数学思想纵横谈6000字论文

数学思想是关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识，是对数学本质的认识，对数学自身规律性的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动。而在数学思想指导下的数学问题解决过程中所运用的具体手段被称之为数学方法，它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征，而数学方法具有实践性的特点，数学问题的解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。

数学在其漫长的发展过程中，不仅建立了严密的知识体系，而且形成了一整套行之有效的思想和方法。数学思想方法是数学的灵魂，我们不只是为了了解、理解一些具体的数学思想方法，更着 眼于在认识论、世界观和方等方面有所提高。

日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年的数学教育研究之后，说过这样一段话：

    “学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用”。

同时，米山国藏在《数学的精神、思想与方法》这本书中以数学中一些富有启发性的实例为依据，系统地论述了贯穿于整个数学的数学精神，一些重要数学思想与若干有效的数学方法。将着眼点放在培养人们数学能力和创造精神。

数学是人创造的，对数学的理解应按照人的原始思考的发展来进行。荷兰数学教育家弗赖登塔尔就曾说过：“没有一种数学观念像当初被发现那样得以表述。一旦问题获的解决，一种技巧得到了发展和使用，就会转向解的程序侧面，…火热的发现变为冰冷的美丽。”同样的态度在我国的数学家张奠宙的言谈中也得到了充分的体现，他说：“数学原本是火热的思考，但是一旦发表出来，形成文字，写入教材，就变成了冰冷的美丽。鲜活的思想被淹没在形式演绎的海洋里。数学史的研究任务就是提供各种数学历史背景，让学生理解数学的原始思考及其来龙去脉，获得真正的理解。”

在提高人的素质中发挥重要作用的是在长期数学学习中逐步形成的数学精神和数学思想方法，而不是具体数学知识。我们学习数学主要是为了在学习数学的过程中逐步形成数学精神和数学思想方法。不能单单追求学习数学知识，而忽略了最最重要的精髓——数学精神和数学思想方法。学习数学要学到关键的东西，也就是要保留精髓，去其糟粕。数学思想是关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识，是对数学本质的认识，对数学自身规律性的认识，重大数学成果的取得，往往与数学思想方法的突破分不开。我们不只是为了了解、理解一些具体的数学思想方法，更着眼于在认识论、世界观和方有所提高。

从18世纪前的数学思想方法到近代数学思想方法，再到现代数学思想方法，正可谓贯穿古今。中国古代数学家刘徽提出了“割圆术”，以解决长期存在的、圆周率计算不精确的问题，其中包含着极限思想方法的萌芽。古希腊的亚里士多德与欧几里得提出了公理方法，将大量的、零散的几何知识系统化，并由欧几里得等人完成了《几何原本》。法国数学家帕斯卡确立了数学归纳法，以解决数学论证中存在的不严密的问题。英国数学家纳皮尔发明了对数方法，以解决天文观测及贸易中存在的繁重的数字计算问题。英国的牛顿与德国的莱布尼茨创立了无穷小量方法。瑞士数学家欧拉和法国数学家拉格朗日共同建立了变分法，以解决“等周问题”、“最速降线问题”等长期解决不了的极大与极小问题等。法国数学家、哲学家笛卡尔提出了坐标法、用代数方法研究几何问题，并从而开创了不同数学分支相结合的思想方法。

18世纪前的数学思想已获得如此大的成果。近代的数学思想发展在18世纪前的数学思想方法的奠定下，也发展得更加迅速。近代的数学思想方法包括：代数、函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、或然与必然等思想、待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法、数学归纳法等……现代数学思想方法逐渐变得细化和具体化。

代数学中群论的思想方法就属于非常典型的一种数学思想方法。19世纪以来，人们在探求五次和五次以上代数方程的代数解法问题上，打破了百余年来毫无进展的僵局。首先由挪威青年数学家阿贝尔证明了五次方程代数解法的不可能性。其次，又由法国青年数学家伽罗华提出了“群”的概念，后发展为一整套群论的思想方法，彻底地解决了五次及五次以上方程的求解问题。

不仅如此，群论的思想方法，在代数学的其他分支、拓扑学、函数论乃至数学以外的许多领域都得到了广泛的应用。由于群论的诞生，使传统代数学所研究的对象由具体的“数”扩充为更加抽象的“量”，由量之间的代数运算关系发展为更为一般的关系，从而使代数这门学科发生了转折性的变化。

算法化思想是对数学问题进行算法编程----机械化;集合思想是数学思想的现代语言，在精确地认识无限的基础上，重新认识和解释数学的思想;极限思想是有限和无限的辩证统一，是从有限进入无限的钥匙;变量思想是解析几何、微积分思想、线性化;统计思想是以掌握事物总体的数量特征和规律为目标，它所关心的乃是某些规定的总体或集合，而不是构成总体的各别元素或个体;模糊数学思想以数学的精确性，研究和处理现象的模糊性。近现代数学思想与方法创立了一批具有突破性、系统性的思想方法，促使数学的某些分支发生了性的变革。主要体现在代数学、分析学分支以及公理化体系、数学机械化等领域。

