班级 11财务管理一班 姓名 丁洁宁 学号 11250202112
| - | 广 东 商 学 院 答 题 纸（格式二） 课程 管理科学研究方法 20 12 －20 13学年第 一 学期 成绩 评阅人 徐辉 评语： |
运用线性规划对
风险投资问题研究
摘要：本题是一个优化问题，对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑好多因素。投资问题中的投资收益和风险问题，我们总希望利润获要尽可能大而总体风险尽可能小，但是，他并不是意随人愿，在一定意义上是对立的。因此，本文给出组合投资方案设计的一个线性规划模型。主要思路是通过线性加权综合两个设计目标；假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化；通过决策变量的选取化解风险函数的非线性。
| 关键词：线性规划 风险投资 风险最小化 利益最大化 WinQSB2.0 |
本题是一个优化问题，对市场上的多种风险投资和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的的设计需要考虑好多因素。投资问题中的投资收益和风险问题，我们总希望利润获要尽可能大而总体风险尽可能小，但是，他并不是意随人愿，在一定意义上是对立的。因此，本文给出组合投资方案设计的一个线性规划模型。主要思路是通过线性加权综合两个设计目标；假设在投资规模相当大的基础上，将交易费函数近似线性化；通过决策变量的选取化解风险函数的非线性。最后通过非线性规划，说明线性规划的结果对于交易费收取的阈值有一定的容忍度。
模型的最大优点是：计算过程稳定性好，速度快。我们对各种加权因子，求得了最优化决策方案，从而得到问题的有效投资曲线。根据有效投资曲线，投资者可以由自己的主观偏好，直观地选择自己的投资方向。
风险投资问题可以建立相应的线性规划模型，即转化为线性规划问题通过数算进行解决。本文将应用线性规划的方法，帮助其做出在现有资金条件下的最优投资方案，以期达到利益最大化的目的。通过运用线性规划的分析方法来解决企业的风险投资问题。
二、研究现状
投资，是现代人从事最多的经济活动。一般的投资项目较之银行的储蓄有较高的汇报率，但是相应也有风险。理性的投资者在追求高利润的同时，往往充分考虑投资的风险。组合投资，即“不把鸡蛋放在一个篮子里”的投资策略，可以有效规避风险。
在进行多种资产投资时，人们常常想知道一笔资金该向哪一种资产投资，投资比例是多少，才能使我们的收益达到最大，并且不用承担太大的风险。为了能够做到这一点，我们在投资之前必须对各种资产进行分析、估价，并且始终坚持多样化的原则以减小风限。
三、相关理论概述
3.1、线性规划的概念
线性规划即应用分析、量化的方法, 对管理系统中的有限资源进行统筹规划, 为决策者提供最优方案, 以实现科学管理。面对激烈的市场竞争, 降低成本、增加利润、增强其核心竞争力, 成为了每个企业追求的目标, 而要实现其目标, 就要对人、财、物等现有资源进行优化组合、实现最大效能。因此, 将线性规划方法用于企业的产、销、研等过程成为了现代科学管理的重要手段之一。自从单纯形法提出以来, 线性规划得到了广泛应用, 目前, 线性规划的计算机求解软件主要有多种, 规划问题的专用软件L INDO , 可以解决一些拥有超过50 000 个约束条件和200 000 个变量的大规模复杂问题。L INDO 的出现使线性规划的求解问题变得简单易行, 所以线性规划的具体运用也越来越受到管理者的重视。
3.2、线性规划的模型
（1）一般形式
所谓线性规划, 就是在一系列约束条件之下, 求解某一经济目标最优(最大或最小) 值的一种数学方法。它的一般形式表示如下:
s.t …
（2）线性规划的标准形式
由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别, 线性规划问题可以有多种表达式。为了便于讨论和制定统一的算法, 可以把线性规划的一般形式化为如下的标准形:
s.t …
把一般形化为标准形的过程, 可以简而言之为“三化”: 即目标最值化、约束等式化和变量非负化。
3.3、 WinQSB2.0应用软件介绍
QSB是Quantitative Systems for Business的缩写，早期版本的操作系统在DOS下运行，WinQSB2.0是在Windows操作系统下运行的。WinQSB2.0是一种教学软件，对于非大型的问题一般都能计算，较小的问题还能演示中间的计算过程，特别适合多媒体课堂教学。
该软件可应用于管理科学、决策科学、运筹学及生产运作管理等领域的求解问题，软件包括的操作程序见下表：
| 序号 | 程 序 | 缩写、文件名 | 名称 | 应用范围 |
| 1 | Acceptance Sampling Analysis | ASA | 抽样分析 | 各种抽样分析、抽样方案设计、假设分析 |
| 2 | Aggregate Planning | AP | 综合计划编制 | 具有多时期正常、加班、分时、转包生产量，需求量，储存费用，生产费用等复杂的整体综合生产计划的编制方法。将问题归结到求解线性规划模型或运输模型 |
| 3 | decision analysis | DA | 决策分析 | 确定型与风险型决策、贝叶斯决策、决策树、二人零和对策、蒙特卡罗模拟。 |
| 4 | Dynamic Programming | DP | 动态规划 | 最短路问题、背包问题、生产与储存问题 |
| 5 | Facility Location and Layout | FLL | 设备场地布局 | 设备场地设计、功能布局、线路均衡布局 |
| 6 | Forecasting and Linear regression | FC | 预测与线性回归 | 简单平均、移动平均、加权移动平均、线性趋势移动平均、指数平滑、多元线性回归、Holt-Winters季节迭加与乘积算法 |
