2020届新高考数学模拟试卷及答案解析(5)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合3{|0log 2}A x x =，{|B x y ==，则(A B = )

A ．[1，3]

B ．[6，9]

C ．[3，9]

D ．[3-，6]

2.已知复数552i

z i i

=+-，则||(z =)

A B ．C ．D ．

3.设13

3a =，13

log 2b =，1

21()3c =，则(

)

A ．b a c <<

B ．c b a <<

C ．b c a <<

D ．c a b

<<4.函数2()cos ()3

f x x π

=+的最小正周期为()

A ．

2

πB ．2π

C ．π

D ．

4

π5.“lnm lnn <”是“22m n <”的()

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6.已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则||(AF =)

A ．16

B ．10

C ．12

D ．8

7.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()1f x xlnx =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为(

)

A ．y x =-

B ．2y x =-+

C ．y x =

D ．2

y x =-8.在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30︒，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为(

)

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.一组数据12x l +，221x +，321x +，⋯，21n x +的平均值为7，

方差为4，记132x +，232x +，

332x +，⋯，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则(

)

A ．7a =

B ．a ll =

C ．12b =

D ．9

b =10.设m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是()

A ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n

B ．若//m α，//n β，m n ⊥，则a β

⊥C ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥D ．若//m α，//n α，l m ⊥，l n ⊥，

则l α⊥11.在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA l ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是()

A ．AC BD ⊥

B ．//MN 平面ABD

C ．三棱锥A CMN -的体积的最大值为12

D ．AD 与BC 一定不垂直

12.定义：若函数()F x 在区间[a ，]b 上的值域为[a ，]b ，则称区间[a ，]b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间[a ，]b 的“复区间长度”为2()b a -，已知函数2()|1|f x x =-，则(

)

A ．[0，1]是()f x 的一个“完美区间”

B ．1[2，12

+是()f x 的一个“完美区间”

C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+

D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=- ，,a b

的夹角为θ，则sin θ=

．

14.381

(2)x x

-的展开式中常数项是

．（用数字表示）

15.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为

．

16.已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且||||PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为，

此时该双曲线的离心率为

．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）在

①cos 220B B -+=②2cos 2b C a c =-

③b a =

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，

已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若

，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 满足123123252525253

n n n

a a a a +++⋯+=----．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1

1

{

}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：11226n T <．19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．()l 证明：//EF 平面SAD ．

（2）若8SD =，求二面角D EF S --

的正弦值．

20．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．

（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；

生二孩

不生二孩合计

头胎为女孩60

头胎为男孩

合计

200

（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：

2()

P K k 0.150.050.010.001k

2.072

3.841

6.635

10.828

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++（其中)n a b c d =+++．21．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆22

:143

x y C +

=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B ．（1）证明：点B 恒在椭圆C 上．

（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2

PTQ π

∠=

恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数()1f x xlnx =-，2()(2)g x ax a x =--．（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；

（2）设函数()()(2)G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两个不同的交点，证明：2()22l In x x ln >+．

2020届新高考数学模拟试题（5）

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合3{|0log 2}A x x =

，{|B x y ==，则(A B = )

A ．[1，3]

B ．[6，9]

C ．[3，9]

D ．[3-，6]

【解析】 集合3{|0log 2}{|19}A x x x x ==

，{|{|3B x y x x ===-或6}x ，{|69}[6A B x x ∴== ，9]．

故选：B ．2.已知复数552i

z i i

=+-，则||(z =)

A

B

．C

．D

．【解析】 55(2)

551725

i i i z i i i i +=

+=+=-+-，

∴||z ==．

故选：B ．

3.设1

3

3a =，13

log 2b =，1

21()3c =，则(

)

A ．b a c

<<<【解析】因为13

31a =>，13

log 20b =<，1

210()13c <=<，

所以b c a <<，故选：C ．

4.函数2()cos ()3

f x x π

=+的最小正周期为()

