江西2016届九年级(上)期末数学试卷(解析版)

一、选择题（每题3分，共18分）

1．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）

A．买一注福利彩票，一定会中大奖

B．明天太阳从东方升起

C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯

D．猴子在水中捞到月亮

2．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）

A．    B．    C．    D．

3．关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜    B．m＞且m≠2    C．m≤    D．m≥且m≠2

4．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣a，﹣b）    B．（﹣a，﹣b﹣1）    C．（﹣a，﹣b+1）    D．（﹣a，﹣b﹣2）

5．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（　　）

A．    B．4    C．    D．

6．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：

①abc＜0；

②2a﹣b=0；

③4a+2b+c＜0；

④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．

其中说法正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①②④    D．②③④

二、填空题（每题3分，共24分）

7．在△ABC中，若|sinB﹣|+，则∠C=　　　　　　度．

8．如图所示，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞3，则一次函数的解析式为　　　　　　．

9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　　　　　　．

10．在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=　　　　　　．

11．已知P为等腰△ABC内一点，AB=BC，∠BPC=108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC=　　　　　　．

12．如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形ABCD，其中AB=2，AD=1，将矩形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为　　　　　　．

13．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n=　　　　　　．

14．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　　　　　　．

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

15．计算： +|﹣3|﹣2cos30°+（﹣1+）0．

16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．

（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；

（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；

（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．

17．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：

①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；

（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率．

18．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．

（1）求证：2EF=BD，

（2）四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

19．中国是世界上13个贫水国家之一．某校有800名在校学生，学校为鼓励学生节约用水，展开“珍惜水资源，节约每一滴水”系列教育活动．为响应学校号召，数学小组做了如下调查：

小亮为了解一个拧不紧的水龙头的滴水情况，记录了滴水时间和烧杯中的水面高度，

如图1．小明设计了调查问卷，在学校随机抽取一部分学生进行了问卷调查，并制作出统计图．如图2和图3．

请结合图2和图3回答下列问题：

（1）参加问卷调查的学生人数为　　　　　　人，其中选C的人数占调查人数的百分比为　　　　　　．

（2）在这所学校中选“比较注意，偶尔水龙头滴水”的大概有　　　　　　人．若在该校随机抽取一名学生，这名学生选B的概率为　　　　　　．

请结合图1解答下列问题

（3）在“水龙头滴水情况”图中，水龙头滴水量（毫升）与时间（分）可以用我们学过的哪种函数表示？请求出函数关系式．

（4）为了维持生命，每人每天需要约2400毫升水，该校选C的学生因没有拧紧水龙头，2小时浪费的水可维持多少人一天的生命需要？

20．如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直．马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．

（1）求CD与AB之间的距离；

（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．

参考数据：sin67°，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．

21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB=DF；

（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．

22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点M是弧AB的中点，连MA，MB，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．

五、（本大题10分）

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；

（2）若AD=，当a=2时，求T的值；

（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

六、（本大题12分）

24．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax2+bx过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

2015-2016学年江西省宜春市丰城中学九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每题3分，共18分）

1．下列事件中，属于不可能事件的是（　　）

A．买一注福利彩票，一定会中大奖

B．明天太阳从东方升起

C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯

D．猴子在水中捞到月亮

【考点】随机事件．

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．

【解答】解：买一注福利彩票，一定会中大奖是随机事件；

明天太阳从东方升起是必然事件；

经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件；

猴子在水中捞到月亮是不可能事件，

故选：D．

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

2．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为2，2，1，表示为平面图形即可，

【解答】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，

得主视图有3列，从左到右的列数分别是2，2，1．

故选C．

【点评】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力．

3．关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜    B．m＞且m≠2    C．m≤    D．m≥且m≠2

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【专题】计算题．

【分析】本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac＞0，即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0，

