三角函数题目及答案

1.在下列各组角中，终边不相同的一组是(　　)

A．60°与－300°　　　B．230°与950°     C．1050°与－300°     D．－1000°与80°

2．给出下列命题，其中正确的是(　　)

(1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系

(2)终边相同的角必相等              (3)锐角必是第一象限角

(4)小于90°的角是锐角               (5)第二象限的角必大于第一象限角

A．(1)            B．(1)(2)(5)        C．(3)(4)(5)            D．(1)(3)

3．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为(　　)

A.(2－sin 1cos 1)R2      B.sin 1cos 1R2             C.R2       D．(1－sin 1cos 1)R2

4．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x的值为(　　)

A.               B．±          C．－             D．－

二、填空题

6．填写下表：

8．函数y＝＋－的值域是________．

9．已知一扇形的面积S为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？ 

10．已知点P(3r，－4r)(r≠0)在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值．

同角三角函数的基本关系及诱导公式

一、选择题

1．sin 2009°的值属于区间(　　)

A.　　　　　B.           C.　　　    D.

2．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)

A.              B．－             C.                 D．－

3．已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝(　　)

A．0            B．2               C．2＋            D．3＋

4．如果sin θ＝m,180°<θ<270°，那么tan θ＝(　　)

A.        B．－       C．±          D．－

二、填空题

6．化简：＝________.

7．已知sin(540°＋α)＝－，则cos(α－270°)＝__________；若α为第二象限角，则＝________________.

8．已知＝－1，则＝__________；sin2α＋sin αcos α＋2＝__________.

三、解答题

9．化简：(n∈Z)．

两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换

一、选择题

1.＝(　　)

A．－　　　 　B．－　　　　 C.　　　     　D.

2．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，那么cos 2β的值为(　　)

A.            B.            C．－         D．－

3．(2009年上海预考)已知0<α<π，sin  α＋cos α＝ ，则cos 2α的值为(　　)

A.            B．－        C．±          D．－

4．(2008年湖南卷)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最大值是(　　)

A．1            B.         C.             D．1＋

5．若α为第三象限角，则＋的值为(　　)

A．3             B．－3          C．1           D．－1

二、填空题

6．(2009年淄博模拟)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.

7．已知α，β均为锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝______.

8.(2009年青岛模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．

三、解答题

9．已知cos＝，cos＝－，且π<α＋β<2π，<α－β<π，分别求cos 2α和cos 2β的值．

10．(2009年培正中学月考)设f(x)＝6cos2x－sin 2x.

(1)求f(x)的最大值及最小正周期；   (2)若锐角α满足f(α)＝3－2，求tanα的值．

三角函数的性质

一、选择题

1．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f(x)是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数        B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数        D．最小正周期为的偶函数

2．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)

A.　　　　　B.          C.             D.

3．当x∈时，函数f(x)＝sin x＋cos x的值域是(　　)

A．[－1, 1]             B.            C．[－2, 2]             D．[－1, 2]

4．已知－≤x<，cos x＝，则m的取值范围是(　　)

A．m＜－1        B．35．(2009年全国卷Ⅰ)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么的最小值为(　　)

A.　　     　B.         C.　　     　D.

二、填空题

6．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．

7．下面有5个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.       

  ②终边在y轴上的角的集合是.

③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有3个公共点．

④把函数y＝3sin的图象向右平移得到y＝3sin 2x的图象．

⑤函数y＝sin在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)

8．函数y＝sin的递减区间是________；函数y＝lg cos x的递减区间是________．

三、解答题

9．求函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos 4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

10．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋a·cos x＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由．

三角函数的图象及其变换

一、选择题

1．(2010年全国卷Ⅰ)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin x的图象(　　)

A．向左平移个长度单位　       B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位        D．向右平移个长度单位

2.(2009年厦门模拟)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则(　　)

A．ω＝，φ＝       B．ω＝，φ＝

C．ω＝，φ＝       D．ω＝，φ＝

3．函数y＝sin在区间的简图是(　　)

4．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)

A．ω＝，φ＝        B．ω＝，φ＝       C．ω＝2，φ＝       D．ω＝2，φ＝

5.如右图所示是函数y＝2sin(ωx＋φ)的一段图象，则ω、φ的值是(　　)

A．ω＝，φ＝       B．ω＝，φ＝－

C．ω＝2，φ＝        D．ω＝2，φ＝－

二、填空题

6．将函数y＝f(x)·sin x(x∈R)的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是__________．

7．函数f(x)＝3sin的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①图象C关于直线x＝π对称；

②图象C关于点对称；

③函数f(x)在区间内是增函数；

④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

8．设函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sin nx在0，上的面积为(n∈N*)，则y＝sin 3x在上的面积为________. 