分析学中的极限与集合论的思想方法也发展得很快速。19世纪30年代至50年代，法国的柯西与德国的魏尔斯特拉斯等人，在给出函数、极限等概念以精确化描述的基础上，又通过严格化了的极限思想方法与实数理论改造了微积分，并使其严密化和标准化。这是微积分学科发展史上的一个重要里程碑。

1874年，德国数学家康托尔提出了集合论思想，建立起无限集的势、序型等概念以及无限集合论和超限数理论，证明了代数集合可以和整数集合一一对应，所有实数集合不可数性，发展了无限集合势的比较原理，引入了连续公理即康托尔公理等，并从而创立了集合论的理论。这一理论的创立，不仅为微积分的理论奠定了稳固的基础，而且对整个数学基础的研究，尤其对现代数学结构的探讨，也具有巨大而深远的促进作用。

尤其是模糊数学方法，在科技快速发展得今天占有举足轻重的作用，不可估量的无限前景。模糊数学是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具在模式识别人工智能等方面有广泛的应用。所谓模糊性，主要是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼”的特征。

在社会、自然现象中，确实存在着不少“非此即彼”的现象，一是一、二是二，绝对不能混淆，这也是康托尔集合的特点。但也有一些对立概念之间没有绝对分明的界限，如：

胖子与瘦子，优秀与良好等。也就是说，这些概念都没有绝对明确的外延。没有明确外延的概念，叫做模糊概念。模糊概念不能用康托尔集合论来刻划，于是产生了刻划模糊概念的模糊集合论，产生了模糊数学。

模糊数学的实质是以数学的精确性，研究和处理现象的模糊性。它和概率论同属不确定数学，但概率论的研究对象是事物的偶然现象，模糊数学的研究对象是事物的模糊现象，它们之间有深刻的联系，又有本质的不同。人脑能很便捷地处理的模糊信息，如对事物的辨识、用力的平衡等。计算机的模糊识别与人工智能是计算机科学的发展方向之一。从中我们不难发现模糊数学的应用一旦与我们的科技应用相配合便可产生“一发不可收拾”的现象。

马克思曾明确指出：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”这是对数学作用的深刻理解，也是对科学化趋势的深刻预见。事实上，数学的应用越来越广泛，连一些过去认为与数学无缘的学科，如考古学、语言学、心理学等现在也都成为数学能够大显身手的领域。数学方法也在深刻地影响着历史学研究，能帮助历史学家做出更可靠、更令人信服的结论。这些情况使人们认为，人类智力活动中未受到数学的影响而大为改观的领域已寥寥无几了。

Gödel著名的不完全性定理指出一个不弱于初等数论的形式系统如果是无矛盾的，则是不完全的 ，即存在形式系统的一个命题，它和它的否定都不能由形式系统证明。因此， Hilbert 的要求太高了。上述的Gödel不完全性定理断言：即使在初等数论的范围内，对所有命题进行判定的机械化方法也是不存在的！

Hilbert在《几何基础》中提出了从公理化走向机械化的数学构想。Hilbert计划将数学知识纳入严格的公理体系中，并着力在公理化基础上寻找机械化的方法判定命题是否成立。Hilbert同时指出，定理的判定问题应当是分类解决的，解决方法要同时强调简单性和严格性。在 Hilbert 的名著《几何基础》一书中就提供了一条可以对一类几何命题进行判定的定理 — 当然，在那个时代，不仅 Hilbert 本人，整个数学界都没有意识到这一点。 

波兰数学家 Tarski 在 1950 年推广了关于代数方程实根数目的 Sturm 法则，由此证明了一个引人注目的定理：“一切初等几何和初等代数范围的命题，都可以用机械方法判定。”Tarski得出的结论给定理证明机械化的研究带来了曙光。可惜他的方法太复杂，即使用高速计算机也证明不了稍难的几何定理。

1959 年，王浩设计了一个程序，用计算机证明了 Russell 、 Whitehead 的巨著《数学原理》中的几百条有关命题逻辑的定理，仅用了 9 分钟。王浩工作的意义在于宣告了用计算机进行定理证明的可能性。 在1960年的《IBM研究与发展年报》（IBM Journal），王浩发表了《迈向数学机械化》（Toward Mechanical Mathematics），“数学机械化”一词即出自此处。 

1984 年，吴文俊的学术专著《几何定理机器证明的基本原理》由科学出版社出版，这部专著着重阐明几何定理机械化证明的基本原理。 1985 年，吴文俊的论文《关于代数方程组的零点》发表，具体讨论了多项式方程组所确定的零点集。与国际上流行的代数理想论不同，明确提出了具有中国自己特色的、以多项式零点集为基本点的机械化方法。自此，“吴方法”宣告诞生，数学机械化研究揭开了新的一幕。吴文俊特别重视数学机械化方法的应用，明确提出“数学机械化方法的成功应用，是数学机械化研究的生命线”。他不断开拓新的应用领域，如控制论、曲面拼接问题、机构设计、化学平衡问题、平面天体运行的中心构形等，还建立了解决全局优化问题的新方法。