解这个不等式得，m＞，

又∵二次项系数是（m﹣2）2，

∴m≠2，

故M得取值范围是m＞且m≠2．

故选B．

【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．

4．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（　　）

A．（﹣a，﹣b）    B．（﹣a，﹣b﹣1）    C．（﹣a，﹣b+1）    D．（﹣a，﹣b﹣2）

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】常规题型．

【分析】设点A的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．

【解答】解：根据题意，点A、A′关于点C对称，

设点A的坐标是（x，y），

则=0， =﹣1，

解得x=﹣a，y=﹣b﹣2，

∴点A的坐标是（﹣a，﹣b﹣2）．

故选D．

【点评】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．

5．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为（　　）

A．    B．4    C．    D．

【考点】确定圆的条件；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

【专题】压轴题．

【分析】此题考查了直角三角形的性质和三角函数的性质．

【解答】解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆

∴△AEF∽△ABC

∴，即cos∠BAC=

∴sin∠BAC=

∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6=．

故选D．

【点评】本题是一道根据直角三角形的性质结合角的三角函数求解的综合题，要注意圆的性质应用；要注意数形结合思想的应用．

6．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：

①abc＜0；

②2a﹣b=0；

③4a+2b+c＜0；

④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．

其中说法正确的是（　　）

A．①②    B．②③    C．①②④    D．②③④

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．

【解答】解：∵二次函数的图象的开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＜0，

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，

∴﹣=﹣1，

∴b=2a＞0，

∴abc＜0，∴①正确；

2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），

∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，

∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，

∵＜3，

∴y2＜y1，∴④正确；

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

二、填空题（每题3分，共24分）

7．在△ABC中，若|sinB﹣|+，则∠C=　90　度．

【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．

【专题】计算题．

【分析】根据非负数的性质得到sinB=，tanA=，再根据特殊角的三角函数值求出∠B与∠A的度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数．

【解答】解：∵|sinB﹣|+，

∴sinB=，tanA=，

∴∠B=30°，∠A=60°，

∴∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．

故答案为90．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，是一道小型综合题．

8．如图所示，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞3，则一次函数的解析式为　y=x﹣2　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】根据题意得出A、B两点的横坐标，分别代入反比例函数y=即可求得坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．

【解答】解：根据题意：A，B两点的横坐标分别为﹣1，3，

把x=﹣1代入y=得，y=﹣3，

∴A（﹣1，﹣3），

把x=3代入y=得，y=1，

∴B（3，1），

∵一次函数y1=ax+b的图象经过A，B两点，

∴，

解得．

∴一次函数的解析式为y=x﹣2．

故答案为y=x﹣2．

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点以及待定系数法求一次函数的解析式，得出A、B的交点坐标是解题的关键．

9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　π　．

【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．

【专题】压轴题．

【分析】先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．

【解答】解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，

由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，

∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，

∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，

∴BD=2BM=4，

∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，

同理△FDO的面积是4；

∵∠COD=60°，OC=OD=4，

∴△COD是等边三角形，

∴∠OCD=∠ODC=60°，

在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，

∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，

∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，

故答案为：π．

【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．

10．在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=　　．

【考点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形．

【专题】计算题．

【分析】作AD⊥BC于点D，则点D是BC的中点，在△ABC外作∠CAE=20°，则∠BAE=60°，作CE⊥AE，PF⊥AE，从而证明△ACE≌△ACD，结合全等三角形的性质及含30°角直角三角形的性质可得出答案．

【解答】解：作AD⊥BC于点D，则点D是BC的中点，在△ABC外作∠CAE=20°，则∠BAE=60°，

作CE⊥AE，PF⊥AE，则CE=CD（角平分线的性质），

在△ACE和△ACD中，

∴△ACE≌△ACD（HL），

所以CE=CD=BC．

又因为PF=PAsin∠BAE=PAsin60=AP，PF=CE，

所以AP=BC，

因此=．

故答案为：．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，需要我们熟练全等三角形的判定及30°角直角三角形的性质．

11．已知P为等腰△ABC内一点，AB=BC，∠BPC=108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC=　48°　．

【考点】三角形的内切圆与内心．

【分析】先画图，由对顶角和题意可得∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，即可求∠PCA，∠PBE，∠ABD，∠BAD，∠PAE的值，由∠PAC=∠PAE+∠CAE即可得解．

