湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案

高一年级数学试题

试卷总分150分  考试时间120分钟  

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 

1．已知A＝{，0，1 }，B＝{，，1}，则A∪B的真子集的个数为            （    ）

A．3                    B．7                C．15                D．31

2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的                （    ）

A．充分条件                                B．必要条件

C．充要条件                                D．既不充分也不必要条件

3．已知函数的定义域为，函数，则函数的定义域为    （    ）

A．                B．(0, 1)                C．            D．

4．若正实数a，b满足，则的最小值为                                （    ）

   A．    B．6    C．        D．

5．函数的单调递减区间是                                    （    ）

A．            B．            C．[0，2]            D．[2，4]

6．若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是（   ）

A．            B．            C．            D．

7．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式 的解集为                                                                    （    ）

   A．    B．    C．        D．

8．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是                    （    ）

A．            B．        C．        D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9．已知a，b，c为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是    （    ） 

A．            B．            C．            D．

10．下列各结论中正确的是                                                    （    ）

A．“”是“”的充要条件．

B．函数的最小值为2．

C．命题“，”的否定是“，” ．

D．若函数有负值，则实数a的取值范围是或．

11．定义域为R的函数满足，且当时，．以下结论正确的是                                                                    （    ）

A．为奇函数            B．为偶函数

    C．为增函数            D．为减函数

12．设定义域为R的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解x1，x2，x3，且x1 < x2 < x3．下列说法正确的是                （    ）

A．    B．        C．        D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知集合，，若，则实数a的取值集合为____________．

14．关于x的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数k的取值范围是___________．

15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济． 

16．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）

已知集合，定义.

（1）求；

（2）求．

18．（本题满分12分）

已知非空集合，集合. 命题p：，命题q：，若p是q的充分条件，求实数的取值范围.

19．（本题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且

（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）求使成立的实数a的取值范围．

20．（本题满分12分）已知函数．

（1）若对于任意，恒有成立，求实数的取值范围；

（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值．

21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x米．

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价；

（2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a的取值范围．

22．（本题满分12分）若函数自变量的取值区间为[a, b]时，函数值的取值区间恰为

，就称区间[a, b]为的一个“和谐区间”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．

（1）求的解析式；

（2）求函数在内的“和谐区间”；

（3）若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素．若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由．

高一年级数学试题参

一、单选题

1．C    2．B    3．B    4．D    5．D    6．A    7．A    8．C   

二、多选题

9．BC   10．AD    11． AC    12．ABD

三、填空题

13．{-1,0,2}       14．     15．二    16．或

四、解答题

17．解：，                                ………………2分

                                        ………………4分

（1）                                            ………………7分

（2）                                            ………………10分

18．解：，.

∵，∴.∴.    ………………2分

∵p是q的充分条件，∴.                                    ………………3分

1当时，，，不符合题意；                    ………………5分

2当时，，，要使，

则    ∴.                                ………………8分

3当时，，，要使，

则       ∴.                                ………………11分

综上所述，实数a的取值范围是.                         ………………12分

 19．（1）解法一：因为函数是定义在[-1,1]上的奇函数，

则，得，解得，                        ………………2分

经检验，时，是定义在上的奇函数.    ………………3分

法二：是定义在上的奇函数，则，

即，则，

所以，又因为，得，所以，.    ………………3分

设且，则

      在上是增函数………………6分

（2）由（1）知，在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，得，                ………………7分

，                                            ………………10分

即，解得．

故实数的取值范围是[0，1)．                                    ………………12分

20．（1）解法一：对任意的，恒有，即，

整理得对任意的恒成立，                    ………………2分

构造函数，其中，则，即，…… 4分

即，解得，因此，实数a的取值范围是.    ………………6分

       解法二：对任意的，恒有，即，

 整理得对任意的恒成立，                    ………………2分

                                             ………………5分

因此，实数a的取值范围是.                                ………………6分

（2）．

                                                  ………………7分

①当，即时，函数在上单调递增，

在上单调递减，此时；            ………………9分

②当，即时，在[0, 2]上单调递增，

此时．                                        ………………11分

综上所述，．                                ………………12分

21．（1）设甲工程队的总造价为y元，

则，            ………………2分

，            ………………4分

当且仅当，即x = 4时等号成立．                ………………5分

故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元．    ……6分

（2）由题意可得对任意的恒成立．

故，从而恒成立，                ………………8分

令，，．

又在为增函数，故.                ………………11分

所以a的取值范围为．                    ………………12分

22．（1）因为为R上的奇函数，∴

又当时，

所以，当时，；

                                            ………………3分

（2）设，∵在上递单调递减，

，即是方程的两个不等正根．

∵  ∴  ∴在内的“和谐区间”为． ………………6分

（3）设[a, b]为的一个“和谐区间”，则，∴a，b同号．

当时，同理可求在内的“和谐区间”为．

                                    ………………8分

依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．

因此，m应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数.

由方程，即在内恰有一根， 

令，则，解得；

由方程，即在内恰有一根，

令，则，解得.

综上可知，实数m的取值集合为．                         ………………12分

（用图象法解答也相应给分）