2021-2022学年吉林春市绿园区八年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．﹣8的立方根是（　　）

A．4    B．2    C．﹣2    D．±2

2．下列数是无理数的是（　　）

A．    B．π    C．0    D．

3．计算（x2）3的结果是（　　）

A．x5    B．x6    C．x8    D．3x2

4．计算的结果为（　　）

A．10    B．5    C．3    D．2

5．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（　　）

A．x2﹣16    B．x2+16    C．16﹣x2    D．﹣x2﹣16

6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）

A．25    B．175    C．600    D．625

7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　）

A．28°    B．59°    C．60°    D．62°

8．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．二次根式有意义，则x的取值范围是 　   　．

10．比较大小：﹣3 　   　0（填“＞”、“＝”或“＜”）．

11．计算：2x•（﹣3xy）＝　   　．

12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　   　．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 　   　．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．计算：﹣﹣﹣|﹣6|．

16．因式分解：

（1）4m2﹣36；

（2）2a2b﹣8ab2+8b3．

17．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰三角形．

（2）在图②中，以线段AB为底画一个等腰三角形．

18．先化简，再求值：（x﹣3）2﹣x（2x+1）+x2，其中x＝．

19．如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．

20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？

21．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．

（1）图2中间空白的部分的面积是 　   　；

（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式 　   　；

（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．

22．2021年央视春晚，数十个节目给千家万户送上了丰富的“年夜大餐”．某校随机对八年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢相声《年三十的歌》（记为A）、歌曲《牛起来》（记为B）、武术表演《天地英雄》（记为C）、小品《开往春天的幸福》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：

（1）求本次接受调查的学生人数．

（2）求扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数．

（3）将条形统计图补充完整．

23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝AB，AC＝8，点D是边AC的中点，动点P从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．同时，动点Q从点D出发，沿DC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．过点Q作QE⊥AC，使QE＝QD，且点E落在直线AC的上方，当点P不与点D重合时，以PQ、QE为邻边作长方形PQEF．设长方形PQEF与△ABC的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示线段AP的长度为 　   　．

（2）当点F落在线段AB上时，求t的值．

（3）用含t的代数式表示S．

（4）连结AF、DF．当△AFD是等腰三角形时，直接写出t的值．

参

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．﹣8的立方根是（　　）

A．4    B．2    C．﹣2    D．±2

【分析】根据立方根的定义即可求解．

解：﹣8的立方根是﹣2．

故选：C．

2．下列数是无理数的是（　　）

A．    B．π    C．0    D．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

B．π是无理数，故本选项符合题意；

C．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

D．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

故选：B．

3．计算（x2）3的结果是（　　）

A．x5    B．x6    C．x8    D．3x2

【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．

解：（x2）3＝x6．

故选：B．

4．计算的结果为（　　）

A．10    B．5    C．3    D．2

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．

解：＝5．

故选：B．

5．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（　　）

A．x2﹣16    B．x2+16    C．16﹣x2    D．﹣x2﹣16

【分析】用平方差公式直接得出结果．

解：（4+x）（x﹣4）

＝（x+4）（x﹣4）

＝x2﹣42

＝x2﹣16，

故选：A．

6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　）

A．25    B．175    C．600    D．625

【分析】由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，直接代入即可．

解：在△ABC中，∠ACB＝90°，

由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

∴225+400＝S，

∴S＝625．

故选：D．

7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　）

A．28°    B．59°    C．60°    D．62°

【分析】根据∠C＝90°AD＝AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．

解：∵在△ABC中，∠C＝90°，

AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，

∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，

∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，

∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，

∵∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．

故选：B．

8．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据“要在BC边上找一点D，使AD＝BD”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可．

解：若要在BC边上找一点D，使AD＝BD，

则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≤3　．

【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．

解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，

故x的取值范围是x≤3．

故答案为：x≤3．

10．比较大小：﹣3 　＜　0（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【分析】首先求出介于2和3之间，从而得最后答案．