【解答】解：如图所示：

由题意可得：∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED，

而∠PEA+∠PEB+AED=180°，

所以∠PEA=∠PEB=∠CED=∠AED=60°，

所以可得∠PCA=30°，

又∠BPC=108°，所以∠PBE=12°，从而∠ABD=24°，

所以∠BAD=90°﹣24°=66°，

所以∠PAE=（∠BAD﹣∠CAE）=（66°﹣30°）=18°，

所以∠PAC=∠PAE+∠CAE=18°+30°=48°．

故答案为：48°．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内心，三角形内角和等知识的应用，考查了分析问题解决问题的能力，考查了转化思想，属于中档题．

12．如图所示，在直角坐标系中放置一个矩形ABCD，其中AB=2，AD=1，将矩形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为　π+2　．

【考点】轨迹．

【分析】根据图象可知这个面积是3个扇形面积+两个个三角形的面积，再根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．

【解答】解：点A运动的路径如图所示，见图中红线．

由图象可知，点A运动的路径线与x轴围成的面积=2×π×22+1×2+•12=π+2．

故答案为π+2．

【点评】本题考查矩形的性质、旋转的性质、扇形的面积公式等知识，正确作出图形是解题的关键．

13．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n=　16　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x=m﹣4．故设抛物线解析式为y=（x﹣m+4）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．

【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A（m，n），B（m﹣8，n），

∴对称轴是x=m﹣4．

又∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

∴设抛物线解析式为y=（x﹣m+4）2，

把A（m，n）代入，得

n=（m﹣m+4）2=16，即n=16．

故答案是：16．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．

14．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　2，3，4　．

【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质．

【专题】压轴题．

【分析】分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；

如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．

【解答】解：如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，

∴∠ACB=∠AOB=60°，

∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．

∴OC=AO=BO=2；

如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，

∴∠AOB+∠ACB=180°，

∴四个点A、O、B、C共圆．

设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．

连接OM、AM、AB、MB．

∵∠ACB=60°，

∴∠AMB=2∠ACB=120°．

∵AO=BO=2，

∴∠AMO=∠BMO=60°．

又∵MA=MO，

∴△AMO是等边三角形，

∴MA=AO=2，

∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，

∴OC可以取整数3和4．

综上所述，OC可以取整数2，3，4．

故答案是：2，3，4．

【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．

三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

15．计算： +|﹣3|﹣2cos30°+（﹣1+）0．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．

【解答】解：原式=2+3﹣2×+1=+4．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．

（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；

（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；

（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．

【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换．

【专题】作图题．

【分析】（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案；

（2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案；

（3）利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，

C1点坐标为：（3，2）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，

C2点坐标为：（﹣6，4）；

（3）如果点D（a，b）在线段AB上，经过（2）的变化后D的对应点D2的坐标为：（2a，2b）．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．

17．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：

①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D

小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；

（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率．

【考点】等腰三角形的判定；列表法与树状图法．

【分析】（1）考查了等腰三角形的证明，可以采用等角对等边的定理判定．

（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．

【解答】解：（1）能．

理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC

得△ABE≌△DCE．

∴△BEC是等腰三角形．

（2）树状图：

所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）

也可以用表格表示如下：

由表格（或树状图）可以看出，等可能出现的结果有12种，不能构成等腰三角形的结果有4种，所以使△BEC不能构成等腰三角形的概率为PC=PD=．

【点评】（1）解题的关键是熟练应用等腰三角形的性质与判定；

（2）树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

18．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．

（1）求证：2EF=BD，

（2）四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．

【专题】计算题．

【分析】（1）根据等腰三角形性质推出F为AD中点，根据三角形的中位线定理推出即可；

（2）根据三角形中位线推出EF∥BD，推出△AEF∽△ABD且两三角形相似比K=1：2，得出面积比是，代入求出即可．

【解答】（1）证明：∵DC=AC，CF为∠ACB的平分线，

∴AF=DF，

∵AE=EB，AF=DF，

∴EF为△ABD的中位线，

∴2EF=BD．

（2）解：∵EF为△ABD的中位线，

∴EF∥BD，2EF=BD，

∴△AEF∽△ABD

∴两三角形相似比K=1：2，

∴=K2=，

则4（S△ABD﹣6）=S△ABD，

解得：S△ABD=8．

【点评】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，关键是求出EF是三角形ABD的中位线和推出△AEF∽△ABD，主要烤箱学生运用性质进行推理和计算的能力，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

