上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 含解析)

一.填空题

1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝　　．

2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝　　

3．（3分）＝　　

4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝　　

5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为　　

6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为　　

7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为　　8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第　　天，两马相逢．

9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为　　

10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是　　．

二.选择题

11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（　　）

A．a k+B．a k+﹣

C．a k+D．a k+﹣

12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（　　）

A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在

13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（　　）

A．B．C．2D．

14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（　　）

A．B．C．D．2

三.解答题

15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．

（1）求|3|；

（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．

16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；

（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．

17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*

（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；

（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由

（参考数据15＝﹣14.85）

18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）

（1）求S n的表达式；

（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．

19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；

（2）求S n；

（3）证明：当n≥6时，．

20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为　　．

21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，则λ+4μ的最小值为　　．

22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是　　．（把你认为正确的序号全部写上）

①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集

合中；

④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集

合中．

⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P

点集合中．

23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝　　．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n﹣1＝　　25．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：

①当k＝时，数列{a n}为递减数列；

②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；

③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；

④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．

其中正确命题的序号是　　．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷

参与试题解析

一.填空题

1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝　130　．

【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．

【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，

故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，

故答案为：130

【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．

2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝　11　【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．

【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；

∴；

∴n＝11．

故答案为：11．

【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．

3．（3分）＝　　

【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．

【解答】解：＝＝＝．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．

4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝　（﹣）或（）　【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．

【解答】解：根据题意得＝＝5

∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）

故答案为（﹣，）或（，﹣）

【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．

5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为　（5，﹣4）　【分析】直接利用分点坐标公式求出结果．

【解答】解：点P分线段P1P2的比为﹣2，

所以λ＝﹣2．

根据分点的坐标公式：x＝＝，

，

所以：点P的坐标为（5，﹣4）．

故答案为：（5，﹣4）．

【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为　（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）　

【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k）．根据∠ABC为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k的取值范围．

【解答】解：∵A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），

∴＝（﹣1，1）且＝（2，k）．∵∠ABC为钝角，

∴＜0且、不平行，

可得，解之得k＜2且k≠﹣2．

则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）

故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．

【点评】本题给出三点A、B、C的坐标，在B为锐角的情况下求参数k的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．

7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为　　

【分析】根据题意即可得出（50+a）2＝（100+a）（20+a），从而求出a＝25，q＝，这样对前n项和S n 求n趋向无穷大时的极限即可．

【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；

解得a＝25；

∴；

∴．

故答案为：．

【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．

8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第　16　天，两马相逢．

【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．

【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，

记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；

驽马每日行的距离成等差数列，

记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；

设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m

＝193m++97m+

＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，

解得m≥，取m＝16．

故答案为：16．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为　﹣3　

【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又

||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．

【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：

又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，

∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，

向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．

10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是　（﹣3，1）　．

【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．

【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，

∴a1＝S1＝1．

当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n＝1时也成立，

∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），

当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）

＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．

当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）

＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．

∴，

解得﹣3＜p＜1．

故答案为：（﹣3，1）．

【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题

11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（　　）

A．a k+B．a k+﹣

C．a k+D．a k+﹣

【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．

【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，

∴a1＝1﹣，

a2＝1﹣+﹣，

…，

a n＝1﹣+﹣+…+﹣，

a k＝1﹣+﹣+…+﹣，

所以，a k+1＝a k+﹣．

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．

12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（　　）

A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数

C．有两个极限D．不存在

【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．

【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，

可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，

可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．

故选：D．

【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；

13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（　　）

A．B．C．2D．

【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．

【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣

故选：A．

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．

14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（　　）

A．B．C．D．2

【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入

并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．

【解答】解：，；

∴＝

＝

＝；

∴由平面向量基本定理得：；

解得；

∴．

故选：B．

【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．

三.解答题

15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．

（1）求|3|；

（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．

【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；

（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．

【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；

∴；

∴＝9+12+16＝37；

∴；

（2）∵；

∴；解得．

【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．

16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；

（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．

【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；

（2）据题意可知，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．

【解答】解：（1）；

∵A、B、C三点共线；

∴共线；

∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；

∴；

（2）根据题意，；

∴；

解得；

∴，且；

∴；

∴．

【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．

17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*

（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；

（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由

（参考数据15＝﹣14.85）

【分析】（1）当n＝1时，a1＝S1＝1﹣5a1﹣85，求出a1﹣1＝﹣15，当n≥2时，

a n＝S n﹣S n﹣1＝1﹣5a n+5a n﹣1，从而6a n＝5a n﹣1+1，由此能证明{a n﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数

列．

（2）由a n﹣1＝﹣15•（）n﹣1，得S n＝n+75•（）n﹣1﹣90．由此能求出n＝15时，S n取得最小值．【解答】证明：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1﹣5a1﹣85，