| 7 | Goal Programming and Integer Linear Goal Programming | GP－IGP | 目标规划与整数线性目标规划 | 多目标线性规划、线性目标规划，变量可以取整、连续、0－1或无 |
| 8 | Inventory Theory and Systems | ITS | 存储论与存储控制系统 | 经济订货批量、批量折扣、单时期随机模型，多时期动态储存模型，储存控制系统（各种储存策略） |
| 9 | Job Scheduling | JOB | 作业调度，编制工作进度表 | 机器加工排序、流水线车间加工排序 |
| 10 | Linear programming and integer linear programming | LP－ILP | 线性规划与整数线性规划 | 线性规划、整数规划、写对偶、灵敏度分析、参数分析 |
| 11 | MarKov Process | MKP | 马耳科夫过程 | 转移概率，稳态概率 |
| 12 | Material requirements planning | MRP | 物料需求计划 | 物料需求计划的编制，成本核算 |
| 13 | Network Modeling | Net | 网络模型 | 运输、指派、最大流、最短路、最小支撑树、货郎担等问题， |
| 14 | NonLinear Programming | NLP | 非线性规划 | 有（无）条件约束、目标函数或约束条件非线性、目标函数与约束条件都非线性等规划的求解与分析 |
| 15 | Project Scheduling | PERT-CPM | 网络计划 | 关键路径法、计划评审技术、网络的优化、工程完工时间模拟、绘制甘特图与网络图 |
| 16 | Quadratic programming | QP | 二次规划 | 求解线性约束、目标函数是二次型的一种非线性规划问题，变量可以取整数 |
| 17 | Queuing Analysis | QA | 排队分析 | 各种排队模型的求解与性能分析、15种分布模型求解、灵敏度分析、服务能力分析、成本分析 |
| 18 | Queuing System Simulation | QSS | 排队系统模拟 | 未知到达和服务时间分布、一般排队系统模拟计算 |
| 19 | Quality control charts | QCC | 质量管理控制图 | 建立各种质量控制图和质量分析 |
市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为 并预测出购买Si的风险损失率为 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为 ，并且当购买额不超过给定值 时，交易费按购买 计算。另外，假定同期银行存款利率是 , 且既无交易费又无风险。（ =5%）
已知n = 4时的相关数据如下：
| Si | (%) | (%) | (%) | (元) |
| S1 | 28 | 2.5 | 1 | 103 |
| S2 | 21 | 1.5 | 2 | 198 |
| S3 | 23 | 5.5 | 4.5 | 52 |
| S4 | 25 | 2.6 | 6.5 | 40 |
五、模型的假设与符号说明
5.1模型的假设：
（1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。
（2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不再卖出。
（3）每种投资是否收益是相互的。
（4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。
5.2符号说明：
| 参数 | 范围 | 说明 |
| Si | i=1,2…n | 欲购买的第i种资产的种类 |
| M | 相当大 | 公司现有的投资总额 |
| xi | i=1,2…n | 公司购买Si的金额 |
| ri | i=1,2…n | 公司购买Si的平均收益率 |
| qi | i=1,2…n | 公司购买Si的平均损失率 |
| pi | i=1,2…n | 公司购买Si超过ui时所付的交易费 |
| ui | i=1,2…n | xi |
| Ei | i=1,2…n | 公司购买资产Si所或得的收益 |
| s | 0.1~1 | 权因子 |
1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{ qixi|i=1，2,…,n}
2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即
pixi xi>ui
交易费 =
piui xi≤ui
而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小, piui更小,
可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi
3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:
目标函数 max
minmax{ qixi}
约束条件 =M
xi≥0 i=0,1,…,n
4. 模型简化
a．在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个
风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划.
