对数与对数函数的概念及练习题

一、对数的概念

1．定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数__x___叫做以__a__为底___N__的对数，记作_x＝logaN_．

2．相关概念：

(1)底数与真数：其中，___a   _叫做对数的底数，_N_叫做真数．

(2)常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为___lg N_；以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为__ln N__．

二、对数与指数间的关系

当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔__x＝logaN_.前者叫指数式，后者叫对数式．它们之间的关系如图所示．

指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：

一、对数的运算性质

若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

1．loga(M·N)＝logaM＋logaN；

2．loga＝logaM－logaN；

3．logaMn＝.nlogaM(n∈R)．

二、对数换底公式

logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．

特别地：logab·logba＝1(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1)．

2．由换底公式得到的常用结论

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

对数函数及其性质

一、对数函数的概念

函数_y＝logax(a＞0，且a≠1)_叫做对数函数，其中__x___是自变量，函数的定义域是_(0，＋∞)_．

二、对数函数的图象与性质

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

注：反函数的图像关于直线y=x对称

对数与对数函数

1．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（    ）

A．①③            B．②④            C．①②            D．③④

2．下列等式成立的有（    ）

①；②；③；④；⑤；

A．①②        B．①②③　　　　C．②③④    D．①②③④⑤

3．若，则=（  ）

    A．    3a     B．          C．a      D．

4．已知，则（    ）

A．    B．    C．a―2    D．

5．计算的结果是（      ）

    A．    B．    2    C．        D．    3

6．已知，那么a的取值范围是(   )

A．    B．     C．    D．或a>1

7．函数的定义域是

A．[－3，1]                    B．（－3，1）

C．（－∞，－3]∪[1，+∞）       D．（ －∞，－3）∪（1,+∞）

8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（  ） 

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

9．函数的值域是(    )

A．            B．        C．       D．

10．设，，，则（　　　）．

 A．        B．       C．        D．

11．若，则x=       ．

12．若        ；

13．若，则         ．

14．函数（a＞0且a≠1）必过定点        ．

15、函数若则=         ．

16．（2015 河南源汇区一模）设；

    ．求m+n的值．

17．计算下列各式的值：

（1）

（2）．

18．已知，x∈[1，9]

（1）求的定义域；

（2）求的最大值及当y取最大值时x的值．

19、求函数的值域和单调区间．

参

1．【答案】C

【解析】由知①②正确．    

2．【答案】B

【解析】；

3．分析：直接利用对数的性质化简表达式，然后把代入即可．

【答案】A 

【解析】

故选A．

4．【答案】D

【解析】∵，

∴，

故选：D．

5．【答案】B

【解析】．

故选：B．

6．【答案】D  

【解析】当a>1时，由知，故a>1；当01．

7．【答案】D

【解析】由，即

解得x＜－3或x＞1。

故选：D．

8．【答案】C　

【解析】函数=，由“左加右减”知，选C．

9．【答案】C　

【解析】令，的值域是，所以的值域是．

10．【答案】D　

【解析】因为，，所以

，所以，故选Ｄ．

11．【答案】-13

【解析】 由指数式与对数式互化，可得，解得．　

12．【答案】12

【解析】 ．

13．【答案】1

【解析】因为所以，又因为所以，所以原式=．

14．【答案】（0，2）

分析：根据函数 过定点（1，0），得函数（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．

【解析】由于函数过定点（1，0），

则在函数中，

令2x+1=1，可得x=0，此时，

故函数（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．

故答案为 （0，2）．

15．【答案】-1或2；　

【解析】令，．

16．【答案】

【解析】∵，

，

∴．

17．分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出，

（2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可．

【答案】（1）；（2）－1

【解析】（1），

（2）

18．【答案】[1，3]；x=3时，最大值为13

分析：（1）把代入得到函数的解析式，由求得函数的定义域；

（2）令换元，然后利用配方法求函数的最大值并求得当y取最大值时x的值．

【解析】（1）∵，

∴

．

∵函数的定义域为[1，9]，

∴要使函数有定义，

则，∴1≤x≤3，

即函数定义域为[1，3]；

（2）令，则0≤u≤1．

，

又∵函数在[－3，+∞）上是增函数，

∴当u=1时，函数有最大值13．

即当，x=3时，函数有最大值为13．

19、【答案】；减区间为，增区间为．

【解析】设，则，∵ y=为增函数，

的值域为．

再由：的定义域为

在上是递增而在上递减，而为增函数

∴ 函数y=的减区间为，增区间为.