2017高考数学模拟卷1(全国卷)

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知全集，集合，则等于(   ) 

A．        B．         C．      D． 

2．设复数的共轭复数为，且满足，为虚数单位，则复数的虚部是(   )

A．          B．        C．        D．

3．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为(   )

（附：若随机变量服从正态分布，则，

， ）

A．    B．    C．    D． 

4．已知，则使成立的一个充分不必要条件是（   ）

A．  B．  C．  D． 

5．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为(   )

A．      B．      C．      D． 

6．已知向量, ,，若，则向量与向量的夹角的余弦值是（   ） 

A．       B．        C．        D． 

7．设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得图象与函数的图像重合，则的最小值是（   ）

A．          B．         C．          D． 

8．已知一个棱长为的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（   ）

A．     B．     C．     D． 

9．已知异面直线、成角，A为空间中一点，则过A与、都成角的平面共有（   ）

A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

10．已知为经过抛物线焦点的弦，为抛物线的准线与x轴的交点，若弦AB的斜率为，则∠ACB的正切值为（   ）

A．         B．         C．1        D．不存在

11．已知数列是等比数列，若，则（   ）

A．有最大值  B．有最小值  C．有最大值  D．有最小值

12．已知函数（注：是自然对数的底数），方程，有四个实数根，则的取值范围为(   ) 

A．  B．  C．  D． 

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置）

13．若数列是正项数列，且，则            ．

14．展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为    ．

15．过向圆引切线，T为切点，若|PT|=|PO|（O为坐标原点），则切线|PT|的最小值为           ．

16．若整数满足不等式组，则的最小值为          ． 

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)己知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的最小值和最大值；

（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值．

18．(本小题满分12分)在三棱柱中，侧面为矩形，，，为的中点，与交于点，侧面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分)某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的概率分布及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．

20．(本小题满分12分)已知双曲线C：（），为C的左右焦点，P为C右支上一点，且使，又的面积为．

（Ⅰ）求双曲线C的离心率；

（Ⅱ）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上任意一点，问是否存在常数λ（λ>0），使得恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

21．(本小题满分12分)已知函数的图像在处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当时，恒有；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的正数，总存在正实数，使得当时，恒有．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，的外接圆的切线与的延长线相交于点，的平分线与相交于点，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求的值．

23．（本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的倾斜角；

（Ⅱ）设点，直线和曲线交于两点，求的值．

24．（本小题满分10分）选修：不等式选讲

已知实数满足关于的不等式的解集为，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，且，求证：．

数学（理科）答案

一．选择题：CABCC   ADCCA   DB

二．填空题：13．；    14．40；     15．；    16．16

三．解答题：

17．【解答】：（Ⅰ）,则的最大值为,最小值为；

（2）由知，，由知，，则

18．【解答】：（Ⅰ）证明：由题意可知，在中，，在中，.所以，

所以，

所以，又侧面，所以.

又因为，所以平面,所以.

（Ⅱ）如图所示，分别以所在的直线为轴，轴，轴，以为原点，建立空间直角坐标系，则,

由求得,设平面法向量为，则求得，

设直线与平面所成角为，则

19．【解答】：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，

芯片乙为合格品的概率约为．            

（Ⅱ）随机变量的所有取值为．

；；

； 

所以，随机变量X的分布列为：

20．【解答】：（Ⅰ）由定义，

又

∴e=2

（Ⅱ）∴e=2，可设双曲线方程为：，

即为

假设存在常数λ，使得恒成立，取，则=90°，由于A（-a，0），∴，∴=45°，λ=2

以下证明一般性：任取则

设，则，

这时 

，∴恒有

21．【解答】：（Ⅰ）∵，在处的切线方程为

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴

当，，当，，

∴，即

（Ⅲ）【方法一】：由（Ⅱ）知，

对于任意给定的正数，，只要，取，

当时，恒有

【方法二】：由（Ⅱ）知

对于任意给定的正数，，只要，取，

当时，恒有

【方法三】：显然对都有

对于任意给定的正数，，只要

取时，当时，恒有

【方法四】：显然对要使，设

则只要

由（Ⅱ），∴只要即，取，即

22．【解答】（Ⅰ）因为为圆的切线，所以,

又因为平分，所以,

因为,所以,

所以

（Ⅱ）,因为,所以

则,所以

23．【解答】（Ⅰ）曲线的普通方程：，

直线的直角坐标方程：，倾斜角为

（Ⅱ）由上知，在直线上，设直线的参数方程为（为参数）

代入曲线的方程得：，

由直线上的点在曲线内知方程有两个不同的解，即为点对应的参数，则，，则，

所以

24．【解答】（Ⅰ）将代入不等式得，得

（Ⅱ），由柯西不等式知，

，所以