解得a1＝﹣14，则a1﹣1＝﹣15．

∵当n≥2时，S n﹣1＝（n﹣1）﹣5a n﹣1﹣85，

∴a n＝S n﹣S n﹣1＝1﹣5a n+5a n﹣1，∴6a n＝5a n﹣1+1，

即a n﹣1＝（a n﹣1﹣1），

∴{a n﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．

解：（2）∵a n﹣1＝﹣15•（）n﹣1，

∴S n＝n﹣5[1﹣15•（）n﹣1]﹣85＝n+75•（）n﹣1﹣90．

由a n＝1﹣15•（）n﹣1＞0，即15•（）n﹣1＜1，解得n＞log+1≈15.85．

∴当n≤15时，a n＜0；当n≥16时，a n＞0．

故n＝15时，S n取得最小值．

【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查前n项和取最小值时项数n的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）

（1）求S n的表达式；

（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．

【分析】（1）因为n≥2，由s n﹣s n﹣1＝a n，代入已知等式中求出s n，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得s n；（2）要求T n的极限，先要求出T n的通项公式而T n为数列{b n}的前n项和，所以先求b n的通项，可利用第一问中s n的通项代入到b n＝中，化简得出b n后，利用做差法得到T n，求出极限即可．

【解答】解：（1）n≥2，s n2＝（s n﹣s n﹣1）（s n﹣）

∴s n＝

即﹣＝2（n≥2）

∴＝2n﹣1故s n＝

（2）b n＝＝＝（﹣）

T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）

∴T n＝

【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．

19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成

公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，

（1）写出数列{a n}的通项公式；

（2）求S n；

（3）证明：当n≥6时，．

【分析】（1）由题意知．

（2），，用错位相减法可以求出

．（3），由此能够求出当n≥6时，．

【解答】解：（1）；即；

（2），

，

两式相减，得，

所以，；

（3），

当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n

≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，

所以，当n≥6时，．

【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．

20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为　[﹣9，0]　．

【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．

【解答】解：如图所示，

以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，

则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；

设M（x，y），其中0≤x≤3，

则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），

∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，

∴﹣9≤﹣3x≤0，

∴•的取值范围是[﹣9，0]．

故答案为：[﹣9，0]．

【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，则λ+4μ的最小值为　3　．

【分析】由题意，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．

【解答】解：，

∵M，N，G三点共线，

∴＝x，

∴﹣＝x（﹣），

∵点G是△ABC的重心，

∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），

∴，

解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．

λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．

（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），

故λ+4μ的最小值为：3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．

22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是　②③④⑤　．（把你认为正确的序号全部写上）

①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集

合中；

④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集

合中．

⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．

【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；

由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；

由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；

由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；

由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+

），⊥，判断⑤正确．

【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，

∴++＝，∴P是△ABC的重心，

∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；

对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），

∴＝λ（+），

又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，

∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；

对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），

∴＝λ（+）；

过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，

∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，

因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；

对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），

∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；

对于⑤，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），

设＝，则E为BC的中点，则＝λ（+），

由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；

∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；

∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．

故正确的命题是②③④⑤．

故答案为：②③④⑤．

【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．

23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝　　．【分析】由，求出a1+a2+a3+a4+…+a2n﹣1+a2n，然后求得极限．

【解答】解：由，得（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝＝＝，

∴＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键．

24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n﹣1＝　（3n﹣1）（3n﹣2）　

【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n+a n+1＝3n，变形可得a n﹣1+a n＝3（n﹣1），两式相减可得a n+1﹣a n﹣1＝3，分析求出a2的值，据此可得数列{a n}的通项公式，再结合根与系数的关系可得

b n＝a n a n+1，则b2n﹣1＝a（2n﹣1）a2n，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，

则a n+a n+1＝3n，①

则有a n﹣1+a n＝3（n﹣1），②

①﹣②可得：a n+1﹣a n﹣1＝3，

且当n＝1时，有a1+a2＝3，又由a1＝1，则a2＝2，

则a n＝，

又由a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b n＝a n a n+1，

则b2n﹣1＝a（2n﹣1）a2n＝[]×[﹣1]＝（3n﹣1）（3n﹣2）；

故答案为：（3n﹣1）（3n﹣2）．

【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n}的通项公式，属于基础题．

25．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：

①当k＝时，数列{a n}为递减数列；

②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；

④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．

其中正确命题的序号是　③④　．

【分析】①当时，作差a n﹣a n+1═≥0，n＝1时取等号，a1＝a2，即可判断出单调性．

②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k，即可判断出结论．

③当时，作商，即可得出数列{a n}的单调性．

④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，因此数列{a n}必有两项相等的最大项．

【解答】解：①当时，a n＝n，则a n﹣a n+1═n﹣（n+1）

＝≥0，n＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；

②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；

③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；

④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．

综上可得：只有③④正确．

故答案为：③④．

【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．