝100.6＋68…………………6分

（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x＝49时

y的预报值＝100.6＋68＝576.6…………………7分

z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32…………………9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知

z的预报值＝0．2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12……10分

∴当＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值…………………11分

∴年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大…………………12分

5．（2015全国Ⅱ卷，文18，12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评分分组	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90)	[90，100]
频　数	2	8	14	10	6

（Ⅰ）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

满意度评分	低于70分	70分到分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

解：（Ⅰ）

…………4分

B地区的平均值高于A地区的平均值…………5分

B地区比较集中，而A地区比较分散…………6分

（Ⅱ）A地区不满意的概率大…………7分

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”

CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”　…………9分

由直方图得P(CA)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6…………10分

P(CB)＝(0.005＋0.02)×10＝0.25…………11分

∴A地区不满意的概率大…………12分

6．（2014全国Ⅰ卷，文18，12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标值分组	[75，85)	[85，95)	[95，105)	[105，115)	[115，125)
频数	6	26	38	22	8

（Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图；

（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？

解：（Ⅰ）

…………4分

（Ⅱ）平均数为＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100

方差为S2＝[6×(80－100)2＋26×(90－100)2＋38×(100－100)2

＋22×(110－100)2＋8×(120－100)2]

＝104

∴平均数为100，方差为104…………8分

（Ⅲ）质量指标值不低于95的比例为0.38＋0.22＋0.08＝0.68…………10分

∵0.68＜0.8…………11分

∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定…………12分

7．（2014全国Ⅱ卷，文19，12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：

甲部门		乙部门
	3	5_9
4	4	0_4_4_8
9_7	5	1_2_2_4_5_6_6_7_7_7_8_9
9_7_6_6_5_3_3_2_1_1_0	6	0_1_1_2_3_4_6_8_8
9_8_8_7_7_7_6_6_5_5_5_5_5_4_4_4_3_3_3_2_1_0_0	7	0_1_1_3_4_4_9
6_6_5_5_2_0_0	8	1_2_3_3_4_5
6_3_2_2_2_0	9	0_1_1_4_5_6
	10	0_0_0

（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；

（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；

（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．

解：（Ⅰ）甲的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75

∴样本中位数为＝75

∴甲的中位数是75

乙的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68

∴样本中位数为＝67

∴乙的中位数是67

（Ⅱ）甲的评分高于90的概率为＝0.1

乙的评分高于90的概率为＝0.16

∴甲、乙的评分高于90的概率分别为0.1，0.16

（Ⅲ）甲的中位数高于对乙的中位数

甲的标准差要小于对乙的标准差

甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大

8．（2013全国Ⅰ卷，文18，12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5

2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4

1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5

（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解：（Ⅰ）设A的平均数为，B的平均数为 

＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3

＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.)＝1.6

∴

∴A药的疗效更好

（Ⅱ）茎叶图如下：

从茎叶图可以看出

A的结果有的叶集中在茎2，3上

B的结果有的叶集中在茎0，1上

∴A药的疗效更好

9．（2013全国Ⅱ卷，文19，12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57　000元的概率．

解：（Ⅰ）当X∈[100，130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000

当X∈[130，150]时，T＝500×130＝65000

∴T＝

（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150

由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7

∴下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7

10．（2012全国卷，文18，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n	14	15	16	17	18	19	20
频数	10	20	16	16	15	13	10

（ⅰ）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；

（ⅱ）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．

解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y＝85

当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85

所以y关于n的函数解析式为y＝(n∈N)

（Ⅱ）（ⅰ）解法一：

由表格可得

有10天的日利润为5×14－5×3＝55元

有20天的日利润为5×15－5×2＝65元

有16天的日利润为5×16－5×1＝75元

有16＋15＋13＋10＝54天的日利润为85元

∴这100天的日利润的平均数为(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4

（ⅰ）解法二：

由（Ⅰ）y＝(n∈N)得

当n＝14时，10天的日利润为10n－85＝10×14－85＝55元

当n＝15时，20天的日利润为10n－85＝10×15－85＝65元

当n＝16时，16天的日利润为10n－85＝10×16－85＝75元

当n≥17时，54天的日利润为85元

∴这100天的日利润的平均数为(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4

（ⅱ）利润不低于75元，当且仅当日需求量不少于16枝

∴当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7

11．（2011全国卷，文19，12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组	[90，94)	[94，98)	[98，102)	[102，106)	[106，110]
频数	8	20	42	22	8

B配方的频数分布表

指标值分组	[90，94)	[94，98)	[98，102)	[102，106)	[106，110]
频数	4	12	42	32	10

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为

y＝，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

解：（Ⅰ）A配方的优质品的频率为＝0.3

∴A配方的优质品率为0.3

B配方的优质品的频率为＝0.42

∴B配方的优质品率为0.42

（Ⅱ）用B配方的利润大于0，当且仅当t≥94

∵t≥94的频率为0.96

∴B配方的利润大于0的概率为0.96

B配方的利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)