重庆一中高2010级09-10学年(下)第四次月考——数学文

2010年重庆一中高2010级高三下期第四次月考

   数 学 试 题 卷(文科) 2010.5

    数学试题共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

参考公式：

一．选择题：（共10小题，每题5分，共50分．请将唯一正确的选项选出来，并涂在机读卡上的相应位置）

1．已知集合，则（  ）

A．            B．             C．           D． 

2．已知，则（  ）

A．3                B．               C．              D． 

3．已知直线与圆相切，则实数（  ）

A．              B．                C．           D． 

4．若等差数列的前5项和，且，则（  ）

A．11               B．12                 C．13             D．14 

5．已知向量满足：且，则与的夹角为（  ）

A．               B．              C．              D． 

6．设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的（  ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件          D．既不充分也不必要条件

7．为了研究某高校大学5000名新生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校新生的视力情况，得到其频率分布直方图如右图，若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，则估计该校新生中不是近视的人数约为（  ）

A．300人              B．400人

C．600人              D．1000人

8．已知球的半径为1，的顶点都在北纬的纬线圈上，且，，则两点间的球面距离为（  ）

A．              B．                 C．                D． 

9．已知函数对于满足，且时,，则与的图象的交点的个数为（  ）

   A．3                B．4                  C．5                 D．6

10．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，为坐标原点，则该双曲线的离心率为（  ）

A．             B．            C．               D． 

二．填空题：（共5小题，每题5分，共25分．请将最简答案填在答题卷相应的位置）

11．已知曲线在点处的切线与直线平行，则_______．

12．我校高三某班照毕业像时，有2位老师和3位学生站成一排合影留恋，则2位教师不相邻的不同排法共有_______种．（用数字作答）

13．若的二项展开式中项的系数为，则______________．（用数字作答）

14．设有两个命题：关于的不等式对一切恒成立；：函数是减函数．若命题“且”为假命题，“或”为真命题，则实数的取值范围是____________．

15．函数的图象恒过定点，且点在曲线上，其中，则的最小值为___________．

三．解答题：（共6小题，其中16～18每小题13分，19～21每小题12分，共75分．请将每题的解答过程写在答题卷相应的答题框内）

16．（本小题13分）已知向量，记．

求：函数的最小正周期．

在中，角的对边分别为，若，且，求：的面积．

17．（本小题13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．

求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．

这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4分钟的概率．

18．（本小题13分）如图，在直三棱柱中，，.

求证：.

求：二面角的大小.

19．（本小题12分）已知函数，若函数与的图象的一个交点的横坐标为1，且两曲线在点处的切线互相垂直.

求：函数的单调递增区间.

若对任意，不等式恒成立，求：实数的取值范围.

20．（本小题12分）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．

求椭圆的方程．

设直线l：与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，且的面积为，求：实数的值．

21．（本小题12分）设是函数图象上的任意两点，点为线段的中点．

求：的值．

若，求：．

在的条件下，已知，记为数列的前项和，若对一切都成立，求：的取值范围．

2010年重庆一中高2010级高三下期第四次月考

数学答案(文科)

第一部分(选择题共50分)

一．选择题：（每小题5分，共50分）

B．C．D．C．A．            A．C．B．B．A．

第二部分(非选择题共100分)

二．填空题：（每小题5分，共25分）

11． 1 ；       12．72 ；         13． 2；        14．；       15．． 

三．解答题：

16．解： 

…………………… 5分

的最小正周期为．………………………………………………… 6分

， ， 为的内角， ， ， ……………………………………………………………… 9分

由余弦定理有：， ， ……………… 11分

．…………………………………………………………… 13分

17．解：设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.………………………………………… 6分

设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.则由题意，得：

，.

由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，

∴事件B的概率为.…………………………… 13分

18． 解：证明：直三棱柱中，， 平面，

连接，则为正方形， ，由三垂线定理知：.…………………………… 6分

连接A1C交AC1于点O，连接，则： ， 平面，又， ， 即为二面角的平面角………………… 10分

在中：， 

二面角的大小为：.………………………………………… 13分

19．解：由题意：， ……

又， 的图象在点切线的斜率为： 

又,的图象在点切线的斜率为：…

由可解得：， ，………………………… 3分

， 

令，解得： 

即函数的单调递增区间为：．……………………………………………… 6分

对任意，恒成立当时，成立…………（★）              …………………………… 8分

，令，解得： 

区间上递减，在区间上递增

又，当时，…………………… 10分

而，当时， 

由（★）式有：，实数的取值范围为：．………………… 12分

20．解：设椭圆的半焦距为，依题意， ，所求椭圆方程为．………………………………………………………………………………… 5分

设，．由已知，得．…… 7分

又由，消去得：，

，．………………………………………………… 9分

又，

化简得：………………………………………………………………… 11分

解得：…………………………………………………………………………… 12分

21．解：由为线段的中点，易得： 

               …………………………………… 4分

由知：， 

 …………………………………………………………… 8分

当时，，

由得： 

， 

，即的取值范围为…………………………………………………… 12分