四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题及参

数学(理)试卷

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y2＝-8x的准线方程是(    )

A．y＝2    B．x＝4    C．x＝-2    D．x＝2

2．椭圆的短轴长为(    )

A．    B．10    C．8    D．6

3．以下直线中，将圆x2＋y2-4x-2y＋1＝0平分的是(    )

A．x-y-1＝0    B．x-y＋1＝0    C．2x-y＝0    D．2x-y＋3＝0

4．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上且|PF1|＝20，则|PF2|等于(    )

A．12或28    B．14或26    C．16或24    D．17或23

5．已知椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2为等边三角形，则该椭圆的离心率为(    )

A．    B．    C．    D．

6．圆：x2＋y2＝4与圆：(x-3)2＋(y-4)2＝9的位置关系是(    )

A．内切    B．相交    C．外切    D．相离

7．已知m∈R，则“m＞3”是“方程表示双曲线”的(    )

A．充分必要条件    B．充分不必要条件

C．必要不充分条件    D．既不充分也不必要条件

8．F为椭圆(a＞b＞0)的右焦点，A为C的左顶点，B为第一象限内C上的点，且BF垂直于x轴．若C的离心率为，则直线AB的斜率为(    )

A．    B．    C．1    D．

9．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为，则∠AOB＝(    )

A．30°    B．45°    C．60°    D．120°

10．如果实数x，y满足x2＋y2-6x＋4＝0，那么的最大值是(    )

A．    B．    C．    D．

11．双曲线(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若△AF1F2的面积为，则双曲线C的离心率为(    )

A．4    B．    C．2    D．

12．已知椭圆的下顶点为A，点B是C上异于点A的一点，若直线AB与以M(0，)为圆心的圆相切于点P，且，则tan∠ABM＝(    )

A．    B．    C．    D．

二、填空题(本大题共4小题)

13．命题“若a＝-1，则a2＝1”的逆命题是________．

14．抛物线y2＝4x上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为________．

15．已知点A(3，0)，B(0，4)，点P在圆x2＋y2＝1上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．

16．若A，B是曲线上不同的两点，O为坐标原点，则的取值范围是________．

三、解答题(本大题共6道小题，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．已知p：x∈R，|x|＋1≥m．  q：x∈[0，]，tanx≥m．

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若p为真命题，p∨q也为真命题，求实数m的取值范围．

18．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2，0)．

(1)求p；

(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．

19．圆M经过三点：A(-2，2)，B(0，-2)，C(4，0)．

(1)求圆M的方程；

(2)求圆M与圆N：(x-3)2＋y2＝25的公共弦的长．

20．已知A(-2，0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3．

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)过点N(2，3)能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．

21．给定抛物线x2＝y上点P(2，4)．

(1)求过点P且与该抛物线相切的直线的方程；

(2)过点Q(-2，6)作动直线l与该抛物线交于A，B两点(都与P不重合)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．

22．已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，且经过点(0，1)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线与椭圆C交于A，B两点．

①求(用实数k，m表示)；

②O为坐标原点，若，且，求的面积．

成都七中2020—2021学年度上期高2022届高二半期考试

数学(理)  参

一、选择题

1．D  2．C  3．A  4．B  5．A  6．C  7．B  8．B  9．C  10．D  11．D  12．B

二、填空题

13．若a2＝1，则a＝-1．  14．5  15．17  16．[2，＋∞)

三、解答题

17．解：(1)∵x∈R，m≤|x|＋1，∴m≤(|x|＋1)min．又∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴x＝0时，(|x|＋1)min＝1．∴m≤1，即p为真命题时，m的取值范围是(-∞，1]．

(2)∵p是真命题，∴p为假命题，∴由(1)得m＞1．

又∵p∨q为真命题，∴q为真命题．由x∈[0，]，m≤tanx，∴．

综上，，即m的取值范围是(1，]．

18解：(1)∵，∴p＝4．

(2)直线方程为y＝x-2，联立y2＝8x，得(x-2)2＝8x，∴x2-12x＋4＝0．∴Δ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝12．∴焦点弦弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16．

解2：焦点弦弦长．

19．解：(1)设圆M方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆M过A(-2，2)，B(0，-2)，C(4，0)，

∴解得D＝-2，E＝-2，F＝-8，

∴圆M方程为：x2＋y2-2x-2y-8＝0．

(2)圆N的一般方程为：x2＋y2-6x-16＝0，两圆方程相减，得相交弦所在直线为：4x-2y＋8＝0．

∴N(3，0)到直线距离，

∴相交弦长．

20．解：(1)设M(x，y)，∴，，其中x≠±2，∴，整理得轨迹C的方程为：(x≠±2)．

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴，，作差得，

∴，∴．

∴直线m方程为：y-3＝2(x-2)，即y＝2x-1．

联立3x2-y2＝12，∴3x2-(2x-1)2＝12，整理得x2-4x＋13＝0，∴Δ＝(-4)2-4×13＝-36＜0，∴直线m不存在．

解2：由题，直线m斜率存在，设m方程y-3＝k(x-2)，联立y＝kx＋3-2k与3x2-y2＝12，得3x2-(kx＋3-2k)2＝12，整理得(k2-3)x2＋2k(3-2k)x＋(3-2k)2＋12＝0．

∴k2-3≠0，且Δ＝[2k(3-2k)]2-4(k2-3)[(3-2k)2＋12]＞0．(*)

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，解得k＝2．

代回(*)式得Δ＝(-4)2-4×13＝-36＜0，∴直线m不存在．

21．解：(1)由题，切线斜率存在，设切线方程为y-4＝k(x-2)，联立x2＝y，得x2＝kx＋4-2k，∴x2-kx＋2k-4＝0，∴Δ＝k2-4(2k-4)＝0，∴(k-4)2＝0，∴k＝4，∴切线方程为y＝4x-4．

(2)由题，l斜率存在，设l方程为y-6＝k(x＋2)，联立x2＝y，得x2＝kx＋6＋2k，∴x2-kx-2k-6＝0，Δ＝k2-4(-2k-6)＝(k＋4)2＋8＞0成立．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，x1x2＝-2k-6．

∴

＝-2k-6＋2k＋4＝-2，∴k1·k2为定值-2，得证．

22．解：(1)∵C过(0，1)，∴b＝1．又，联立a2＝b2＋c2，解得a＝2，

∴C的方程为：

(2)①联立y＝kx＋m与x2＋4y2＝4，得x2＋4(kx＋m)2＝4，∴(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2-4＝0．

∴Δ＝(8km)2-4(4k2＋1)(4m2-4)＝16(4k2＋1-m2)＞0，∴4k2＋1＞m2．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，．

∴．

②∵，∴OA⊥AB，则k≠0，直线OA为：．联立y＝kx＋m，

得y＝k(-ky)＋m，∴，．代入，

∴，∴．

∴，

∴．

又∵，

∴，得16k2＝(4k2＋1)2，∴(4k2-1)2＝0，∴．

此时，∴Δ＞0成立．

由，∴△OAB的面积

．