2020-2020学年南京市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

1．（5分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=　   　．

2．（5分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为　   　．

3．（5分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为　   　．

4．（5分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=　   　．

5．（5分）若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为　   　．

6．（5分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为　   　cm2．

7．（5分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为　   　．

8．（5分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为　   　．

9．（5分）若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为　   　．

10．（5分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为　   　_．

11．（5分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为　   　

12．（5分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2020，8）是该函数图象上一点，则实数a的值为　   　．

13．（5分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为　   　．

14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为　   　．

二、解答题（共6题，90分）

15．（14分）已知=2．

（1）求tanα；

（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．

16．（14分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．

（1）求（+）•（2﹣）的值；

（2）求向量与+的夹角．

17．（14分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．

（1）试写出V（x）的解析式；

（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．

18．（16分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；

（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．

19．（16分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．

（1）求||；

（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．

①当λ=时，求•；

②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．

20．（16分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．

（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．

①若a=，求函数y=F（x）的零点；

②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．

（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．

2020-2020学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

1．（5分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=　{0，1，2}　．

【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，

B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，

∴A∩B={0，1，2}．

故答案为：{0，1，2}．

2．（5分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为　{x|x＜1}　．

【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义

则1﹣x＞0即x＜1

∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}

故答案为：{x|x＜1}

3．（5分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为　　．

【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，

故答案为：．

4．（5分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=　　．

【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为 r=13，

由任意角的三角函数的定义得 cosα==﹣．

故答案为﹣．

5．（5分）若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为　　．

【解答】解：幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），

所以4a=2，

解得a=．

故答案为：．

6．（5分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为　9　cm2．

【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，

所以：圆的半径为：3，

所以：扇形的面积为：6×3=9．

故答案为：9．

7．（5分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为　﹣　．

【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，

∴，

∴λk=1，λ=﹣4，

∴，

故答案为﹣．

8．（5分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为　5　．

【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：

由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，

所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．

故答案为：5．

9．（5分）若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为　c＜a＜b　．

【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，

∴c＜a＜b．

故答案为：c＜a＜b．

10．（5分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为　1　_．

【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，

则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），

即a=1，

故答案为：1

11．（5分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为　3　

【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，

则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）

可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．

若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，

=（﹣1，2），=（1，2），

则•的值：﹣1+4=3．

故答案为：3．

12．（5分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2020，8）是该函数图象上一点，则实数a的值为　2　．

【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，

f（2020）=f（2×1008+1）=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，

点P（2020，8）是该函数图象上一点，

可得21+a=8，解得a=2．

故答案为：2．

13．（5分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为　（0，）∪（3，+∞）　．

【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，

f′（x）=﹣﹣6x，f（x）在（0，+∞）递减，

∵f（1）＞f（log3x）

∴|log3x|＞1，

∴0＜x＜或x＞3，

∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为（0，）∪（3，+∞），

故答案为（0，）∪（3，+∞）．

14．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为　（0，）　．

【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，

可得f（x+1）=，

作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），

由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，

只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，

由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得

2m=1﹣2m，解得m=，

通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．

故答案为：（0，）．

二、解答题（共6题，90分）

15．（14分）已知=2．

（1）求tanα；

（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．

【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．

（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．

16．（14分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．

（1）求（+）•（2﹣）的值；

（2）求向量与+的夹角．

【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．

（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．

所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．

（2）+=（1，﹣3），

cos＜，+＞===﹣．

向量与+的夹角为135°．

17．（14分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．

（1）试写出V（x）的解析式；

（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．

【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；

（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，

∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．

18．（16分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；

（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．

【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，

∴ω=2．

∵再根据函数的图象经过点P（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得φ=，

∴f（x）=2sin（2x+）．

（2）∵x∈[﹣，0]，

∴2x+∈[﹣，]，

∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．

（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，

得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），

∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，

可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，

∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，

∴，

∴解得：，k∈Z，

∵0＜θ＜，

∴当k=0时，θ∈[，]．

19．（16分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．

（1）求||；

（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．

①当λ=时，求•；

②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB

=12+22﹣2×1×2×cos60°

=3，

∴AB=，即||=；

（2）①λ=时，=，=，

∴D、E分别是BC，AB的中点，

∴=+=+，

=（+），

∴•=（+）•（+）

=•+•+•+

=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22

=；

②假设存在非零实数λ，使得⊥，

由=λ，得=λ（﹣），

∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；

又=λ，

∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；

∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）

=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）

=﹣3λ2+2λ=0，

解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；

即存在非零实数λ=，使得⊥．

20．（16分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．

（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．

①若a=，求函数y=F（x）的零点；

②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．

（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．

【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，

①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，

当x≥0时，解得：x=1；

当x＜0时，解得：x=（舍去）；

综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；

②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，

当a＞0时，作图如下：

由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；

同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；

又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；

综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，

∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；

当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；

又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，

则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，

①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；

h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；

∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，

∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，

综上，﹣2≤a≤﹣1；

②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，

且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，

∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；

③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减

（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；

∴h（x）min=h（0）=﹣a；

又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），

∴h（x）max=h（2）=2+a，

∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，

∴1≤a≤2；

综上所述，﹣2≤a≤2．