北师大版2022-2023学年九年级数学上册期末测试卷含答案

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.     B.     C.     D. 

2.正方形的面积与边长的函数图象大致为(    )

A.     B. 

C.     D. 

3.下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 抛掷枚质地均匀的骰子，出现点向上

B. 某种彩票的中奖率为，购买张彩票一定中奖

C. 三角形的外心一定在三角形的外部

D. 三角形的内心一定在三角形的内部

4.下列各点中不在抛物线上的点是(    )

A.     B.     C.     D. 

5.若为方程的解，则的值为(    )

A.     B.     C.     D. 

6.年末，一种由新型冠状病毒感染导致的肺炎在全世界迅速蔓延．某地某时段有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传播后，共有人患了新冠肺炎．设每轮传染中平均一个人传染了个人，列方程为(    )

A.     B. 

C.     D. 以上方程都不正确

7.如图，在中，弦半径，，则的度数为(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

8.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆阴影区域的概率为(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.一个长方形的长和宽相差，面积是，求这个长方形的长和宽分别是______．

10.同时掷两枚质地均匀的骰子一次，则两枚骰子点数相同的概率等于______．

11.一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是______ 度．

12.已知函数，当 ______时，随增大而增大．

13.如图，在边长为的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______结果保留．

三、解答题（本大题共12小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.本小题分

用配方法解方程：．

15.本小题分

一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是求这个梯形的高．

16.本小题分

如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上．求的值．

如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，求证：．

点可以在数，，，中任意选取．试用列表法求点在第二象限内的概率．

19.本小题分

要设计一幅如图所示的图案，其中有两横两竖的彩条，且横、竖彩条的宽度比为：已知该图案的长为，宽为，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度结果保留根号．

分别把带有指针的圆形转盘、分成等份、等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字如图所示欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．

试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；

请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．

21.本小题分

如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度向终点移动，如果点、分别从点、同时出发，那么的面积随出发时间如何变化？写出关于的函数关系式及的取值范围．

一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中、、分别在、、上．

若设，求用含的代数式表示；

要使剪出的矩形的面积最大，点应选在何处？

如图，已知二次函数的图象经过原点，．

写出该函数图象的对称轴；

若将线段绕点逆时针旋转到，试判断点是否为该函数图象的顶点？

如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作的切线，交于点．

求证：；

若的半径为，，求阴影部分的面积．

如图，的直径，和是它的两条切线，与相切于点，并与交于，交于．

若，求的长；

设，，求与的函数关系式；

若梯形的面积为，求的长．

1.【答案】 

【解析】解：、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、此图形旋转后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

D、此图形旋转后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．

故选：．

根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：边长为的正方形的面积与边长的函数关系，

故选：．

根据正方形的面积与边长的函数关系，可得答案．

本题考查了函数的定义图象，理解题意得出相应的函数关系式是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：、抛掷枚质地均匀的骰子，出现点向上，是随机事件，故A不符合题意；

B、某种彩票的中奖率为，购买张彩票一定中奖，是随机事件，故B不符合题意；

C、三角形的外心一定在三角形的外部，是随机事件，故C不符合题意；

D、三角形的内心一定在三角形的内部，是必然事件，故D符合题意；

故选：．

根据概率的意义，随机事件，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与圆心，逐一判断即可解答．

本题考查了概率的意义，随机事件，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与圆心，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：当时，；

当时，；

当时，；

当时，，

所以点、、都在抛物线上，而点不在抛物线上．

故选：．

分别计算出自变量为、、、的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，即，

．

故选：．

由方程的解的定义可得，代入待求代数式即可得．

本题主要考查一元二次方程的解及代数式的求值，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：每轮传染中平均一个人传染了个人，且开始时有一个人患了新冠肺炎，

第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染．

根据题意得：．

故选：．

由每轮传染中平均一个人传染了个人，可得出第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，结合“某地某时段有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传播后，共有人患了新冠肺炎”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，，

，

，

，

，

，

故选：．

由圆周角定理求得，由，，由等边对等角得出，即可求得答案．

此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查几何概率的求法，属于中档题．

针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．

边长为的正三角形的面积为：；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．

【解答】

解：如图所示的正三角形，

，

设三角形的边长是，

，

是内切圆，

，，

，

则正三角形的面积是，而圆的半径是，面积是，

因此概率是．

故选：．  

9.【答案】， 

【解析】解：这个长方形的长是，则宽为，根据题意得出：

，

解得：，舍去，，

则宽为，

故答案为：，．

分别表示出长方形的长与宽，进而利用长方形面积公式求出即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，利用已知表示出长与宽进而求出是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：列表得：