模型1 固定风险水平，优化收益
目标函数： Q=max
约束条件： ≤a
， xi≥ 0 i=0,1,…, n
b．若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合.
模型2 固定盈利水平，极小化风险
目标函数： R= min{max{ qixi}}
约束条件： ≥k，
， xi≥ 0 i=0，1，…，n
c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合.
因此对风险、收益赋予权重s（0＜s≤1)，s称为投资偏好系数.
模型3 目标函数：min s{max{qixi}} -（1-s）
约束条件 =M， xi≥0 i= 0,1,2，…，n
七、模型求解
7.1模型1的求解
模型1为:
minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T
x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1
x1 ≤a
x2 ≤a
sx3 ≤a
x4 ≤a
xi ≥0 (i = 0，1，…，4)
由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：
a=0;
while(1.1-a)>1
c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185];
beq=[1];
vub=[];
，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
计算结果：
a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266
a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019
a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112
a = 0.0100 x = 0 0.4000 0.5843 0 0 Q =0.2190
a = 0.0200 x = 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518
a = 0.0400 x = 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.2673
结果分析
1.风险大，收益也大.
2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致.即:
冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资.
3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险.对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合.
4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长
很快.在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和
收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，
大约是a*=0.6%，Q*=20% ，所对应投资方案为:
风险度 收益 x0 x1 x2 x3 x4
0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212
7.2模型2的求解
令x5= max{qixi}则有x5大于或等于{qixi}中的任意一个，可得模型2为：
min f=x5
xi ≥0 (i = 0，1，…，4)
由于k是任意给定的收益，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的收益.我们从k=0开始，以步长△k=0.002进行循环搜索，编制程序如下：
k=0;
while k<0.5
c=[0 0 0 0 0 1];
Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065 0];
beq=[1];
A=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0;
0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1;
0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1];
b=[-k;0;0;0;0];
vlb=[0,0,0,0,0,0];
vub=[];
[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);
k
x=x'
R=val
plot(k,R,'.')
axis([0 0.25 0 0.015])
hold on
k=k+0.002;
end
xlabel('k'),ylabel('R');
计算结果：
| k | R | x0 | x1 | x2 | x3 | x4 |
| 0.2000 | 0.0059 | 0.0107 | 0.2350 | 0.3917 | 0.1068 | 0.2260 |
| 0.2020 | 0.0060 | 0.0000 | 0.2408 | 0.4013 | 0.1094 | 0.21 |
| 0.2040 | 0.00 | 0.0000 | 0.2578 | 0.4297 | 0.1172 | 0.1680 |
| 0.0206 | 0.0069 | 0.0000 | 0.2748 | 0.4581 | 0.1249 | 0.1171 |
| 0.0208 | 0.0073 | 0.0000 | 0.2919 | 0.48 | 0.1327 | 0.0662 |
结果分析：
有实验结果和图可得以下结论：
1 收益越大，风险也越大。
2当投资越分散时，投资者承担的风险越小
3曲线上任意一点都表示该投资下的最小风险，选择该投资下的最优组合。
4在k=0.206附近有一个转折点，在它的右边，风险随投资的变化明显比左边的快得多，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，
大约是R*=0.6%，k*=20% ，所对应投资方案为:
| 收益 | 风险度 | x0 | x1 | x2 | x3 | x4 |