A ．

2

πB ．2π

C ．π

D ．

4

π【解析】因为22cos(2)1

1213()cos ()cos(2)3

2232

x f x x x πππ+

+=+

==++，

所以它的最小正周期为22

π

π=，故选：C ．

5.“lnm lnn <”是“22m n <”的()

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <，反之，22m n <，得||||m n <，故前者是后者的充分不必要条件，故选：A ．

6.已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则||(AF =)

A ．16

B ．10

C ．12

D ．8

【解析】因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥．由抛物线定义知1

||||||2

AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=．故选：C ．

7.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()1f x xlnx =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为(

)

A ．y x =-

B ．2y x =-+

C ．y x =

D ．2

y x =-【解析】因为函数()f x 是偶函数，当0x >时，()1f x xlnx =+，所以当0x <时，0x ->，

所以()()()1f x f x xln x =-=--+，所以(1)1f -=，又()()1f x ln x '=---，所以(1)1f '-=-，

所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为y x =-．故选：A ．

8.在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30︒，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为(

)

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【解析】在平面BCD 中，过B 作//BE CD ，且BE CD =，连接DE ，AE ，可得四边形BCDE 为平行四边形，则22A BCDE A BCE C BAE V V V ---==，

由AC AB ⊥，AC CD ⊥，可得AC BE ⊥，则CA ⊥平面ABE ，

由AB ，CD 所成的角为30︒，可得30ABE ∠=︒，11115

sin 30532224ABE S AB BE ∆=

︒=⨯⨯⨯= ，则1115

45334

C BAE ABE V AC S -∆=

=⨯⨯= ，而2A BCDE A BCD V V --=，可得5A BCD C BAE V V --==，故选：A ．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.一组数据12x l +，221x +，321x +，⋯，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，⋯，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则(

)

A ．7a =

B ．a ll =

C ．12b =

D ．9

b =【解析】12x l +，221x +，321x +，⋯，21n x +的平均值为7，方差为4，设1(X x =，2x ，3x ，⋯，)n x ，(21)2()17E X E X +=+=，得()3E X =，(21)4()4D X D X +==，()1D X =，

132x +，232x +，332x +，⋯，32n x +的平均值为a ，方差为b ，(32)3()211a E X E X =+=+=，(32)9()9b D X D X =+==，

故选：BD ．

10.设m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是()

A ．若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n

B ．若//m α，//n β，m n ⊥，则a β

⊥C ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥D ．若//m α，//n α，l m ⊥，l n ⊥，

则l α⊥【解析】对于选项A 选项中，m ，n 可能异面；故错误．对于选项B 选项中，α，β也可能平行或相交；故错误．

对于选项D 选项中，只有m ，n 相交才可推出l α⊥．故错误．

对于选项C ，由于m α⊥，n β⊥，则，直线m 和n 可以看做是平面α和β的法向量，由于

αβ⊥，所以m n ⊥，故正确．

故选：ABD ．

11.在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA l ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是()

A ．AC BD ⊥

B ．//MN 平面ABD

C ．三棱锥A CMN -的体积的最大值为2

12

D ．AD 与BC 一定不垂直

【解析】设AC 的中点为O ，连接OB 、OD ，如图所示；则AC OB ⊥，AC OD ⊥，

又OB OD O = ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故A 正确；

因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -三棱锥最大，

最大值为11

34A CMN N ACM V V --==⨯=

三棱锥三棱锥C 错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．综上知，正确的命题为ABD ．故选：ABD ．

12.定义：若函数()F x 在区间[a ，]b 上的值域为[a ，]b ，则称区间[a ，]b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间[a ，]b 的“复区间长度”为2()b a -，已知函数2()|1|f x x =-，则(

)

A ．[0，1]是()f x 的一个“完美区间”

B ．15[2，152

+是()f x 的一个“完美区间”

