高等数学期末试卷及答案

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．函数在点可微分是在该点连续的           条件.

2．半径为a的均匀半圆薄片（面密度为）对其直径边的转动惯量为               .

3．L为圆周，则=           .

4．函数的傅里叶级数展开式为

    ，则级数的和等于       .

5．方程的通解是                        .

二、选择题（每小题3分，共15分）

6．函数在点处沿方向的方向导数（   ）。

(A)  最大;     (B)  最小;     (C)  1;      (D)  0.

7．设区域是由围成，则（    ）。

(A) ;(B) ;(C) ;(D)  的符号与a有关.

8．下列各式中正确的是（   ）

(A)，其中 ，沿逆时针方向；

(B)；

其中是平面在第一卦限的部分的上侧。

(C) 

其中是的边界曲线，且的方向与侧符合右手法则；

(D) 向量场的散度

 .

9．级数为（   ）。

(A)  绝对收敛；(B)  条件收敛；(C) 收敛性与b 的取值有关； (D)  发散 .

10．设线性无关的函数都是方程微分方程

的解，为任意常数，则该方程的通解是（   ）。

(A) ；   (B) ；  

(C) ；

(D) .

三、计算题（共70分）

11．（7分）求函数的最小值.

12．（7分）,其中具有二阶连续偏导数求:。

13．（7分）计算积分。

14．（7分）计算积分计算积分，其中是由平面及三个坐标面围成的四面体。

15．（7分）计算曲线积分：，其中沿逆时针方向。

16．（7分）计算曲面积分，其中为抛物面介于和之间的下侧。

17．（7分）求幂级数的收敛域。

18．（7分）将函数展开成的幂级数，并求。

19．（7分）求微分方程满足初始条件的特解。

20.（7分）设具有二阶连续导数，且，已知

为全微分方程，求及此全微分方程之通解。

  参

一.填空题（每小题3分共15分）

  1. 充分  2.    3.     5.    

二. 选择题（每小题3分共15分）

  6.（ A ） 7.（ C ） 8.（ B ）  9.（ B ） 10. ( D )

三. 计算题（每小题7分共70分）

11．（7分）求函数的最小值.

解：由                                               

得驻点：，，，                                     

，， 

在驻点处：，，且，故是极大点，

其极大值 

在驻点处：，，且，故不是极值点，

在驻点处：，，且，故不是极值点，

在驻点处：，，且，故为极小点，

其极小值 

12．（7分）,其中具有二阶连续偏导数求:。

解：  

13．（7分）计算二次积分。

解：   

14．（7分）计算积分，其中是由平面及三个坐标面围成的四面体。

解： 分)

  分)

 分)

   分)

15．（7分）计算曲线积分：，其中沿逆时针方向。

解：方法一 

，    

方法二

 分)

 分)

 分)

16．（7分）计算曲面积分，其中为抛物面介于和之间的下侧。

解：添加辅助面，取其上侧， 

 分)

17．（7分）求幂级数的收敛域。

解： 

当时，，收敛                          

当时，，发散                                   

故幂级数的收敛域为                                     

18．（7分）将函数展开成的幂级数，并求。

解：     

，；                            （3分）

，                              

，

19．（7分）求微分方程满足初始条件的特解。

解：令，则， 

由得：，                     

即，由得：                 

，，由得：            

故所求方程满足初始条件的特解为：                        

20.（7分）设具有二阶连续导数，且，已知

为全微分方程，求及此全微分方程之通解。

解：由题意得:

通解为：， 

把代入上式得：

故 

所以原方程为：

即 

其通解为：