2020-2021南京市九年级数学上期中试题附答案

一、选择题

1．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（　　）

A．    B．    C．    D．

2．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（　　）

A．（2，﹣1）    B．（﹣2，1）    C．（﹣2，﹣1）    D．（2，1）

3．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0.其中所有正确的结论是(     )

A．①③    B．②③    C．②④    D．②③④

5．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ）

A．1    B．-1    C．    D．2

6．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）

A．﹣1或3    B．﹣3或1    C．3    D．1

7．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的　　

A．    B．    C．    D．

8．一元二次方程配方后可化为（   ）

A．    B．    C．    D．

9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）

A．且k≠1    B．    C．且k≠1    D．

10．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．

A．2    B．4    C．6    D．8

11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）

A．（x+1）（x+2）=18    B．x2﹣3x+16=0    C．（x﹣1）（x﹣2）=18    D．x2+3x+16=0

12．长方形的周长为，其中一边长为，面积为则长方形中与的关系式为（   ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是______．

14．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=_______度．

15．如图，五边形ABCD内接于⊙O，若AC=AD，∠B+∠E=230°，则∠ACD的度数是__________．

16．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为_____．

17．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__．

18．若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．

19．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为             .

20．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．

三、解答题

21．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.

（1）求与之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

22．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．

(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；

(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？

23．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

24．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；  

（2）解不等式组

25．某中学对本校初2018届500名学生中中考参加体育加试测试情况进行调查，根据男生1000米及女生800米测试成绩整理，绘制成不完整的统计图，(图①，图②)，根据统计图提供的信息，回答问题：

(1)该校毕业生中男生有_______人；扇形统计图中______；

(2)扇形统计图中，成绩为10分的所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；

(3)若500名学生中随机抽取一名学生，这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是多少？

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【解析】

过B作⊙O的直径BM，连接AM，

则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，

∴∠MBA=∠CBD，

过O作OE⊥AB于E，

Rt△OEB中，BE=AB=4，OB=5，

由勾股定理，得：OE=3，

∴tan∠MBA==，

因此tan∠CBD=tan∠MBA=，

故选D．

2．B

解析：B

【解析】

【分析】

将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.

【详解】

解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1

∴顶点坐标为（﹣2，1）；

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.

3．C

解析：C

【解析】

【分析】

利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．

【详解】

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．

∴当x=-1时，y＞0，

即a-b+c＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，

∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴=n，

∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；

∵抛物线与直线y=n有一个公共点，

∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，

∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.

4．D

解析：D

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：①∵二次函数图象的开口向下，

∴a＜0，

∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，

∴﹣＞0，

∴b＞0，

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，故②正确；

③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．

由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2（a+c）+c＜0，

∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；

④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．

由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2b+b﹣a＜0，

∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．

故选D．

考点：二次函数图象与系数的关系．

5．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可．

【详解】

∵关于x的方程是一元二次方程，

∴m2+1=2且m-1≠0，

解得：m=-1，

故选：B．

【点睛】

本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．

6．D

解析：D

【解析】

【分析】

设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．

【详解】

解：设x2﹣2x+1＝a，

∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，

∴a2+2a﹣3＝0，

解得：a＝﹣3或1，

当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，

即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；

当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，

故选：D．

【点睛】

此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.

7．D

解析：D

【解析】

【分析】

Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．

【详解】

解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，

∴∠AOB=∠A=45°，

∵CD⊥OB，

∴CD∥AB，

∴∠OCD=∠A，

∴∠AOD=∠OCD=45°，

∴OD=CD=t，

∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．

故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；

故选D．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．

8．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据移项，配方，即可得出选项．

【详解】

解：x2-4x-1=0，

x2-4x=1，

x2-4x+4=1+4，

（x-2）2=5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．

9．A

解析：A

【解析】

【分析】

由根的判别式求出k的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得：，

∵，则，

∴的取值范围是且k≠1；

故选：A．

【点睛】

本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k的取值范围．

10．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据旋转的性质和图形的特点解答．

【详解】

∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°

∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的 ，

∵图形的面积是12cm2，

∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；

故答案为B．

【点睛】

本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式列方程可得=18．

故选C．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．

12．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y与x的函数.

【详解】

∵长方形的周长为，其中一边长为，

∴另一边为12-x，

故面积则长方形中与的关系式为

故选C

【点睛】

此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.

二、填空题

13．P＞Q【解析】∵抛物线的开口向下∴a＜0∵∴b＞0∴2a-b＜0∵∴b+2a=0x=-1时y=a-b+c＜0∴∴3b-2c＞0∵抛物线与y轴的正半轴相交∴c＞0∴3b+2c＞0∴P=3b-2cQ=b

解析：P＞Q

【解析】

∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵ 

∴b＞0，

∴2a-b＜0，

∵

∴b+2a=0，

x=-1时，y=a-b+c＜0．

∴ 

∴3b-2c＞0，

∵抛物线与y轴的正半轴相交，

∴c＞0，

∴3b+2c＞0，

∴P=3b-2c，

Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c，

∴Q-P=-2a-2b-2c-3b+2c=-2a-5b=-4b＜0

∴P＞Q，

故答案是：P＞Q．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．

14．【解析】试题分析：解：连接OD∵CD是⊙O切线∴OD⊥CD∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴AB⊥OD∴∠AOD=90°∵OA=OD∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考

解析：【解析】

试题分析：解：连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．

考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．

15．65°【解析】【分析】连接OAOCOD利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可【详解】解：如图解:连接OAOCOD在圆的内接五边形ABCDE中∠B+∠E=230°∠B=(∠AOD+∠CO

解析：65°

【解析】

【分析】

连接OA,OC,OD,利用同弧所对的圆心角等于圆周角得2倍求出所求的角即可.

