2004年高考数学试题湖北卷

数学(文科类)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 

1．设，则等于    （    ）

    A．{1,4}    B．{1,6}    C．{4,6}    D．{1,4,6}

2．已知点和，直线与线段的交点分有向线段的比为3：2，则m的值为            （    ）

    A．    B．    C．    D．4

3．已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为        （    ）

    A．    B． 

    C．

    A．    B．    C．    D． 

7．已知为非零的平面向量． 甲：，乙：，则    （     ）

    A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

    B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

    C．甲是乙的充要条件

    D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8．已知，则有            （    ）

    A．最大值    B．最小值    C．最大值1    D．最小值1

9．已知数列{}的前n项和其中a、b是非零常数，则存在数列{}、{}使得        （    ）

    A．，其中为等差数列，为等比数列

    B．，其中和都为等差数列

    C．，其中为等差数列，都为等比数列

    D．，其中和都为等比数列

10．若则下列结论中不正确的是            （    ）

    A．        B． 

    C．        D． 

11．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（    ）

    A．120    B．240    C．360    D．720

12．设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

    A．    B． 

    C．    D． 

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．的值为                 ．

14．已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中的系数是           ．（以数字作答）

15．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=            ． 

16．设A、B为两个集合，下列四个命题：

    ①A    B对任意    ②A    B

    ③A    BAB    ④A        B存在，使得

    其中真命题的序号是            ．（把符合要求的命题序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

    已知，求的值．

18．（本小题满分12分）

    如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F．

（I）求证：A1C⊥平BDC1；

（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）．

19．（本小题满分12分）

    如图，在Rt△ABC中，已知BC=a．若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．

20．（本小题满分12分）

直线的右支交于不同的两点A、B．

（Ⅰ）求实数k的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表：

22．（本小题满分14分）

已知的图象相切．

（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；

（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围．

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文科类）（湖北卷）参

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D  2．D  3．A  4．B  5．C  6．C  7．B  8．D  9．C  10．D  11．B  12．A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

13．       14．35     15．192    16．④

17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等基础知识和基本运算技能，满分12分．

解法一：由已知得： 

                   或

由已知条件可知，所以，即．

于是

将代入上式得

即为所求．

解法二：由已知条件可知，则，所以原式可化为

即

又

下同解法一．

18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．满分12分．

解法一：（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影．

∵AC⊥BD．∴A1C⊥BD．

同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,

∴A1C⊥平面BDC1．

（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，

同理

是二面角的平面角

又E、F分别是AC、B1C的中点，

与是两个全等的正三角形

故

于是在中，由余弦定理，得

故二面角的大小为

解法二：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则．

, , , ,

即

又

平面

（Ⅱ）同（I）可证，BD1⊥平面AB1C．

则就是所求二面角的平面角

补角的大小

故二面角的大小为

19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分．

解法一： 

故当即（与方向相同）时，最大，其最大值为0

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．

设，则，

且

设点的坐标为，则

故当即（与方向相同）时，最大，其最大值为0

20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分．

解：（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线的方程后，整理得

……①

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得的取值范围是．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得……②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）．

则由FA⊥FB得：

即

整理得……③

把②式及代入③式化简得

解得或（舍去）

可知使得以为直径的圆经过双曲线的右焦点

21．本小题考查概率的基础知识以及运用概率知识解决 实际问题的能力，满分12分．

解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元．由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0．9．

方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知．联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为

1—(1—0．9)(1—0．7)=0．97．

方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为

1—（1—0．8）(1—0．7)(1—0．6)=1—0．024=0．976．

综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大．

22．本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力．满分14分．

解：（Ⅰ）依题意，令,得，故

由于，得

（Ⅱ）

令，即

则

若，则有一个实根，且的变化如下：

若，则有两个不相等的实根且的变化如下：

综上所述，当且仅当时，函数在上有极值点．

由得或

或

解之得或

故所求的取值范围是