三、解答题

9．(2010年广东卷)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)(x∈R)的最大值是1，其图象经过点M.

(1)求f(x)的解析式；

(2)已知α、β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．

10．(2010年山东卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)，(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

(1)求f的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式及其单调递减区间．

正、余弦定理及应用

一、选择题

1．(2009年德州模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝(　　)

A.　　　　   B.　　　   　C.　　　  　D.

2．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为(　　)

A．8 cm2         B．6 cm2           C．3 cm2                D．20 cm2

3．(2009年成都模拟)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，则a2＝b是A＝2B的(　　)

A．充要条件    B．充分而不必要条件   C．必要而充分条件      D．既不充分又不必要条件

4.如右图所示，在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进600 m后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为(　　)

A．200 m         B．300 m    C．400 m      D．100 m

5．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是(　　)

A.分钟         B.分钟     C．21.5分钟            D．2.15分钟

二、填空题

6．(2008年山东卷)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角B＝________.

7．在△ABC中，已知角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列，且边b＝4，则S△ABC＝________.

8．如右图所示，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边取C、D两点观察．测得CD＝ km，∠ADB＝45°，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠DCB＝45°，(A、B、C、D在同一平面内)，则A、B两点间的距离为________．

三、解答题

9.(2009年银川模拟)如右图所示，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝.

(1)求AB的值；   (2)求sin的值．

10．(2008年全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos B＝－，cos C＝. 

(1)求sin A的值；

(2)设△ABC的面积S△ABC＝，求BC的长．

角的概念和任意角的三角函数参

1．C　   2.D　   3.D

4．解析：∵cos α＝＝＝x，∴x＝0(舍去)或x＝(舍去)或x＝－.     答案：C

5．C　    6.略        7．－         8．{1，－3}

9．解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，周长为C，

则S＝lr，∴r＝，∴C＝l＋2r＝l＋≥4，

又∵0当且仅当l＝，即l＝2<2时等号成立．

∴当l＝2时，周长有最小值4，

此时，α＝＝l×＝＝2(rad)．

10．解析：因为x＝3r，y＝－4r，

所以|OP|＝＝5|r|.

(1) 当r>0时，则|OP|＝5r，sin α＝－， cos α＝， tan α＝－.

(2) 当r<0时，则|OP|＝－5r，sin α＝， cos α＝－， tan α＝－.

同角三角函数的基本关系及诱导公式参

1．D

2．解析：α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝－＝－.    答案：D

3．C　   4.B   5.D　   6.－1     7．－　－        8．－　

9．解析：①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝＝－sin α；

②当n＝2k－1(k∈Z)时，原式＝＝sin α.

10．解析：由sin＝lg，有－sin θ＝lg 10－＝－，⇒sin θ＝.

＋

＝＋

＝＋＝＝＝2×9＝18.

两角和与差、二倍角公式及简单的三角恒等变换参

1．D　2.A　3.B　4.C

5．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，

则＋＝＋＝－1－2＝－3.          答案：B

6．－　7.

8．解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则 ，

∴ 两条直角边的长分别为3,4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ＝，

cos 2θ＝2cos2θ－1＝.          答案：

9．解析：∵<α＋β<2π，<α－β<π，

∴sin＝－＝－，

sin＝＝，

所以cos 2α＝cos

＝coscos－sinsin

＝×－×＝－；

cos 2β＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝－1.

10．解析：(1)f(x)＝6－sin 2x

＝3cos 2x－sin 2x＋3＝2＋3

＝2cos＋3.

故f(x)的最大值为2＋3；   最小正周期T＝＝π.

(2)由f(α)＝3－2，得2cos＋3＝3－2，

故cos＝－1.

又由0<α<得<2α＋<π＋，

故2α＋＝π，解得α＝π.     从而tanα＝tan＝.

三角函数的性质参

1． D     解析：f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝.      

2．：D    解析：f(x)＝2sin，因x－∈  π，

故x－∈  π，，则x∈ .   

3．D　4.B

5．答案：A    解析：∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称．

∴2·＋φ＝kπ＋∴φ＝kπ－(k∈Z)，

由此易得|φ|min＝.故选A.               

6．π   解析：f(x)＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x，此时可得函数的最小正周期T＝＝π.

7．答案：①④     解析：①y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，正确；②错误；

③y＝sin x，y＝x在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．

8.(k∈Z)　(k∈Z)

9．解析：y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x

＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋sin 2x

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin，

故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；

单调递增区间是，.