| 0.2060 | 0.0069 | 0.2748 | 0.4581 | 0.1249 | 0.1171 |
令x5= max{qixi}则有x5大于或等于{qixi}中的任意一个，可得模型为：
Min f={0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s}（x0 x1 x2 x3 x4 x5）‘
各个投资者的投资偏好不一，所以s没有一个定值，就从s=0开始，以步长△k=0.001进行循环搜索，编制程序如下：
i=1;
for s=0.1:0.1:1;
f=[-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s]';
A=[0 0.025 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1];
b=[0 0 0]';
aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065 0];
beq=[1];
lb=zeros(6,1);
[x,fval,exitflag,options,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb);
x
y(i)=-fval;i=i+1;
end
k=0.1:0.1:1;
figure(1);
plot(k,y,'g-');xlabel('s 权因子') ;ylabel('y收益');
title('净收益和风险关于权因子的函数')
计算结果：
使用线性加权法分别求解当s=0.1…1.0时的最优决策及风险和收益如下表：
| Si | s=0.1..0.7 | s=0.8 | s=0.9 | s=1.0 |
| S1 | 0.9901 | 0.3690 | 0.2376 | 0.0000 |
| S2 | 0.0000 | 0.6150 | 0.3960 | 0.0000 |
| S3 | 0.0000 | 0.0000 | 0.1080 | 0.0000 |
| S4 | 0.0000 | 0.0000 | 0.2284 | 0.0000 |
| 存银行 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 1.0000 |
| 净收益 | 0.2673 | 0.2165 | 0.2014 | 0.0500 |
| 风险 | 0.0248 | 0.0092 | 0.0059 | 0.0000 |
结果分析
1 净收益和风险是s(权因子)的单调下降函数，即谨慎程度越强，风险越小，但是收益也越小，具有明确的实际意义。
八、 模型评价
8.1模型优点
（1）本文通过将风险函数转化为不等式约束，建立了线性规划模型，直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。
（2）模型一采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择投资方向。
（3）模型三采用线性加权模型求解时，计算过程稳定性好，速度快，对不同的权因子进行比较，得出最优决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。
8.2模型缺点
当投资金额小于固定值时，建立的线性规划模型得到的结果可能不是最优解，要根据公司的资金M决策模型的优良。对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是M的一个特列，具有单一性
[参考文献]
[1]赵静，但琦．数学建模与数学实验［M］．北京:高等教育出版社，2008．
[2]李志林 欧宜贵 数学建模及典型案例分析 北京，化学工业出版社 2006
九、模型的评价
本模型的建立，是为了解决现实生活中的投资问题。公司以盈利为目的，希望将一定的资金用来投资，来得到较高的回报。这就涉及到投资项目的选择问题。 一方面，投资的利润越高越好，一方面，又希望投资的风险不能太大，来保证投资的成果。然而由于市场的成熟和完善，实际的投资项目往往并不是利润又高，而风险又小的，高收益往往伴随着高风险，若要追求低风险，那么投资的回报必不会很高。为了表示这种风险与收益之间的矛盾关系，我们在建立数学模型时，引入了多目标规划，通过两个目标函数，客观的反映了现实中的需求情况。同时，在实际投资过程中，往往并不仅仅是投资与风险那么简单，其中还涉及到费用的问题，而费用往往有一个最低限的问题，在模型中，我们用一个分段函数来表征这一现象。总的来说，最开始的模
型的建立是比较符合投资的实际的。然而它比较复杂，由于费用的非线性，就不能用一般解多目标规划的方法，这给求解带来很大的困难。为了能使模型求解，我们经数据分析发现，如果将费用的非线性关系转换为简单的线性关系，简化后的模型几乎与原模型保持一致，这样问题的中心就转化为对线性模型的求解。该模型是一个线性的多目标规划问题，对这类问题的求解必然牵涉到对风险与收益的评价问题，也即是风险与收益孰轻孰重的问题。然而对于实际的投资，不同人对这个问题的看法往往不同，甚至大相径庭。例如有的人会为利润铤而走险，而有些人则不愿冒险，宁愿把所有钱存入银行中去。 针对这个问题，如果能找出风险与收益之间具体的关系，得到其非劣解的分布，那么无疑方便我们作出投资决策。这样，我们对风险的最大值给出一组限定值，作为条件，而将收益作为目标函数，得到标准的线性规划，用计算机求解，画图，从而得到风险与收益的直观图像。最后我们根据一般的经验，取利润增长最快，同时利润最大的点作为给出的投资方案。整个模型基本符合实际的投资情况，能较全面的反映投资中各各因素的关系，同时该模型又可解，可以得到一个比较好的投资方案，这样也就比较全面，完
善的解决了题目中所要求的投资问题。
参考文献：
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[2] 卢厚清, 袁永生. 下料问题数学模型研究[J ]. 运筹与管理, 1996, 5 (4) : 61 66.
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[5] 姜启源 谢金星叶俊编 数学模型[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2003 年。
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[7] 卢厚清,周先华,邱国庆,付成群. 线性规划模型建立的一个原则[J].
| 数学的实践与认识,2003,33(1),40-44.。 |
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