C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+

D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+

【解析】因为2()|1|0f x x =-恒成立，所以函数()f x 的值域为：[0，)+∞；

设区间[a ，]b 是函数()f x 的“完美区间“，则当[x a ∈，]b 时，()[f x a ∈，]b ，所以0a ；则0a b <；

函数2()|1|f x x =-在区间[0，1]上时，2()1f x x =-，故()f x 在[0，1]上单调递减，(0)1f =，f （1）0=，故值域为[0，1]；故[0，1]是()f x 的一个“完美区间”，故A 正确；

0<，故B 错误①当1b 时，[a ，][0b Ü，1]，此时22()|1|1f x x x =-=-，则函数()f x 在[0，1]上单调递减；所以函数()f x 在区间[a ，]b 上单调递减；因为函数()f x 在区间[a ，]b 上的值域为[a ，]b ，

所以22

()1()1f a a b f b b a ⎧=-=⎨=-=⎩

，所以221a b b a +=+=，则22

a a

b b -=-，所以221144a a b b -+=-+，即2211()()22a b -=-，所以11

22

a b -=-，整理得a b =（舍去）

；或11

22

a b -

=-，整理得1a b +=，因为21a b +=，所以2b b =解得0b =（舍去）或1b =；则10a b =-=，此时2

011a b +=+=，满足原方程组，所以0a =，1b =是方程组22

()1()1f a a b

f b b a ⎧=-=⎨=-=⎩

的唯一解；故此情况下存在0a =，1b =使得区间[a ，]b 是函数()f x 的“完美区间”，此区间[a ，]b 的“复区间长度”为2(10)2-=；②当1b >时，

（1）若01a <，则1[a ∈，]b ，此时()min f x f =（1）0=，若函数()f x 在区间[a ，]b 上的值域为[a ，]b ，则0a =，f （b ）b =；

因为1b >，所以f （b ）22|1|1b b b =-=-=，即210b b --=，解得15

2

b =

（舍去）或12

b =

；故此情况下存在0a =

，b =

使得区间[a ，]b 是函数()f x 的“完美区间”，此区间[a ，]b

的“复区间长度”为0)1-=+；

（2）当1a 时，2()1f x x =-，[x a ∈，]b ；此函数()f x 在[a ，]b 上单调递增，若函数()f x 在区间[a ，]b 上的值域为[a ，]b ，则22

()1()1f a a a

f b b b

⎧=-=⎨=-=⎩，所以此时a 与b 是方程210x x --=的两个不等实根，

解20x x i --=得1152x -=，2152x +=

，所以15212

a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪

=⎪⎩，因为1512a =<，

所以此情况不满足题意．

综上所述，函数2()|1|f x x =-的所有“完美区间”的“复区间长度”

的和为2(13++=+；故C 正确；D 错误；故选：AC ．

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=- ，,a b

的夹角为θ，则sin θ

=．

【解析】 向量(4,3),(1,2)a b =-=- ，,a b

的夹角为θ，

则cos 5||||a b a b θ===-

，

sin θ∴==

故答案为：

55

．14.381

(2)x x

-的展开式中常数项是

112．（用数字表示）

【解析】381(2x x -的展开式的通项为：3882441881

(2)()2(1)r r r r r r r r T C x C x x

---+=-=-，

令2440r -=，解得6r =，

则381

(2)x x

-的展开式中常数项是866682(1)112C --=，

故答案为：112．

15.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为

112

．

【解析】左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，基本事件总数6212n =⨯=，

事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”包含的基本事件个数1m =，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率112

m P n ==．故答案为：

112

．16.已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且||||PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为1

，

此时该双曲线的离心率为

．

【解析】过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得||||PN PF =，||||PH k PF = ，||||PH k PN ∴=，∴

1||

||

PN k PH =

，设PH 的倾斜角为α，则1cos k

α=

，当k 取得最大值时，cos α最小，此时直线PH 与抛物线相切，

设直线PH 的方程为y kx k =+，代入24y x =，可得22222(2)0k x k x k +-+=，∴△2244(2)40k k =--=，1k ∴=±，

