2012北京文数(解析完整版)

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（2012北京文1）已知集合则（   ）

 A.        B.        C.        D

【答案】D

【解析】因为，利用二次不等式可得画出数轴易得：．故选D．

（2012北京文2）在复平面内，复数对应的点的坐标为(    )

A．        B．         C．        D． 

【答案】A

【解析】，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为，故选A．

（2012北京文3）设不等式组，表示平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（    ）

A．            B.            C.             D. 

【答案】D

【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选。

（2012北京文4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（   ）

A. 2           B .4           C.8           D. 16

【答案】C

【解析】，循环结束，输出的为8，故选C。

（2012北京文5）函数的零点个数为(    )

A.0               B.1             C.2              D.3

【解析】的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B。

【答案】B

（2012北京文6）已知为等比数列，下面结论种正确的是(    )

A.                               B. 

C.若，则             D.若，则

【解析】当，，时，可知，，，所以A选项错误；当时，C选项错误：当时，，与D选项矛盾，因此描述均值定理的B选项为正确答案，故选B。

【答案】B

（2012北京文7）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（     ）

A.                   B.     

 C.                  D. 

【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B。

（2012北京文8）某棵果树前前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（   ）

A.5           B.7           C.9          D.11

【答案】C

【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。

 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（2012北京文9）直线被圆截得弦长为__________。

【答案】

【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况，半弦长，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形。因为，夹角，因此，所以。

（2012北京文10）已知为等差数列，为其前项和，若，，则=______， =_______。

【答案】， 

【解析】因为，

所以，。

（2012北京文11）在△ABC中，若，，，则的大小为_________。

【答案】

【解析】在中，利用正弦定理，可得，所以。再利用三角形内角和，可得．

（2012北京文12）已知函数，若，则_____________。

【答案】2

【解析】因为，，所以，

所以。

（2012北京文13）已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为________，的最大值为______。

【答案】1，1

【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，

，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为1．

（2012北京文14）已知，，若，或，则的取值范围是_________。

【答案】

【解析】首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。而对，或成立即可，故只要，， (*)恒成立即可．①当时，，不符合(*)式，舍去；②当时，由<0得，并不对成立，舍去；③当时，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（2012北京文15）已知函数。

（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求的单调递减区间。

【解析】

（Ⅰ）得：函数的定义域为  

     =

 得：的最小正周期为；

 （Ⅱ）函数的单调递增区间为

 则

 得：的单调递增区间为

（2012北京文16）如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由。

【解析】

（Ⅰ）因为，分别为，的中点，

所以//．

又因为平面，

所以//平面平面．

（Ⅱ）由已知得且//，

所以．

所以，．

所以平面．

而平面，

所以．

又因为，

所以平面．

所以．

（Ⅲ）线段上存在点，使⊥平面．理由如下：

如图，分别取，的中点，，则//．

又因为//，

所以//．

所以平面即为平面．

由（Ⅱ）知，平面，

所以．

又因为是等腰三角形底边的中点，

所以．

所以平面．

从而平面．

故线段上存在点，使得⊥平面．

（2012北京文17）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中，。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。

（注：，其中为数据的平均数）

【解析】

（Ⅰ）厨余垃圾投放正确的概率约为

．

（Ⅱ）设生活垃圾投放错误为事件，则事件表示生活垃圾投放正确．

事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾箱”里其他垃圾量得总和除以生活垃圾总量，即约为

，所以约为．

（Ⅲ）当，时，取得最大值．

因为，

所以．

（2012北京文18）已知函数，。

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；

（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围。

【解析】

（Ⅰ），．

因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以

，且．

即，且．

解得，．

（Ⅱ）记．当，时，

，

．

令，得，．

与在上的情况如下：

当≤时，函数在区间上的最大值为；

当时，函数在区间上的最大值小于．

因此，的取值范围是．

（2012北京文19）已知椭圆的一个顶点为，离心率为， 直线与椭圆交于不同的两点。

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）当的面积为时，求的值。

【解析】

（Ⅰ）由题意得  

解得．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由得．

设点，的坐标分别为，，则

，，，．

所以

．

又因为点到直线的距离，

所以的面积为．

由，解得．

（2012北京文20）设是如下形式的2行3列的数表，

（Ⅰ）对如下数表，求的值

（Ⅲ）对所有满足性质的2行3列的数表，求的最大值

【解析】

（Ⅰ）因为，，，，，

所以．

（Ⅱ），，，．

因为≤≤，

所以，．

所以≤．

当时，取得最大值．

（Ⅲ）任给满足性质的数表（如下所示）．

仍满足性质，并且．

因此，不妨设，，．

由的定义知，，，．从而

．

所以．

由（Ⅱ）知，存在满足性质的数表使．故的最大值为．