椭圆方程的求法例题

一、定义法

【例1】已知的周长是18，，求点的轨迹方程。

【变式】：在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为.建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.

【解】:以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,

设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,

所以焦距 2c=|AB|=6 因为 

又 ,所以 ,

由题意得  

此时,|PA|=|PB|,P点坐标为 P(0,±4).

所以C点的轨迹方程为    

【例2】已知椭圆以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，求椭圆的方程；

【解法1】：有定义可得，点在椭圆上。

所以，又

故椭圆方程为： 

【解2】设椭圆方程

点在椭圆上， 

【例3】已知圆，定点．动圆M过点F2，且与圆F1相内切．求点M的轨迹C的方程.

【解析】设圆M的半径为r．

因为圆M与圆F1相内切，所以MF1＝4－r．

因为圆M过点F2，所以MF2＝r．

所以MF1＝4－MF2，即MF1＋MF2＝4．

所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆．

且此椭圆的方程形式为＋＝1(a＞b＞0)．

其中2a＝4，c＝1，所以a＝2，b＝．

所以曲线C的方程＋＝1． 

【例4】设为直角坐标系内轴正方向的单位向量， 

，且．求点的轨迹的方程；

【解析】由已知可得又知，

即点到两定点的距离之和为定值8，又8>4

所以的轨迹为以为焦点椭圆，

故方程为 

【例5】已知的三边长成等差数列,若点的坐标分别为.求顶点的轨迹的方程;

【解析】:因为成等差数列,点的坐标分别为  

所以且  由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆(去掉长轴的端点),  

所以.  故顶点的轨迹方程为   

【例6】一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点．求以、为焦点且过点的椭圆的方程;

【解析】设点关于直线的对称点, 

则,解得,∴  

∵,根据椭圆的定义,得

===, 

∴, ,． 

∴椭圆的方程为．  

【例7】已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足，求点的轨迹方程。

【解析】由题意可得：垂直平分，所以=，

所以

二、待定系数法

高考试题整理中的试题

1．（2009广东）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，椭圆的方程．

3．（2009浙江理）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．求椭圆的方程． 

16．（2009宁海理）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C的方程． 

7．（2009山东理）设椭圆（）过，两点，为坐标原点，求椭圆的方程。

9．（2009全国Ⅱ）已知椭圆的离心率为，直线过右焦点F，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为，求，的值．

10．（2009安徽文）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切．求a与b．        ．

14．（2009湖南文）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．求椭圆C的方程．．

三、转化已知条件

【例1】已知点的坐标分别是, ,直线相交于点M,且它们的斜率之积为.求点M轨迹的方程;

【解析】:设点的坐标为,

∵,∴ 

整理,得(),这就是动点M的轨迹方程 

【例2】设Q、G分别为的外心和重心,已知, ,｡求点的轨迹

【解析】:设,∵,  ∴ 

又∵Q是外心,且∴ 

∵∴,即 

【例3】已知动点P到直线的距离是到定点()的距离的倍.求动点P的轨迹方程;【解析】:设动点,由题意知.. 即动点P的轨迹方程是. 【例4】在平面直角坐标系中,长度为6的线段PQ的一个端点P在射线y=0(x≤0)上滑动,另一端点Q在射线x=0(y≤0)上滑动,点M在线段PQ上,且求点M的轨迹方程;

【解】:设点P、Q、M的坐标分别是P(x1, 0)、Q(0,y1)、M(x, y) 其中x1≤0,y1≤0,依条件可得  ∴可得： 代入(*)式,得  即点M的轨迹方程为 

【例5】已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足。求动点P的轨迹方程；【解】设动点P（x，y）， 

则 

由已知得， 

化简得 

∴点P的轨迹是椭圆 

【例7】已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．求动点的轨迹的方程；

【解析】设，则，∵，

∴． 

即，即，所以动点的轨迹的方程． 

【例8】已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线L：x=－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥L，垂足为， 

（1）求点P的轨迹方程；

【解析】由， 

设P（x，y），得，，∴ 点P的轨迹方程为．