吴文俊的方法还被用于若干高科技领域，得到一系列国际领先的成果，包括曲面造型、机器人结构的位置分析、智能计算机辅助设计(CAD)、信息传输中的图像压缩等。

数学家们一方面继续创造各种数学思想方法，并用来推进数学的发展，另一方面，他们中的一部分，特别是一些著名数学家，集中精力从事数学思想方法理论的研究，并发表了一大批这方面的论著。形成一个研究方向：数学方。

数学思想方法研究最早系统发表见解的要算德国著名数学家希尔伯特于1900年在巴黎国际数学家代表会上的演讲《数学问题》。在这篇演讲中，他精辟地阐述了重大数学问题的特点及其在数学发展中的作用，并列举了 “希尔伯特23个问题”。

法国数学家Poincare于1903年至1908年之间发表了《科学与假设》，《科学之价值》、《科学与方法》等著作(均有中译本)，其中，讨论了数学方的问题。后来，德国数学家赫尔德发表了《数学方》一书，书中对数学中的演绎方法、归纳方法、公理方法与假设方法等进行了系统的论述。

除克莱因的《古今数学思想》、亚历山大洛夫等《数学——它的内容、方法和意义》外，还有1954年，美籍匈牙利著名数学家教育家、斯坦福大学教授G·波利亚发表了《数学与猜想》一书。波利亚在自己的教育实践中认识到，数学中的发现常常是从估计、猜想开始的，而这些估计、猜想经过实践检验，再经过严格论证推理，最后获得定理、公式等结论。

德国数学家帕斯第一次从理论上提出了形式公理学的思想，他通过对射影几何公理化基础的纯逻辑的探讨，第一次从理论上提出了形式公理学的思想。他认为，几何学如果要成为一门真正的演绎科学，最根本的是推导的进行必须完全于几何概念的涵义，也必须不以图形为依据。就是说，一个公理系统必然要有本系统里不定义的概念，通过这些概念就可以给其它概念下定义，而不定义概念的全部特征必须由公理表达出来．公理可以说是不定义概念的隐定义．有些公理虽然是由经验提出来的，但当选出一组公理之后，必须不再涉及经验及物理意义．公理决不是自明的真理，而是用以产生任一特殊几何的假定．帕斯的这些思想已经表达了形式公理系统的特征。

这一时期，还形成了影响广泛的数学公理化方法。到了19世纪末20世纪初，由于非欧几何、无理数理论、集合论的建立，有力地促进了数学公理化方法研究的开展。1872年，德国数学家克莱因发表了“爱尔兰根纲领”，提出用变换群的观点，给出各种几何学的综合分类，以统一整个几何学。19年，德国数学家希尔伯特发表了《几何学基础》一书，使公理化方法深入到数学的更多分支。1908年，集合论完成了公理化，本世纪20年代，又实现了代数学的公理化，从而使公理化方法应用于数学各个分支。这场公理化运动，对数学的影响是前所未有的。

德国数学家 Leibniz 曾有过“推理机器”的设想。他研究过逻辑，设计并制造出能做乘法的计算机，进而萌发了设计万能语言和造一台通用机器的构想。 

他的努力促进了 Boole 代数、数理逻辑以及计算机科学的研究，正是沿着这一方向，经后人的努力，形成了机器定理证明的逻辑方法。

要特别强调的是数学机械化思想，从它的设想到实现倾注了多位数学家的心血。从笛卡尔的设想，到莱布尼兹之梦，然后到希尔伯特的构想，接着到哥德尔的著名结果，再到塔斯基的判定法，再接着到王浩：迈向数学机械化，最后到吴文俊：机器证明领域的新的一页 。17 世纪法国的数学家 Descartes 曾有过一个伟大的设想：“一切问题化为数学问题，一切数学问题化为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问题。” Descartes 把问题想得太简单了，如果他的设想真能实现，那就不仅是数学的机械化，而是全部科学的机械化。因为代数方程求解是可以机械化的。但 Descartes 没有停留在空想，他所创立的解析几何，在空间形式和数量关系之间架起了一座桥梁，实现了初等几何问题的代数化。

今天，我们的数学知识，主要是从数学课程中获得的。通常的数学课程给出的是一个系统的逻辑叙述，这些课程经过编纂者的锤炼，成为“完美”的典范。这就使学生们淹没在成串的定理中，并产生一种幻象：数学就是从定义到定理，数学家们都是无坚不克的英雄。课本中的字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。数学教学的过度包装，使我们忽略了学习数学的内在本质追求，而去寻求一些外在的表面的现象。

数学思想方的发展是数学得以发展和延续的过程，数学思想方的发展是推进我们现代化科技进程的一支主力军，是推进我们社会进步的助推力。渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。