19．中国是世界上13个贫水国家之一．某校有800名在校学生，学校为鼓励学生节约用水，展开“珍惜水资源，节约每一滴水”系列教育活动．为响应学校号召，数学小组做了如下调查：

小亮为了解一个拧不紧的水龙头的滴水情况，记录了滴水时间和烧杯中的水面高度，

如图1．小明设计了调查问卷，在学校随机抽取一部分学生进行了问卷调查，并制作出统计图．如图2和图3．

请结合图2和图3回答下列问题：

（1）参加问卷调查的学生人数为　60　人，其中选C的人数占调查人数的百分比为　10%　．

（2）在这所学校中选“比较注意，偶尔水龙头滴水”的大概有　440　人．若在该校随机抽取一名学生，这名学生选B的概率为　0.55　．

请结合图1解答下列问题

（3）在“水龙头滴水情况”图中，水龙头滴水量（毫升）与时间（分）可以用我们学过的哪种函数表示？请求出函数关系式．

（4）为了维持生命，每人每天需要约2400毫升水，该校选C的学生因没有拧紧水龙头，2小时浪费的水可维持多少人一天的生命需要？

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）根据A的人数和百分比可求参与调查人数，又C得人数及参与调查人数可得其百分比；

（2）选择B的人数百分比为1减A、C的百分比，将所求百分比乘以全校人数可得，根据B的人数和全校人数可估计其概率；

（3）由图象为直线知水龙头滴水量与时间满足一次函数关系，利用待定系数法可求得函数关系式；

（4）根据滴水总量=x人每天维持生命所需用水量，列出方程可求得．

【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为21÷35%=60人，

其中选C的人数占调查人数的百分比为6÷60×100%=10%；

（2）在这所学校中选“比较注意，偶尔水龙头滴水”的大概有（1﹣35%﹣10%）×800=440人，

若在该校随机抽取一名学生，这名学生选B的概率为440÷800=0.55；

（3）水龙头滴水量（毫升）与时间（分）可以近似地用一次函数表示，

设水龙头滴水量y（毫升）与时间t（分）满足关系式y=kt+b，

依题意得：，

解得：，

∴y=6t，经检验其余各点也在函数图象上，

∴水龙头滴水量y（毫升）与时间t（分）满足关系式为y=6t；

（4）设可维持x人一天的生命需要，

依题意得：800×10%×2×60×6=2400x，

解得：x=24．

答：可维持24人一天的生命需要．

【点评】本题主要考查从统计图中获取信息和一次函数及一元一次方程的应用能力，从图形中获取必要而有用信息是关键．

20．如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直．马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．

（1）求CD与AB之间的距离；

（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．

参考数据：sin67°，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】（1）设CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中分别用x表示BF，AE，又AB=AE+EF+FB，代入即可求得x的值；

（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，分别求出BC、AD的长度，求出AD+DC+CB﹣AB的值即可求解．

【解答】解：（1）CD与AB之间的距离为x，

则在Rt△BCF和Rt△ADE中，

∵=tan37°，=tan67°，

∴BF=≈x，AE=≈x，

又∵AB=62，CD=20，

∴x+x+20=62，

解得：x=24，

答：CD与AB之间的距离约为24米；

（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，

∵BC=≈=40，

AD=≈=26，

∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米），

答：他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走约24米．

【点评】本题考查了解直角三角形，难度适中，解答本题的关键是在直角三角形中运用解直角三角形的知识求出各边的长度．

21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB=DF；

（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；

（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AEB．

∵DF⊥AE，AE=BC，

∴∠AFD=90°，AE=AD．

∴△ABE≌△DFA；

∴AB=DF；

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．

∴AB=DF=6．

在Rt△ADF中，AF=，

∴EF=AE﹣AF=AD﹣AF=2．

∴tan∠EDF==．

【点评】本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．

22．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）点M是弧AB的中点，连MA，MB，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；