解：∵2＜＜3，

∴﹣3＜0．

故答案为：＜．

11．计算：2x•（﹣3xy）＝　﹣6x2y　．

【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算．

解：2x•（﹣3xy）＝﹣6x2y，

故答案为：﹣6x2y．

12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为　30　．

【分析】先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．

解：∵52+122＝132，

∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，

∴此三角形的面积为×5×12＝30．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 　5　．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴DE＝CD＝2，

∴△ABD的面积＝AB•DE＝×5×2＝5．

故答案为：5．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为 　33°　．

【分析】利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理可得．

解：∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝＝39°，

∵AD＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA＝72°，

∵∠AED＝∠C+∠EDC，

∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°，

故答案为：33°．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．计算：﹣﹣﹣|﹣6|．

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．

解：原式＝4﹣+0.5﹣6

＝﹣2．

16．因式分解：

（1）4m2﹣36；

（2）2a2b﹣8ab2+8b3．

【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；

（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．

解：（1）原式＝4（m2﹣9）

＝4（m+3）（m﹣3）；

（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）

＝2b（a﹣2b）2．

17．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

（1）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰三角形．

（2）在图②中，以线段AB为底画一个等腰三角形．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）根据要求作出图形即可．

解：（1）如图1中，△ABC即为所求；

（2）如图2中，△ABC即为所求．

18．先化简，再求值：（x﹣3）2﹣x（2x+1）+x2，其中x＝．

【分析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．

解：原式＝x2﹣6x+9﹣2x2﹣x+x2

＝﹣7x+9，

当x＝时，

原式＝﹣7×＝﹣1．

19．如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．

【分析】根据题意得出BC＝EF，即可利用SAS证明△ABC和△DEF，再利用全等三角形的性质即可得解．

【解答】证明：∵BF＝CE，

∴BF+FC＝CE+FC，

即BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF．

20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？

【分析】根据方向角的概念求出∠CAB＝90°，根据勾股定理求出AC的长，得到答案．

解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，

∴∠CAB＝90°，

∵AB＝16×3＝48，BC＝60，

∴AC＝＝36，

∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，

答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．

21．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．

（1）图2中间空白的部分的面积是 　（a﹣b）2　；

（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式 　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　；

（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．

【分析】（1）由图形面积间和差关系可得此题结果为（a﹣b）2；

（2）由图形面积间关系可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；

（3）由（2）题关系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，就能求得最后结果．

解：（1）由题意得，图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2，

故答案为：（a﹣b）2；

（2）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，

故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；

（3）由（2）题关系式可得，

（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4

∴x﹣y＝±2，

即x﹣y的值是±2．

22．2021年央视春晚，数十个节目给千家万户送上了丰富的“年夜大餐”．某校随机对八年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢相声《年三十的歌》（记为A）、歌曲《牛起来》（记为B）、武术表演《天地英雄》（记为C）、小品《开往春天的幸福》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：

（1）求本次接受调查的学生人数．

（2）求扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数．

（3）将条形统计图补充完整．

【分析】（1）根据B的人数除以所占的百分比得到接受调查的学生人数；

（2）用360°乘以D节目男、女生人数和占被调查人数的比例即可；

（3）先求出D所占百分比，再求出C所占百分比，继而可以求出C的人数，进而得出C中男生人数；用总人数乘A占的百分比得出A的人数进而得出A中女生人数，然后补全条形统计图即可；

解：（1）本次接受调查的学生人数为（12+8）÷40%＝50（名）；

（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为360°×＝36°；

（3）D占的百分比为×100%＝10%，C占的百分比为1﹣（20%+40%+10%）＝30%，

∴C的人数为50×30%＝15（人），即C中男生为15﹣8＝7（人）；A的人数为50×20%＝10（人），A中女生人数为10﹣6＝4（人），

补全条形统计图，如图所示：

23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．

【分析】（1）①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，进而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；

（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，进而得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE＝BE﹣AD．

