导数基础典型题归类与解析

对基础典型题进行归类解析，并辅之以同类变式题目进行巩固练习，是老师教学笔记的核心内容与教学精华所在，也是提高学生好题本含金量的试题秘集。

　当学生会总结数学题，会对所做的题目分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，他才真正掌握了学数学的窍门，才能真正做到"任它千变万化，我自岿然不动"。

　 一、题型一：利用导数概念求导数

例1．已知s=，求t=3秒时的瞬时速度。

解析：由题意可知某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限。

V===（6+=3g=29.4(米/秒)。

变式练习：求函数y=的导数。

解析： 

=-

2、例2已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则li＝____

解析：li＝－2li＝－2f′(x0)＝－2×11＝－22.

变式练习：若f′(x0)＝2，求的值．

解：令－k＝Δx，∵k→0，∴Δx→0.则原式可变形为

＝－＝－f′(x0)＝－×2＝－1.

二、题型二：深入领会导数的几何意义

导数的几何意义: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。

1、已知曲线上的点求此点切线斜率

例3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为(　　)

A．4         B．16          C．8        D．2

解析：选C.  

曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．

f′(x)＝li＝li＝li＝4x.则f′(2)＝8.

变式训练（1）：已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为________．

解析：∵y＝x2－2，∴y′＝li＝li＝li (x＋Δx)＝x.

∴y′|x＝1＝1.∴点P(1，－)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.

变式训练（2）：求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

解：曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率

k＝y′|x＝1＝li＝li (3Δx＋2)＝2.

∴过点P(－1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.

2、已知切线斜率求相关点坐标

例4 函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝_________.

解析：2＝li＝2x0＋4，∴x0＝－1.

变式训练：下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)

A．(0,0)    B．(2,4)       C．(，)      D．(，)

解析：选D     .k＝li＝li＝li (2x＋Δx)＝2x.

∵倾斜角为，∴斜率为1.∴2x＝1，得x＝，故选D.

三、题型三：利用求导公式及法则求导及其应用

1、对数函数求导及应用 

例5．f(x)＝logx；

解： f′(x)＝(logx)′＝＝.

变式练习：（1）、设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝_________

解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－1.∴lna＝－1，a＝.

（2）、已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值等于________．

解析：因为y′＝(lnx)′＝，设切点为(x0，y0)，  则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.由lnx0－1＝0，得x0＝e.∴k＝.

2、指数函数求导

 例6  f(x)＝2－x.

解∵2－x＝()x，∴f′(x)＝[()x]′＝()xln＝－()xln2.

3、幂函数求导及应用      

例7 ．已知f(x)＝xa，则f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)

A．4     B．－4      C．5       D．－5

解析：选A.f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.故选A.

变式练习．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．

解：∵y＝，∴y′＝()′＝(x)′＝x－，∴y′|x＝8＝×8－＝.

即在点P(8,4)的切线的斜率为.∴适合题意的切线的斜率为－3.

从而适合题意的直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0.

四、 题型四： 复合函数求导及应用

1、用和、差、积、商求导法则求复合函数导数

例8  求下列复合函数的导数：

(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝； (3)y＝lgx－ex；

解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝＝.(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.

2、例9．求下列复合函数的导数：

(1)f(x)＝ln(8x)；      (2)f(x)＝(＋1)(－1)；(3)y＝5log2(2x＋1)．   (4)y＝sin2x－cos2x.

解：(1)因为f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，

所以f′(x)＝(ln8)′＋(lnx)′＝.

(2)因为f(x)＝(＋1)(－1)＝1－＋－1＝－＋＝，

所以f′(x)＝＝－(1＋)．

(3)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝.

(4)法一：y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2sin(2x＋)．

法二：∵y＝sin(2x－)，∴y′＝cos(2x－) ·2＝2sin(2x＋)．

3、复合函数求导的应用

例10、已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　)

A.          B.        C.         D. 

解析：选D. ∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4.∴a＝.

变式练习（1）．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为________．

解析：∵f(x)＝，∴f(c)＝，又f′(x)＝＝，∴f′(c)＝.

依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0，∴2c－1＝0得c＝.

变式练习（2）  若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)

A．－1        B．－2       C．2       D．0

解析：选B.  由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，

即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2

4、导数中利用待定系数法求解析式

例11、已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.求f(x)的解析式．

解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1得：

x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.

要使方程对任意x恒成立，则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，

所以f(x)＝2x2＋2x＋1.

小结：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；如：例8中1、2

（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。

五、题型五：借助导数处理单调区间、极值和最值问题

1、已知函数解析式求其单调区间

例12．求下列函数的单调区间．

(1)y＝x－lnx；    (2)y＝.

