函数解析式的几种基本方法及例题

1、凑配法：

已知复合函数的表达式，求的解析式。（注意定义域）

例1、（1）已知f(x+1)=x2+2x,求f(x)及f(x-2).

（2） 已知  ，求 的解析式

解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f（x）=x2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x2-4x+3.

   （2） ， 

2、换元法：

已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。（注意所换元的定义域的变化）

例2 （1） 已知，求

(2)如果

解：（1）令，则， 

(2)设

3、待定系数法:

当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).

解：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,

则应有

四、构造方程组法：

已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4  设求

解   

显然将换成，得：

解联立的方程组，得：

五、赋值法：

当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

    例5  已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求

解对于任意实数x、y，等式恒成立，

不妨令，则有  

再令  得函数解析式为：

课堂练习：

1、已知f(x+1)=x2-2x,求f(x)及f(x-2). 

2、已知f（+1）=x+2+1,求f(x)的解析式。

3、已知f(x)为二次函数，f(x+1)+f(x-1)=2x2-2x+4.求f(x)的解析式。

4、已知f(x)=2x+a,(x)=(x2+3),且[f(x)]=x2+x+1,则a=       .

5、如果函数f(x)满足方程a为常数，且a≠1,求f(x)的解析式。

解：∵af(x)+f()=ax ① 将x换成，换成x得，

af()+f(x)= ② 由①、②得f(x)=

6、已知函数f(x)对任意正数m,n均有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且f(8)=3,试求f()的值。