10．解析：y＝1－cos2x＋acos x＋a－

＝－2＋＋a－.

当0≤x≤时，0≤cos x≤1.

若>1时，即a>2，则当cos x＝1时，

ymax＝a＋a－＝1⇒a＝<2(舍去)，

若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，

ymax＝＋a－＝1⇒a＝或a＝－4<0(舍去)．

若<0，即a<0，则当cos x＝0时，

ymax＝a－＝1⇒a＝>0(舍去)．

综合上述知，存在a＝符合题设．

三角函数的图象及其变换参

1．C   解析：∵y＝cos＝sin＝sin，∴可由y＝sin x向左平移得到．

2．C      3．A   解析：f(π)＝sin＝－，排除B、D，

f＝sin＝0，排除C.也可由五点法作图验证．

4．D   解析：由T＝＝π，∴ω＝2.由f(0)＝⇒2sin φ＝，∴sin φ＝.∵<，∴φ＝.故选D.

5．C　6.f(x)＝2cos x

7．①②③   解析：函数f(x)＝3sin的图象为C，

①图象C关于直线2x－＝kπ＋对称，当k＝1时，图象C关于x＝π对称，①正确；

②图象C关于点对称，当k＝1时，恰好关于点对称，②正确； 

③x∈时，2x－∈，∴ 函数f(x)在区间内是增函数，③正确；

④由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得y＝3sin，得不到图象C.④不正确．

所以应填①②③.

8.

9．解析：(1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，将点M代入得sin＝，而0<φ<π，

∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin＝cos x；

(2)依题意有cos α＝，cos β＝，而α、β∈，

∴sin α＝ ＝，sin β＝ ＝，

f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

10．解析：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2＝2sin.

因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，

因此sin＝sin.

即－sin ωxcos＋cos ωxsin＝sin ωxcos＋cos ωxsin，整理得sin ωxcos＝0.

因为ω>0，且x∈R，所以cos＝0.

又因为0<φ<π，故φ－＝.

所以f(x)＝2sin＝2cos ωx.

由题意得＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2cos 2x.    因此f＝2cos＝.

(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到

f的图象．

所以g(x)＝f＝2cos

＝2cos.

当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，

即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，

因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

正、余弦定理及应用参

1．B     解析：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c＝2a，则b＝a，

cos B＝＝＝.

2．B      解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，

此三角形面积最大，面积为6 cm2.

3．A  解析：设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a2＝b，

则sin2A＝sin B(sin B＋sin C)，

则＝＋sin Bsin C，

∴(cos 2B－cos 2A)＝sin Bsin C，

sin(B＋A)sin(A－B)＝sin Bsin C，

又sin(A＋B)＝sin C，∴ sin(A－B)＝sin B，

∴A－B＝B，A＝2B，

若△ABC中，A＝2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a2＝b，

所以a2＝b是A＝2B的充要条件．

4．B   解析：由条件可得cos(π－4θ)＝＝－，

∴sin 4θ＝，∴山峰的高度为200×＝300(m)．

5．A    解析：t小时后，甲乙两船的距离为

s2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)cos 120°＝28t2－20t＋100.

∴当t＝＝小时＝×60分钟＝分钟时，甲乙两船的距离最近．

6．    解析：m⊥n⇒cos A－sin A＝0⇒A＝，由正弦定理得，sin Acos B＋sin Bcos A＝sin Csin C，

sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C＝sin2C

⇒C＝.∴B＝.

7．4   解析：由A、B、C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，得B＝，

由a、b、c成等比数列，得b2＝ac，

∴ac＝16，∴S△ABC＝acsin B＝4.

8．     解析：∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∠CDA＝30°，

∴∠DAC＝30°⇒AC＝DC＝.

在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，

∴BC＝＝，

在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 75°＝5  

 ⇒AB＝ km.

9．解析：(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C

＝4＋1－2×2×1×＝2.

那么，AB＝.

(2)由cos C＝，且0解得sin A＝＝.    所以，cos A＝.

由倍角公式sin 2A＝2sin A·cos A＝，

且cos 2A＝1－2sin2A＝，

故sin＝sin 2Acos C＋cos 2Asin C＝.

10．解析：(1)由cos B＝－，得sin B＝，

由cos C＝，得sin C＝.

所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝. 

(2)由S△ABC＝得×AB×AC×sin A＝，

由(1)知sin A＝，故AB×AC＝65，

又AC＝＝AB，故AB2＝65，AB＝.

所以BC＝＝.