2017年四川省高考理科数学试题与答案

（考试时间：120分钟    试卷满分：150分）

注意事项：

    1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

    2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

A．3                B．2            C．1            D．0

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

A．        B．            C．            D．2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为

A．-80            B．-40            C．40            D．80

5． 已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆

有公共焦点，则C的方程为

A．        B．     C．       D． 

6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A．f(x)的一个周期为−2π            

B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x=        

D．f(x)在(,π)单调递减

7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，

则输入的正整数N的最小值为

A．5            B．4    

    C．3            D．2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．            B．                C．            D． 

9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A．-24            B．-3                C．3            D．8

10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A．            B．            C．            D． 

11．已知函数有唯一零点，则a=

A．            B．            C．            D．1

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为

A．3            B．2            C．            D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．

14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．

15．设函数则满足的x的取值范围是_________。

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所称角的最小值为45°；

④直线AB与a所称角的最小值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

20．（12分）

已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）

已知函数=x﹣1﹣alnx．

（1）若，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)- =0，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．[选修45：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．

参：

一、选择题：

1．B    2．C    3．A   4．C    5．B    6．D    7．D   8．B    9．A    10．A    

11．C   12．A

11、【解析】由条件，，得：

∴，即为的对称轴，

由题意，有唯一零点，

∴的零点只能为，

即，

解得．

12、【解析】由题意，画出右图．

设与切于点，连接．

以为原点，为轴正半轴，

为轴正半轴建立直角坐标系，

则点坐标为．

∵，．

∴．

∵切于点．

∴⊥．

∴是中斜边上的高．

即的半径为．

∵在上．

∴点的轨迹方程为．

设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．

∵

∴，．

两式相加得：

         (其中，)

当且仅当，时，取得最大值3．

二、填空题：

13．    14．    15．    16．②③

16、【解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，

故，，

斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持

不变，

点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．

以为坐标原点，以为轴正方向，为

轴正方向，

为轴正方向建立空间直角坐标系．

则，，

直线的方向单位向量，．

点起始坐标为，

直线的方向单位向量，．

设点在运动过程中的坐标，

其中为与的夹角，．

那么在运动过程中的向量，．

设与所成夹角为，

则．

故，所以③正确，④错误．

设与所成夹角为，

.

当与夹角为时，即，

．

∵，

∴．

∴．

∵．

∴，此时与夹角为．

∴②正确，①错误．

三、解答题：

17．（1）由得，

即，又，

∴，得.

由余弦定理.

又∵代入并整理得

，故.

（2） ∵，

由余弦定理.

∵，即为直角三角形，

则，得.

由勾股定理.

又，则，

.

18．⑴易知需求量可取

        .

        则分布列为：

        ②当时：

            此时，当时取到.

        ③当时，

            此时.

        ④当时，易知一定小于③的情况.

            综上所述：当时，取到最大值为. 

19． 

⑴  取中点为，连接，；

为等边三角形

∴

∴

.

∴,即为等腰直角三角形，

为直角又为底边中点

∴

令，则

易得：，

∴

由勾股定理的逆定理可得

即

又∵

由面面垂直的判定定理

可得

⑵  由题意可知

即,到平面的距离相等

即为中点

以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，

建立空间直角坐标系，

则，，，，

易得：，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，解得

，解得

若二面角为，易知为锐角，

则

20．⑴ 显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设，，，

联立：得，

恒大于，，．

∴，即在圆上．

⑵ 若圆过点，则

化简得解得或

①当时，圆心为，

，，

半径

则圆

②当时，圆心为，

，，

半径

则圆

21．⑴ ，

则，且

当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；

当时，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增．

①若，在上单调递增∴当时矛盾

②若，在上单调递减∴当时矛盾

③若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意

综上所述．

⑵  当时即

则有当且仅当时等号成立

∴，

一方面：，

即．

另一方面：

当时，

∵，，

∴的最小值为．

22．⑴ 将参数方程转化为一般方程

         ……①

         ……②

①②消可得：

即的轨迹方程为；

⑵将参数方程转化为一般方程

        ……③

联立曲线和

解得

由解得

即的极半径是．

23．⑴ 可等价为.由可得：

①当时显然不满足题意；

②当时，，解得；

③当时，恒成立.综上，的解集为.

⑵ 不等式等价为，

令，则解集非空只需要.

而.

①当时，；

②当时，；

③当时，.

综上，，故.