(1,2)P ∴±，

∴双曲线的实轴长为2PH PF -=-，

∴1

=+．

故答案为：11．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）在①cos 220B B -+=②2cos 2b C a c =-③

b a =

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答，

已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若

①

，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选①

2cos 212sin B B =- ，

∴22sin 30B B +-=，

即(2sin 0B B +=，解得sin B =（舍去）或3

sin 2

B =．0B π<< ，∴3B π=

或23

π，又a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，b ∴不是三角形中最大的边，即3

B π

=

，由2222cos b a c ac B =+-，得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC ∆是等边三角形．选②

由正弦定理可得2sin cos 2sin sin B C A C =-，故2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-，整理得2cos sin sin 0B C C -=．0C π<< ，sin 0C ∴>，即1cos 2

B =．0B π<< ，∴3

B π=

，又a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，

由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2220a c ac +-=，即a c =，故ABC ∆是等边三角形．选③

由正弦定理得

sin sin B A =

，sin 0A ≠ ，

∴cos 1B B -=，

即1sin()62

B π-

=，0B π<< ，∴5666

B πππ

-

<-<

，即66B ππ-

=，可得3

B π

=，由余弦定理即2222cos b a c ac B =+-，可得2220a c ac +-=，可得a c =，故ABC ∆是等边三角形．故答案为：①．

18．（12分）已知数列{}n a 满足123123252525253

n n n

a a a a +++⋯+=----．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1

1

{

}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：11226n T <．【解答】（1）解：

123123252525253

n n n

a a a a +++⋯+=----，①当1n =时，14a =．当2n 时，

11111

25253

n n n a a ---+⋯+=

--，②由①-②，得35

2

n n a +=

，因为14a =符合上式，所以35

2n n a +=，（2）证明：1

14411

()(35)(38)33538

n n a a n n n n +==-++++4111111411()(3811111435383838

n T n n n =

-+-+⋯+-=-+++，因为11

03811

n <+，

所以

11

226

n T <．19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．()l 证明：//EF 平面SAD ．

（2）若8SD =，求二面角D EF S --的正弦值．

【解析】（1）证明：取SD 中点M ，连接AM ，MF ，M ，F 分别为SD ，SC 的中点，//MF CD ∴，且1

2

MF CD =，

又底面ABCD 为正方形，且E 为AB 中点，//MF AE ∴，且MF AE =，∴四边形AEMF 为平行四边形，

//EF AM ∴，

EF 不在平面SAD 内，AM 在平面SAD 内，//EF ∴平面SAD ；

（2）以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间坐标系D xyz -，

则(0D ，0，0)，(4E ，2，0)，(0F ，2，4)，(0S ，0，8)，故(4,0,4),(4,2,0),(0,2,4)EF DE FS =-==-

，

设平面DEF 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则440420m EF x z m DE x y ⎧=-+=⎪

⎨=+=⎪⎩ ，可取(1,2,1)m =- ，

设平面EFS 的一个法向量为(,,)n a b c = ，则440

240

n EF a c n FS b c ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩

，可取(1,2,1)n = ，设二面角D EF S --的平面角为θ，

则1cos cos ,||||3m n m n m n θ=<>==-

，

∴22

sin 3θ==

，即二面角D EF S --的正弦值为223

．

20．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．

（1）完成下列22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；

生二孩

不生二孩

合计

头胎为女孩60

头胎为男孩

合计

200

（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：

2()

P K k 0.150.050.010.001k

2.072

3.841

6.635

10.828

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++（其中)n a b c d =+++．【解析】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100⨯=．因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105⨯=．22⨯列联表如下：