（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．

【解答】（1）证明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°，OC⊥CP．

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接MA，MB，

∵点M是的中点，

∴．

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴=．

∴BM2=MN•MC．

又∵AB是⊙O的直径， =，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=4，

∴BM=2．

∴MN•MC=BM2=8．

【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，证得BM2=MN•MC是解题的关键．

五、（本大题10分）

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．

（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；

（2）若AD=，当a=2时，求T的值；

（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．

【考点】相似形综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）解直角三角形，求得点E到AC的距离等于a，这是一个定值；

（2）如答图2所示，作辅助线，将四边形MDEN分成一个等边三角形和一个平行四边形，求出其周长；

（3）可能存在三种情形，需要分类讨论：

①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示；

②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示；

③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示．

【解答】解：（1）由题意得：tanA===，

∴∠A=60°．

∵DE∥AB，

∴∠CDE=∠A=60°．

如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H，

则EH=DE•sin∠CDE=a•=a．

∴点E到AC的距离为一个常数．

（2）若AD=，当a=2时，如答图2所示．

设AB与DF、EF分别交于点M、N．

∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°，

由（1）知∠CDE=60°，

∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°，

又∵∠A=60°，

∴△ADM为等边三角形，

∴DM=AD=．

过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°，

∴△DMG为等边三角形，

∴DG=MG=DM=．

∴GE=DE﹣DG=2﹣=．

∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，

又∵DE∥AB，

∴四边形MGEN为平行四边形．

∴NE=MG=，MN=GE=．

∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=．

（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：

①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示：

∴T=3a；

②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G．

与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形．

∴DM=DG=NE=AD=，MN=GE=DE﹣DG=a﹣，

∴T=DE+DM+MN+NE=a++（a﹣）+=2a+；

③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示：

设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q．

在Rt△PCD中，CD=，∠CDP=60°，∠DPC=30°，

∴PC=CD•tan60°=×=．

∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．

由（1）知，点E到AC的距离为a，∴PQ=a﹣．

∴QE=PQ•tan30°=（a﹣）×=a﹣，PE=2QE=a﹣．

由②可知，四边形MDEN的周长为2a+．

∴T=四边形MDEN的周长﹣PE﹣QE+PQ=（2a+）﹣（a﹣）﹣（a﹣）+（a﹣）=a+﹣．

综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：

T=．

【点评】本题考查了运动型综合题，新颖之处在于所求是重叠部分的周长而非面积．难点在于第（3）问，根据题意，可能的情形有三种，需要分类讨论，避免漏解．

六、（本大题12分）

24．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y=ax2+bx过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；

（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．

②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．

【解答】解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．

将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得，

解得a=﹣，b=4．

故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==，即=．

∴PE=AP=t．PB=8﹣t．

∴点E的坐标为（4+t，8﹣t）．

∴点G的纵坐标为：﹣（4+t）2+4（4+t）=﹣t2+8．

∴EG=﹣t2+8﹣（8﹣t）=﹣t2+t．

∵﹣＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．

②共有三个时刻．

（①）当EQ=QC时，

因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），QC=t，

所以根据两点间距离公式，得：

（t﹣4）2+（8﹣2t）2=t2．

整理得13t2﹣144t+320=0，

解得t=或t==8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．

（②）当EC=CQ时，

因为E（4+t，8﹣t），C（8，0），QC=t，

所以根据两点间距离公式，得：

（4+t﹣8）2+（8﹣t）2=t2．

整理得t2﹣80t+320=0，t=40﹣16，t=40+16＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．

（③）当EQ=EC时，

因为Q（8，t），E（4+t，8﹣t），C（8，0），

所以根据两点间距离公式，得：（ t﹣4）2+（8﹣2t）2=（4+t﹣8）2+（8﹣t）2，

解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=．

于是t1=，t2=，t3=40﹣16．

【点评】抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未知系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．

2016年4月3日