【详解】

解：如图

解:连接OA,OC,OD,

在圆的内接五边形ABCDE中, ∠B+∠E=230°,

∠B=(∠AOD+∠COD), ∠E=(∠AOC+∠COD),（圆周角定理）

(∠AOD+∠COD)+ (∠AOC+∠COD)= 230°,

即: （∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD）= 230°，

可得：∠C0D==，

可得：∠CAD=,

在△ACD中，AC=AD，∠CAD=，

可得∠ACD=,

故答案：.

【点睛】

此题考查了圆心角、弧、弦的关系,以及圆周角定理,熟练掌握定 理及法则是解本题的关键.

16．8x2+124x﹣105＝0【解析】【分析】镜框所占的面积为照片面积的四分之一为了不出差错最好表示出照片的面积=4(镜框面积-照片面积)【详解】解：设镜框的宽度为xcm依题意得：21×10＝4（21

解析：8x2+124x﹣105＝0

【解析】

【分析】

镜框所占的面积为照片面积的四分之一,为了不出差错,最好表示出照片的面积=4(镜框面积-照片面积).

【详解】

解：设镜框的宽度为xcm,

依题意,得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10],

整理,得：8x2+124x﹣105＝0．

故答案为：8x2+124x﹣105＝0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用,解题的难点在于把给出的关键描述语进行整理,解决本题的关键是要正确分析题目中等量关系.

17．12【解析】x2−6x+5=0x2−6x=−5x2−6x+9=−5+9(x−3)2=4所以a=3b=4ab=12故答案为：12

解析：12

【解析】x2−6x+5=0，

x2−6x=−5，

x2−6x+9=−5+9，

(x−3)2=4，

所以a=3，b=4，

ab=12，

故答案为：12.

18．【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故

解析：

【解析】

【分析】

根据“关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．

【详解】

根据题意得：

△=1-4×2m=0，

整理得：1-8m=0，

解得：m=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．

19．【解析】试题解析：连接OEAE∵点C为OA的中点∴∠CEO=30°∠EOC=60°∴△AEO为等边三角形∴S扇形AOE=∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===

解析：.

【解析】

试题解析：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点，

∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，

∴△AEO为等边三角形，

∴S扇形AOE= 

∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）

= 

= 

=．

20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=

解析：15

【解析】

分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，

∴∠BAD=150°，AD=AB，

∵点B，C，D恰好在同一直线上，

∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，

∴∠B=∠BDA，

∴∠B=（180°-∠BAD）=15°，

故答案为15°．

点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．

三、解答题

21．（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.

【解析】

【分析】

（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；

（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；

（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．

【详解】

（1）由题意得： ．

故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700，

（2）由题意，得

-10x+700≥240，

解得x≤46，

设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），

w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，

∵-10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，

∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，

-10（x-50）2=-250，

x-50=±5，

x1=55，x2=45，

如图所示，由图象得：

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．

22．(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.

【解析】

【分析】

（1）根据题意设平均增长率为未知数x，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y，再根据题意建立方程式求解.

【详解】

(1)设平均增长率为，则

   解得：   (舍)·

   答：年平均增长率为20%

(2)设每碗售价定为元时，每天利润为6300元

  [300+30(25-y)]=6300·

   解得：   ·

   ∵每碗售价不超过20元，所以.

【点睛】

本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，熟练掌握方程式的实际运用是本题解题关键.

23．（1）见解析；（2）BF＝．

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB＝AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；

（2）根据∠BAC＝45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA＝∠BAC＝45°，再由AB＝AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．

【详解】

解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，

∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，

∴∠DBA＝∠BAC＝45°，

由（1）得：AB＝AD，

∴∠DBA＝∠BDA＝45°，

∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，

∴BD2＝2AB2，即BD＝2，

∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，

∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2．

【点睛】

此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．

24．（1）x=﹣2或x=4；（2）＜x＜3

【解析】

【分析】

（1）用因式分解法求解；

（2）分别求不等式，再确定公共解集．

【详解】

解：（1）∵（x+2）（x﹣4）=0，       

∴x+2=0或x﹣4=0，   

解得：x=﹣2或x=4；   

（2）解不等式x﹣3（x﹣２）＜1，得：x＞，  

解不等式＜1，得：x＜3， 

∴不等式组的解集为＜x＜3．

【点睛】

考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．

25．（1）300，12；（2）补图见解析；（3） 

【解析】

【分析】

（1）求出各个分数段的男生人数和，根据百分比=计算即可；

（2）求出8分以下的女生人数，10分的女生人数画出条形图即可，根据圆心角=百分比×360°计算即可；

（3）根据概率公式计算即可；

【详解】

（1）校毕业生中男生有：20+40+60+180=300人．

∵×100%=12%，

∴a=12．

故答案为300，12．

（2）由题意b=1﹣10%﹣12%﹣16%=62%，

∴成绩为10分的所在扇形的圆心角是360°×62%=223.2°．

500×62%﹣180=130人，

∵500×10%=50，

∴女生人数=50﹣20=30人．

条形图如图所示：

（3）这名学生该项成绩在8分及8分以下的概率是．

【点睛】

本题考查概率公式、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，所以中考常考题型．