温州中学自主招生考试数学试卷含答案

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．

1．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（▲）

A．必经过点（1，1）                B．两个分支分布在第二、四象限                

C．两个分支关于x轴成轴对称        D．两个分支关于原点成中心对称

2．已知是二元一次方程组的解，则的值为（▲）

A．B．C．D．

3．已知平面上的个点，任三个点都能构成直角三角形，则的最大值为（▲）

A．B．C．D．

4．如图1，、为半径为的⊙的弦，为上动点，、分别为、的中点，则的值可表示为（▲）

A．B．C．D．

5．已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于个．从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中．放入个球后，从甲盒中取个球是白球的概率记为，则（▲）

A．，B．，C．，D．以上均有可能

6．已知个实数满足，且对任意的正整数，均存在，使得．

①；②；③；④当时，的可能值共有个．

则上述论断正确的有（▲）个．

A．1    B．2        C．3    D．4

7．二元方程的正整数解的组数为（▲）

A．B．C．3D．4

8．如图2，点分别是三边上点，且满足，，，、、两两分别交于、、，若的面积为，则的面积为（▲）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．请将答案填在答题卷的相应位置．

9．设的小数部分为，的小数部分为，则的值

为▲．

10．若实数满足，则的最大值为▲．（其中表示中的较大者）

11．名儿童分坐两排，每排人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻，也不可面对面，有▲种排法．

12．如图3，已知正方体的棱长为，为棱的中点，点为平面上的动点，则的最小值为▲．

13．若正实数满足，则的值为▲．

14．如图4是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是的数字，可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是▲．

15．对于任意的，有，则对于任意的，的最大值

为▲．

2015年温州中学自主招生素质测试数学试题

答题卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

9．；10．；11．；

12．；13．；14．；

15．；

三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．在函数中，求自变量的取值范围．

17．如图5，为抛物线上不同的四点，，线段与轴的交点分别为，且，

（1）若的坐标为，求点的坐标（用表示）；

（2）若的面积是面积的，求直线的解析式．.

18．如图6，在中，的平分线交于点，点、分别为的内切圆在边、上的切点，点、分别为与的内心．

求证：．

19．试求出所有的正整数，使得对一切奇数，数均可被整除．

20．如图7，在中，为边上的高，于点，于点，与交于点，与的外心分别为和，求证：．

温州中学2014年自主招生综合素质测试笔试

数学试题答题卷

二、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

9．；10．；11．384；

12．；13．2014；14．30096；

15．

三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．在函数中，求自变量的取值范围

解：

17．如图，为抛物线上不同的四点，，线段与轴的交点分别为，且，

（1）若的坐标为，求点的坐标（用表示）；

（2）若的面积是面积的，求直线的解析式.

解：（1）∵，∴可设直线的解析式为，

由点在抛物线上得，∴

由点在直线上得

将代入整理得：

∴即，∴，从而得

故所求点的坐标为

（2）（解法一）∵，∴，

由（1）同理可得点，

，

∵的面积是面积的，

∴，解得或（舍去）∴

∴所求直线的解析式为，

（解法二）过点作轴的平行线分别交于，

由得，∴，

又∵∴

∴点为的中点，

即解得从而

∴所求直线的解析式为

18．如图，在中，的平分线交于点，点、分别为的内切圆在边、上的切点，点、分别为与与的内心．求证：．

解：设的内切圆在边上的切点为，在边上的射影分别为．

连接，，，，，．

由内心性质知

所以

易知，从而∽

所以，从而∽

从而易得，又，

所以．

19．试求出所有的正整数，使得对一切奇数，数均可被整除

解：

故有，故均满足条件；

下证，对于其他的正整数均不满足条件。若，但是有，

则，，故有，即。

显然，不能整除5，故只有。

考虑，。

故只有。

20．如图，在中，为边上的高，于点，于点，与交于点，与的外心分别为和，求证：．

证明：延长交的外接圆于，连接

易知　四点共圆

所以　　

故　四点共圆

同理，四点共圆

所以　为圆的公共弦

故

又

所以.