解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②∵△ADC≌△CEB，

∴CE＝AD，CD＝BE，

∴DE＝CE+CD＝AD+BE；

（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

∴CE＝AD，CD＝BE，

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．

理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

∵在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CE＝AD，CD＝BE，

∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝AB，AC＝8，点D是边AC的中点，动点P从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．同时，动点Q从点D出发，沿DC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．过点Q作QE⊥AC，使QE＝QD，且点E落在直线AC的上方，当点P不与点D重合时，以PQ、QE为邻边作长方形PQEF．设长方形PQEF与△ABC的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示线段AP的长度为 　4﹣2t　．

（2）当点F落在线段AB上时，求t的值．

（3）用含t的代数式表示S．

（4）连结AF、DF．当△AFD是等腰三角形时，直接写出t的值．

【分析】（1）由AC＝8，点D是边AC的中点求出AD的长为4，再由动点P从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，且运动的时间为t得PD＝2t，则AP＝4﹣2t；

（2）当点F落在线段AB上时，可证明△APF是等腰直角三角形，则AP＝FP＝QE＝t，可列方程t＝4﹣2t，解方程求出t的值即可；

（3）先确定当点P到达终点A时，则点E恰好落在BC边上，再分两种情况进行讨论，一是当0＜t≤时，长方形PQEF与△ABC的重叠部分的面积S为长方形PQEF本身，二是当＜t≤2时，则长方形PQEF与△ABC的重叠部分的面积S为S长方形PQEF﹣S△FGH，分别求出用含t的代数式表示S的等式即可；

（4）△AFD是等腰三角形存在两种情况，一是AF＝DF，则PD＝PA＝AD＝2，列方程求出t的值；二是FD＝AD＝4，在Rt△PDF中根据勾股定理列方程求出t的值即可．

解：（1）∵AC＝8，点D是边AC的中点，

∴AD＝AC＝4，

∵PD＝2t，

∴AP＝4﹣2t，

故答案为：4﹣2t．

（2）当点F落在线段AB上时，如图1，

∵四边形PQEF是长方形，

∴∠QPF＝90°，FP＝QE，

∴∠APF＝180°﹣∠QPF＝90°，

∵∠ABC＝90°，BC＝AB，

∴∠A＝∠C＝45°，

∴∠PFA＝∠A＝45°，

∴AP＝FP＝QE，

∵QE＝QD＝t，

∴AP＝t，

∴t＝4﹣2t，

解得t＝，

∴当点F落在线段AB上时，t的值为．

（3）当点P与点A重合时，则2t＝4，

解得t＝2，此时QD＝QE＝QC＝2，

∴点E恰好落在BC边上，

当0＜t≤时，如图2，

∵PD＝2t，QE＝QD＝t，

∴PQ＝2t+t＝3t，

∵S＝S长方形PQEF＝PQ•QE，

∴S＝3t•t＝3t2；

当＜t≤2时，如图3，PF交AB于点G，EF交AB于点H，

∵∠PGA＝∠A＝45°，

∴∠FGH＝∠PGA＝45°，

∵∠F＝90°，

∴∠FHG＝∠FGH＝45°，

∴FH＝FG，

∵FP＝QE＝t，GP＝AP＝4﹣2t，

∴FH＝FG＝t﹣（4﹣2t）＝3t﹣4，

∵S＝S长方形PQEF﹣S△FGH，

∴S＝3t2﹣（3t﹣4）2＝﹣t2+12t﹣8，

综上所述，S＝．

（4）如图4，△AFD是等腰三角形，且AF＝DF，

∵PF⊥AD，

∴PD＝PA＝AD＝2，

∴2t＝2，

解得t＝1；

如图5，△AFD是等腰三角形，且FD＝AD＝4，

∵∠DPF＝90°，

∴PD2+FP2＝FD2，

∵PD＝2t，FP＝t，

∴（2t）2+t2＝42，

解得t＝或t＝﹣（不符合题意，舍去），

综上所述，t的值为1或．