所以两枚骰子点数相同的概率为，

故答案为：．

首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．

本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

11.【答案】 

【解析】解：设母线长为，底面半径为，

底面周长，底面面积，侧面面积，

侧面积是底面积的倍，

，

，

设圆心角为，有，

．

根据圆锥的侧面积是底面积的倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．

本题利用了扇形面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．

12.【答案】 

【解析】解：中，对称轴为，开口向下，

当时，随增大而增大．

故答案为：．

首先确定二次函数的对称轴，然后据对称轴及开口方向判断其增减性即可．

此题考查了二次函数的性质，利用顶点坐标公式求得对称轴是解决问题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，

，

．

故答案为．

根据题意有，然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．

此题考查了扇形的面积公式：，其中为扇形的圆心角的度数，为圆的半径，或，为扇形的弧长，为半径．

14.【答案】解：原方程可化为，

，

，

，

，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．

本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

15.【答案】解：设这个梯形的高为，则上底为，下底为，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，不符合题意，舍去．

答：这个梯形的高为． 

【解析】设这个梯形的高为，则上底为，下底为，利用梯形的面积计算公式，结合梯形的面积是，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用以及直角梯形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】证明：，，

，

绕点按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上，

，，

为等边三角形，

，

即的值为． 

【解析】如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转度后，得到，点刚好落在边上．求的值．

此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

17.【答案】证明：点是的内心，

，，

由圆周角定理得，，

，

，

． 

【解析】根据内心的概念得到，，根据圆周角定理得到，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可．

本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．

18.【答案】解：列表如下： 

点在第二象限内的概率为． 

【解析】列表得出共有种等可能的结果，其中点在第二象限内的结果有种，即，，再由概率公式求解即可．

本题考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

19.【答案】解：设竖彩条的宽度为，则横彩条的宽度为，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，不符合题意，舍去，

，．

答：横彩条的宽度为，竖彩条的宽度为． 

【解析】设竖彩条的宽度为，则横彩条的宽度为，根据彩条所占面积是图案面积的四分之一，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其符合题意的值，代入，中，即可求出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20.【答案】解：

共有种情况，积为奇数的情况有种情况，所以欢欢胜的概率是；

由得乐乐胜的概率为，两人获胜的概率相同，所以游戏公平． 

【解析】列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为奇数的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率；

由进而求得乐乐胜的概率，比较两个概率即可．

如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

21.【答案】由题意出发时间为，

则，，

的面积随出发时间的解析式为：，

由得，． 

【解析】根据题意表示出，的长，进而得出的面积随出发时间的函数关系式．

本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出，的长是解题关键．

22.【答案】解：在中，，，，

，

根据勾股定理得：；

故答案为：；

四边形是矩形，

，

，

，

在中，，，

，

根据勾股定理得：，

，

，

当时，矩形的面积最大，

即当点为的中点时，矩形的面积最大． 

【解析】在直角三角形中，利用度所对的直角边等于斜边的一半表示出，再利用勾股定理表示出即可；

利用度所对的直角边等于斜边的一半表示出，进而利用勾股定理表示出，由表示出，根据与乘积列出与的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时的值即可．

此题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值，勾股定理，含度的直角三角形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

23.【答案】解：二次函数的图象经过原点，．

解得：，，

抛物线的对称轴为直线；

点是该函数图象的顶点．理由如下：

如图，作轴于点，

线段绕点逆时针旋转到，

，，

在中，，

，

，

点的坐标为，

点为抛物线的顶点． 

【解析】由于抛物线过点，，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线；

作轴于，先根据旋转的性质得，，再根据含度的直角三角形三边的关系得，，则点的坐标为，根据抛物线的顶点式可判断点为抛物线的顶点．

本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标为，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．

24.【答案】证明：连接，

，

，

，

，

，

，

是的切线，

，

．

解：连接，

，，

，

，

，

，

的半径为，

，，

． 

【解析】连接，易得，由，易得，等量代换得，利用平行线的判定得，由切线的性质得，得出结论；

连接，利用的结论得，易得，得出，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

25.【答案】解：过作于，如图：

，，是的切线，

，，，

四边形是矩形，

，，

设，则，，

在中，，

，

解得，

的长为；

过作于，如图：

同可得，，当，时，

，，

在中，，

，

化简得；

设 ，由可知，

梯形的面积为，

，

，

整理得，

解得或，

经检验，和都是原方程的解，

的长为或． 

【解析】过作于，由，是的切线，得，，，故四边形是矩形，有，，设，可得，即可解得的长为；

过作于，当，时，在中，有，故；

设 ，可知，根据梯形的面积为，得，即可解得的长为或．

本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，梯形的面积，反比例函数等知识，解题的关键是掌握切线长定理，能用勾股定理列方程解决问题．