解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－.令1－>0，解得x>1；

再令1－<0，解得0因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．

(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

y′＝－，所以当x≠0时，y′＝－<0，而当x＝0时，函数无意义，

所以y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数，即y＝的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．

变式练习 ：函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)      B．(0,3)    C．(1,4)      D．(2，＋∞)

解析：选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

2、已知函数单调区间求解析式中的参数值

例13、若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝___，c＝___

解析：∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，

∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.

变式练习：若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．

解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，

∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.

3、用导数解复杂函数中的恒成立问题

例14．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)

A．a≥     B．a＝1     C．a＝2      D．a≤0

解析：选D. 因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，

即3ax2≤1恒成立．当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；

变式练习．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

解：f′(x)＝a＋－，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，

只需f′(x)在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0.当a＝0时，f′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；

当a>0时，要使f′(x)＝a(－)2＋a－≥0恒成立，∴a－≥0，解得a≥1.综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.

4、通过导数解决函数极值问题

例15、函数f(x)＝x3－6x2－15x＋2的极大值是________，极小值是________．

解析：f′(x)＝3x2－12x－15＝3(x－5)(x＋1)，

在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f′(x)>0，在(－1,5)上f′(x)<0，∴f(x)极大值＝f(－1)＝10， f(x)极小值＝f(5)＝－98.

变式练习：函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)

A．2        B．2，－1     C．－1      D．－3

解析：选C  .f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)·(x＋1)，

∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，∴x＝－1时取极小值．

例16、函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)

A．2　　　　B．3        C．4        D．5

解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，

∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0∴a＝5.

变式练习（1）： 已知函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a、b的值为(　　)

A．a＝－4，b＝11      B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5       D．以上都不正确

解析：选A.   f′(x)＝3x2－2ax－b，∵在x＝1处f′(x)有极值，

∴f′(1)＝0，即3－2a－b＝0.①又f(1)＝1－a－b＋a2＝10，即a2－a－b－9＝0.②

由①②得a2＋a－12＝0，∴a＝3或a＝－4.∴或

当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，

故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以舍去．∴

变式练习（2）：若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．

解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，

容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.

例17、设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值范围为________．

解析：y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．

由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.∴(－∞，－1)

变式练习：已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则y的极值情况是(　　)

A．有极小值  B．有极大值C．既有极大值又有极小值       D．无极值

解析：选D  .f′(x)＝1－＝≥0，∴函数f(x)在定义域R上为增函数。

综合练习：(2010年高考安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1（0解：由f(x)＝sin x－cosx＋x＋1,0于是f′(x)＝1＋sin(x＋)．令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝－， 得x＝π，或x＝.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

5、通过导数解决函数最值问题

例18、（06浙江卷）在区间上的最大值是（   ）

(A)－2         (B)0            (C)2            (D)4

解析：，令可得x＝0或2（2舍去），

当－1x0时， 0，当0x1时， 0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C；

变式练习（1）：函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．

解析：由y′＝12x2－16x＝0，得x＝0或x＝.当x＝0时，y＝0；当x＝时，y＝－；

当x＝－2时，y＝－；当x＝2时，y＝0.比较可知ymax＝0，ymin＝－.

变式练习（2）：函数y＝xex的最小值为________．

解析：令y′＝(x＋1)ex＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.∴ymin＝f(－1)＝－.

例19．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)

A．－10      B．－71

C．－15      D．－22

解析：选B  .f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．

由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.

变式练习(1):已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．

解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．

变式练习(2)．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.

解析：y′＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，

x1＝0，x2＝，x3＝－，又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，

f()＝b－4a，f(0)＝b，f(－)＝b－4a.∴∴a＝2. b=3

例20．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．

解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，∴a＜min＝3(当x＝1时取最小值)．∵x≥1，

∴a＜3，a＝3时亦符合题意，∴a≤3.

(2)f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.

令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，

即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，

∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.

变式练习（06山东卷）：设函数f(x)=（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

解：由已知得，令，解得   。

（Ⅰ）当时，，在上单调递增；

   当时，，随的变化情况如下表：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。

六、题型六：定积分问题

1、计算定积分的值

例21．（1）；   （2）；

解析：（1）因为，

所以；

      （2）

2、求定积分中的参数值

例22   ，若使最小，则需为何值？

解： 

当时，。  

变式练习： 已知，，试求的取值范围。

解： 

令，则，故为方程的两根

故或

3、应用定积分处理平面区域内的面积

例23. 求抛物线与直线所围成的图形的面积。

解：由或

变式练习（1）. 求由抛物线，所围成图形的面积。

解：由或  

变式练习（2）.：由抛物线及其在点处两切线所围成的图形的面积。

解;，