北京科技大学2003-2004学年度第一学期高等数学(A)试题及答案

《高 等 数 学AI》期 末 试 题

   120分钟    满分100   2004.1

   班 级                    姓 名                   学 号                   

1．设              。

2．已知，则全微分                                         。

3．设曲线在（1，1）点处的切线与x轴的交点为，则              。

4．设可导且，则                           。

5．不定积分=                                。

二．单项选择题 (每小题4分，共20分)

6． 若且，下列结论正确的是                   【    】

   (A)                  (B) 

   (C)                         (D) 

7．设是非零向量，且，则下列结论正确的是               【    】

   (A)                             (B)    

   (C)                                (D)  

8．设，则下列结论正确的是                          【    】

( A ) 2002          ( B ) 2003         ( C )  2003！       ( D )  0

9．函数在区间 [ -1 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【    】

(A)  27和7      (B)  34 和 7       (C)  34和18        (D)  27 和 18

10．设在点的某邻域中有定义，则下列结论正确的是          【    】

(A) 若，存在，则在点处连续

(B) 若，存在，则在点处可微

(C) 若，不存在，则在点处不连续

(D) 若，在点处连续，则在点处可微

三．计算题 ( 每小题6分，共36分 )

11．求不定积分

12．求极限

13．求极限 

14．求极限 

15．求定积分

16．求通过两条直线:  与:  的平面方程。

四．综合题 ( 共24分 )

17．（9分）

A、B两厂与码头M均为与一条东西向直线形河流的同一侧，河岸边的A厂离码头M 10km，B厂在码头正北方，离码头4km。今要在A、B两厂间修筑一条公路。沿河岸修筑时，费用为3千元/km；不沿河岸修筑时，费用为5千元/km。公路从A厂开始沿河岸修筑到C处再拐向B厂。问AC为多少km时，才能使修筑总费用最少？并求最少费用。

18．（9分）

求两个曲面与所围立体Ω的体积V。

19．（6分）

设。

① 证明：处可导        ② 讨论在处的连续性。

参  考  答  案

一．填空题

1．20                               2．. 

3．                               4． 

5． 

二．选择题

6．C        7．B        8．D         9．A          10．D

三．计算题

11．解法1：；令 

]

=

解法2：原式=

12．解：原式＝

＝

＝

13．解：多次使用罗比达法则

14．解：利用定积分的定义

15．解：设原积分＝，则

16．解：直线的方向向量  

        又  ,   ,  

    取平面的法向量为  

    所求平面方程为    .

四．计算题

17． 如图：设AC＝km, 

则BC＝

总费用，

令

得驻点，闭区间上的连续函数必有最小值。比较下列数值可得，时费用最省且为46。

18．第一个曲面是椭圆抛物面，开口向下，顶点在（0，0，2）。

两个曲面的交线为  。     

用平面去截Ω。

当时，截面在xoy平面上的投影为椭圆所围区域的内部，

面积为。

当时，截面在xoy平面上的投影为椭圆，面积为。 

从而       

19．① 由和在处的连续性，知。

取代换得，

由导数定义有  

② 

所以，