生二孩

不生二孩

合计头胎为女孩6040100头胎为男孩

4555100合计

105

95

200

22

200(60554540)600 3.84110595100100133

K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，

故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．

（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1，2，3，4．

13

434

74

(1)35

C C P X C ===；22434718

(2)35

C C P X C ===

；31434712

(3)35

C C P X C ===

；44471

(4)35

C P X C ===

．X 的分布列为

X 1234P

435

1835

1235

135

418121161234353535357

EX =⨯

+⨯+⨯+⨯=．21．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆22

:143

x y C +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂

直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B ．（1）证明：点B 恒在椭圆C 上．

（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2

PTQ π

∠=

恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．

【解析】（1）证明：由题意知2(1,0)F ，(4,0)A ，设(,)M s t ，(,)N s t -，

则22143s t +=，22

3(1)4

s t =-．直线2MF 的方程为(1)1t y x s =--，直线AN 的方程为(4)4

t

y x s -=--，

联立可得5825B s x s -=

-，325B t y s =-，即B 的坐标为58(25s s --，3)25

t s -．因为2222222222(58)12(58)36916801001434(25)4(25)1680100

B B x y s t s s s s s s s s -+-+--++====---+，所以B 点恒在椭圆

C 上．

（2）解：．当直线n 的斜率不存在时，不符合题意．

不妨设直线n 的方程为y kx b =+，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得2

PTQ π

∠=恒成立，则T 一定在x 轴上，故设0(T x ，0)，由2214

3y kx b x y =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩可得222(34)84120k x kbx b +++-=．

因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，

所以△2222224(34)(412)48(43)0k b k b k b =-+-=-+=，可得2234b k =+，所以4P k x b =-

，3P P y kx b b

=+=．又因为(4,4)Q k b +，2PTQ π∠=，所以04(k TP TQ x b =-- ，03

(4x b

- ，4)0k b +=，

即0043(4)

()(4)0k k b x x b b

++

-+=，所以2

00043(44)0k

x x x b

-++

-=，对于任意的满足22430k b -+=的k ，b 恒成立，

所以020

0440430x x x -=⎧⎨-+=⎩解得01x =．

故在平面内存在定点(1,0)T ，使得2

PTQ π

∠=

恒成立．22．（12分）已知函数()1f x xlnx =-，2()(2)g x ax a x =--．（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；

（2）设函数()()(2)G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有1(A x ，1)y ，2(B x ，2)

y

两个不同的交点，证明：2()22l In x x ln >+．

【解析】（1）2()()()(2)1H x f x g x lnx ax a x ='-=-+-+，则(21)(1)()x ax H x x

-++'=

，当0a 时，()H x 在1(0,2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减；当20a -<<时，令()0H x '>，得102x <<或1x a >-，令()0H x '<，得112x a

<<-，()H x ∴在11(0,),(,)2a -+∞上单调递增，在11(,)2a

-上单调递减；当2a =-时，()0H x '，()H x 在(0,)+∞上单调递增；

当2a <-时，令()0H x '>，得10x a <<-或12x >，令()0H x '<，得112

x a -<<，()H x ∴在11(0,),(,)2a -+∞上单调递增，在11(,)2

a -上单调递减；（2）证明：2()()(2)G x g x a x ax =+-=，

依题意，关于x 的方程21ax xlnx =-，即1ax lnx x =-有两个不同的根，由题知，1111lnx ax x -=①，222

1lnx ax x -=②，①+②得，12121212()()x x ln x x a x x x x +-

=+③，②-①得，22121112

()x x x ln a x x x x x -+=-④，由③④得，1212212122112()()x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，记211x t x =>，令2(1)()(1)1t F t lnt t t -=->+，则2

(1)()0(1)

t F t t t -'=>+，()F t ∴在(1,)+∞上单调递增，故()F t F >（1）0=，∴2(1)1t lnt t ->

+，即22121211212(1)2()1x x x x x ln x x x x x -->=++，∴121221212211

2()()2x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=>-，

1212121212122()()()()2x x ln x x ln x x ln x x x x +-<-==，

∴22>

，即1->，

令2()x lnx x ϕ=-，易知()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，

又12)2112ln ln e -=+-<，

∴1)ln >>，

即)ϕϕ>，

∴>，即2122x x e >，12()22ln x x ln ∴>+，即得证．